矩陣的初等變換與線性方程組課件

1、第三章 矩陣的初等變換與線性方程組1、矩陣的初等變換與初等矩陣2、矩陣的秩3、線性方程組的解的判定初等行變換：(1)交換矩陣的兩行，ri rj(2)以數(shù)k0乘矩陣的某一行，rik(3)把矩陣的某一行的k倍加到另一行上，ri + krj初等列變換：(1)交換矩陣的兩列,ci cj(2)以數(shù)k0乘矩陣的某一列,cik(3)把矩陣的某一列的k倍加到另一列上,ci + kcj初等變換:初等行變換與初等列變換的統(tǒng)稱1.1 矩陣的初等變換矩陣的等價(jià) 矩陣A經(jīng)過(guò)初等變換變成矩陣B，則稱A與B等價(jià)，記為AB。注意與行列式中相關(guān)變換相區(qū)別 1 5-1-1 1-2 1 3 1-9 3 7 3 8-1 1 1-2

2、1 3 1-9 3 7 1 5-1-1 3 8-1 1r2r4r12-9 3 7 8 -1 11 -2 1 32 10 -2 -2r1+r4(-2)-9 3 7 8 -1 11 -2 1 30 14 -4 -8 定義：對(duì)單位矩陣E作一次初等變換后，得到的矩陣稱為初等矩陣。初等矩陣一定是方陣行：rik行：ri+krj 初等矩陣有如下三種類型（對(duì)應(yīng)于三種變換），分別記作P ( i,j )，P (ik)，P (i,jk) 。行：rirj列：cicj列：cik列：cj+kci1.2 初等矩陣?yán)海?）r1r2：（2）kr3 :（3）r2+kr1 :1.3 初等變換與初等矩陣的關(guān)系例： 定理： （1）對(duì)

3、Amn進(jìn)行一次初等行變換，相當(dāng)于用相應(yīng)的m階初等矩陣左乘矩陣A；例： 定理： （2）對(duì)Amn進(jìn)行一次初等列變換，相當(dāng)于用相應(yīng)的n階初等矩陣右乘矩陣A；（1）任意一個(gè)非零矩陣Amn總可以經(jīng)過(guò)有限次的初等行變換化為行階梯形矩陣；（2） 同樣地，對(duì)這個(gè)行階梯形矩陣再進(jìn)行初等行變換，可化為行簡(jiǎn)化階梯形矩陣。 定理：初等行變換行簡(jiǎn)化階梯形矩陣行階梯形矩陣初等行變換（3） 如果再對(duì)行簡(jiǎn)化階梯形矩陣進(jìn)行初等列變換，可化為標(biāo)準(zhǔn)形矩陣。初等列變換標(biāo)準(zhǔn)形矩陣 首非零元: 每個(gè)非零行的第一個(gè)不為0的元素。行階梯形矩陣行階梯形矩陣:1）如果存在零行,則零行都在矩陣的最下方；2）首非零元的列標(biāo)隨行標(biāo)增加而嚴(yán)格增加。強(qiáng)調(diào)

4、：行階梯形矩陣滿足：可畫出一條階梯線，線的下方全為零；每個(gè)臺(tái)階只有一行；階梯線的豎線后面是非零行的第一個(gè)非零元素.行簡(jiǎn)化階梯形矩陣 滿足以下條件的階梯形矩陣（1）首非零元都為1；（2）首非零元所在列其余的元素全為0，稱為行簡(jiǎn)化階梯形矩陣。 標(biāo)準(zhǔn)形矩陣左上角為單位矩陣其余位置全為02 3 4 54 6 8 100 0 0 0 2A=2 3 4 50 0 0 0 20 0 0 0 02 3 4 50 0 0 0 00 0 0 0 22 3 4 00 0 0 0 00 0 0 0 1例：用初等行變換化為行簡(jiǎn)化階梯形r2+(-2)r10.5r2r2r3r1+(-5)r2 結(jié)論：任意矩陣Amn總是與一個(gè)

