高考數(shù)學常見難題大盤點立體幾何

1、2013高考數(shù)學常見難題大盤點：立體幾何1.如圖，在直三棱柱 ABC- ABC中，AG= 3, BC= 4, AA= 4,點D是AB的中點，（I）求證：ACL BC;（II ）求證：AC/ 平面 CD解析：（1）證明線線垂直方法有兩類：一是通過三垂線定理或逆定理證明，二是通過線面垂直來證明線線垂直；（2）證明線面平行也有兩類：一是通過線線平行得到線面平行，二是通過面面平行得到線面平行 .答案：解法一 ：（I）直三棱柱 ABC- ABC,底面三邊長 AC=3, BC=4AB=5,Ad BC且BC在平面 ABCrt的射影為 BCACL BC;（II ）設CB與CB的交點為E,連結DE D是AB的中

2、點，E是BC的中點,DE/ AC,DEC 平面 CDBi, AC也平面 CDBi, AC 平面 CDBi；解法二：:直三棱柱 ABG AiBiCi底面三邊長 AC= 3, BC= 4, AB= 5,AC BC GC兩兩垂直，如圖，以 C為坐標原點，直線CA CB CC分別為x軸、y軸、z軸, 建立空間直角坐標系，則 C (0,0, 0), A (3,0, 0), C (0,0 , 4) , B (0,4 , 0), B (0,4, 4), D ( 3 , 2,0)2(i)Ac =(-3,0, 0), bC1 =(0, -4,0), AC?BC1 =0,AdBC.設 CB與 CB 的交戰(zhàn)為 E,

3、則 E (0,2 , 2) . = DE = ( 3 , 0,2), aC1 = ( 3,0 ,21 .4）, . DE = AC1 , ，DE/ AC.2點評：2.平行問題的轉化：轉化轉化面面平行線面平行線線平行;主要依據(jù)是有關的定義及判定定理和性質定理.如圖所示，四棱錐 P ABCD, AB_LAD CD_L AD, PA_L 底面 ABCD PA=AD=CD=2AB=2M 為PC的中點。(1)求證：BM/平面PAD(2)在側面PAD內找一點 N,使MM_平面PBD(3)求直線PC與平面PBD所成角的正弦。解析：本小題考查直線與平面平行，直線與平面垂直,.面角等基礎知識，考查空間想象能力和

4、推理論證能力答案：(1) ; M是PC的中點，取PD的中點E ,則ME -CD ，又 ABS1CD22二四邊形ABME為平行四邊形, BM / EA , BM 遼平面 PADEA u平面PAD- BM / 平面 PAD(4分)(2)以A為原點，以AB、AD、AP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，如圖，則 B(1,0,0) C(2,2,0), D(0,2,0), P(0,0,2), M (1,1,1), E(0,1,1)在平面 PAD 內設 N(0,y,z ), MN =( 1, y 1,z 1 ), PB = (1,0-2),DB = (1,-2,0)由疝 _L PB.MN PB

5、- -1 2z 2 = 0, 二、 二、 -一 -一 11由 MN_DB. MN DB = -1-2y 2 = 0. y=2解法11、二 N 0,-,-卜2 2；N是AE的中點,此時MN _L平面PBD(8分)(3)設直線PC與平面PBD所成的角為日-1/11)/ 八PC =(2,2,2 ), MN1,一萬,一萬 |，設：；PC,MN)為口T TPC MN-2一 62 32sin 二-cos.i故直線PC與平面PBD所成角的正弦為(1) ; M是PC的中點，取PD的中點E ,則ME嚀皿又abcd二四邊形ABME為平行四邊形(12 分), BM / EA , BM 0平面 PADEA u平面PA

6、DBM / 平面 PAD（4 分）（2）由（1）知ABME為平行四邊形PA _L 底面 ABCD 二 PA _L AB ,又 AB _L AD二AB 1平面PAD 同理CD _L平面PAD , AE u 平面PADAB _LAE , ABME 為矩形 CD / ME , CD _L PD ,又 PD _L AEME _L PD ; PD _L 平面 ABMEPD u 平面 PBD二平面PBD _L平面ABME 作MF _L EB故MF _L平面PBDMF 交 AE 于 N ,在矩形 ABME 內，AB = ME = 1, AE = J2MF =E NE =42N為AE的中點:32二當點N為AE

7、的中點時，MN _L平面PBD（8分）（3）由（2）知MF為點M到平面PBD的距離，ZMPF為直線PC與平面PBD所成的角，設為6 , sin9=世=出MP 32,直線PC與平面PBD所成的角的正弦值為3點評：（1）證明線面平行只需證明直線與平面內一條直線平行即可；（2）求斜線與平面所成的角只需在斜線上找一點作已知平面的垂線，斜線和射影所成的角，即為所求角；（3）證明線面垂直只需證此直線與平面內兩條相交直線