5、行階梯形矩陣或行簡(jiǎn)化階梯形矩陣等價(jià)，也與一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形矩陣等價(jià)。例：繼續(xù)將A的行簡(jiǎn)化階梯形化為標(biāo)準(zhǔn)形。 定理：任意可逆矩陣A可以通過(guò)有限次初等行變換，化為同階單位矩陣E。例：1.4 用初等變換求逆矩陣 表明，通過(guò)有限次的初等行變換，將可逆矩陣A化為E的同時(shí)，單位矩陣E則化為A-1 。分析：根據(jù)定理（2），對(duì)上式現(xiàn)右乘A-1，得則有若A可逆，則一定存在有限個(gè)初等矩陣P1,Ps，使得如果A可逆，則求A-1的方法為：初等行變換或初等列變換 對(duì)由n階方陣A和同階單位矩陣En組成的n2n矩陣(A E),作初等行變換，將A化為En時(shí)，En就化為A-1。A= 的逆矩陣。例:求矩陣12-30 1210-512-3

6、0 1210-510 00 1000 1解： 1 0 1 1 0 0 0 1-2-2 1 0 0 2-2 3 0 1r2-2r1r3+3r1 1 0 1 1 0 0 0 1-2-2 1 0 0 0 2 7-2 1r3-2r2 1 0 0-2.5 1-0.5 0 1 0 5-1 1 0 0 2 7-2 1r2+1r3r1-0.5r3 1 0 0-2.5 1-0.5 0 1 0 5-1 1 0 0 1 3.5-1 0.5-2.5 5 3.5 1-1-1-0.5 1 0.5A-1=( A E )=r30.5(1) AX=B(A B)初等行變換(E A-1B)1.5 用初等變換求解矩陣方程若A可逆，則

7、一定存在有限個(gè)初等矩陣P1,Ps，使得則有對(duì)上式現(xiàn)右乘B，得轉(zhuǎn)例例:解方程AX=B,其中1 2 3A=2 5B=解:2 2 13 4 33 14 3(A B)=1 2 3 2 52 2 1 3 13 4 3 4 31 2 3 2 50 -2 -5 -1 -90 -2 -6 -2 -121 0 -2 1 -40 -2 -5 -1 -90 0 -1 -1 -31 0 0 3 20 -2 0 4 60 0 -1 -1 -31 0 0 3 20 1 0 -2 -30 0 1 1 3(1) AX=B(A B)初等行變換(E A-1B)(2) XB=C初等列變換B C E CB-12.1 矩陣的秩例： 子

8、式：在矩陣Amn中任取k行與k列，位于這些行與列交叉處的k2個(gè)元素按照原來(lái)的位置所構(gòu)成的一個(gè)k階行列式，稱為A的一個(gè)k階子式。r1,r2與c1,c3交叉處構(gòu)成的二階子式 注：若A中所有k階子式都等于0，則A中所有的k+1階子式（若存在的話）也都等于0。A中不為零的子式的最高階數(shù)r 定義：設(shè)矩陣Amn中有一個(gè)不等于0的r階子式，且所有r+1階子式(如果存在的話)全等于0，則r稱為矩陣A的秩，記為R(A) or r(A) or rA 。轉(zhuǎn)例 滿秩方陣若A為n階矩陣，R(A)=n，則稱A為滿秩方陣。 結(jié)論：n階矩陣A可逆的充分必要條件是A為滿秩方陣，即R(A)=n。例：求矩陣A的秩，其中解：在A中，

9、二階子式 A的三階子式只有一個(gè)，且|A|=0則R(A)=2即|A|，解：B 是一個(gè)行階梯形矩陣，其非零行有 3 行，三階子式 則R(B) = 3例：求矩陣B的秩,則B的四階子式全為零。返回矩陣在作初等變換后其秩不改變，即 注：矩陣A的行階梯形矩陣中非零行的數(shù)目，稱為A的秩R(A)。若AB，則R(A)=R(B)。轉(zhuǎn)例矩陣秩的性質(zhì)：例：求矩陣 的秩，并求 A 的一個(gè)最高階非零子式。行階梯形矩陣有 3 個(gè)非零行，故R(A) = 3 解：第二步：求 A 的最高階非零子式選取行階梯形矩陣中非零行的第一個(gè)非零元所在的列， 與之對(duì)應(yīng)的是選取矩陣 A 的第一、二、四列R(A0) = 3，計(jì)算 A0的前 3 行

10、構(gòu)成的子式因此這就是 A 的一個(gè)最高階非零子式返回常數(shù)項(xiàng)列矩陣系數(shù)矩陣未知量列矩陣3.1 線性方程組的增廣矩陣線性方程組的一般形式為a11x1+a12x2+ +a1nxn =b1a21x1+a22x2+ +a2nxn =b2am1x1+am2x2+ +amnxn=bm x1x2xn a11 a12 a1n a21 a22 a2nam1 am2 amnb1b2bm 其中， A= X= 對(duì)于線性方程組 增廣矩陣稱矩陣為線性方程組的增廣矩陣，記為 。即，注: 線性方程組與其增廣矩陣是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系練習(xí)1、寫出線性方程組的增廣矩陣。練習(xí)2、已知增廣矩陣寫出線性方程組。例：設(shè) ，求矩陣 A 及矩陣B =

11、(A, b) 的秩解：R(B) = 3，R(A) = 2例：解線性方程組 3x1x1x15x22x24x214x34x3x31235=-+-解：3x1x1x15x22x24x214x34x3x31235=-+- 1-2 4 3-1 4 1 5 3-5 14 12+ 4x3 = 3-2x2x1+ x3 = 5+4x2-x1+14x3 =12-5x23x1 3-5 14 12 1-2 4 3-1 4 1 5+4x3 = 3-2x2x1+5x3 = 82x2+2x3 = 3x2 0 1 2 3 1-2 4 3 0 2 5 8r1r2r2-3r1r3+1r1r1r2r2-3r1r3+1r1+4x3 =

12、 3-2x2x1+5x3 = 82x2+2x3 = 3x2 0 1 2 3 1-2 4 3 0 2 5 8+8x3 = 9 x1x3 = 2+2x3 = 3x2 0 1 2 3 1 0 8 9 0 0 1 2x3 = 2x1 = -7x2 = -11 0 0 -7 0 1 0 -10 0 1 2r2-3r1r3+1r1r1+2r2r3-2r2r2-2r3r1-8r3 用Gauss消元法解線性方程組的過(guò)程，實(shí)質(zhì)上就是對(duì)該方程組的增廣矩陣用初等行變換變?yōu)樾泻?jiǎn)化階梯形的過(guò)程。r2-3r1r3+1r1r1+2r2r3-2r2r2-2r3r1-8r3對(duì)于線性方程組對(duì)應(yīng)關(guān)系如果b = 0為齊次線性方程組。

13、即(常數(shù)項(xiàng)全為零)（1）如果b0(常數(shù)項(xiàng)不全為零)（2）為非齊次線性方程組。即未知量的個(gè)數(shù)對(duì)于線性方程組AX=b，可根據(jù)增廣矩陣(Ab)的秩的情況對(duì)解進(jìn)行分情況討論：3.2 線性方程組AX=b 解的情況（1）若R(Ab)R(A),則AX=b無(wú)解；例1（2）若R(Ab)=R(A)=n，則AX=b 有無(wú)窮多解。（3）若R(Ab)=R(A)n，則AX=b 有唯一解；例2例3出現(xiàn)矛盾方程解：例1、線性方程組無(wú)解返回繼續(xù)化為行簡(jiǎn)化階梯形矩陣解：例2、線性方程組有唯一解,得x1=0，x2=2，x3= -1繼續(xù)化為行簡(jiǎn)化階梯形矩陣解：例3、一般解為 x3，x4為 自由未知量稱為線性方程組的通解（or全部解）

14、對(duì)于一般解令自由未知量x3=k1，x4=k2，則（k1，k2為任意常數(shù)）返回非齊次線性方程組無(wú)解否是無(wú)窮多個(gè)解否是唯一解包含 n-R(A) 個(gè)自由變量的通解問(wèn)例4、無(wú)解，有唯一解，以及有無(wú)窮多解？為何值時(shí)，線性方程組解：關(guān)于進(jìn)行解的情況討論（1）當(dāng)線性方程組無(wú)解（2）當(dāng)（3）當(dāng)且時(shí)，時(shí)，有唯一解且時(shí)，有無(wú)窮多解練習(xí):解線性方程組解:2 -1 3 33 1 -5 04 -1 1 31 3 -13 -62 -1 3 33 1 -5 04 -1 1 31 3 -13 -62 -1 3 33 1 -5 04 -1 1 31 3 -13 -61 3 -13 -60 -8 34 180 -13 53 270 -7 29 150 -1 5 3 1 3 -13 -60 -13 53 270 -7 29 150 -1 5 3 1 0 2 30 0 -12 -12 0 0 -6 - 60 -1 5 3 1 0 2 30 0 -12 -12 0 0 -6 - 60 1 -5 -3 1 0 2 30 0 1 1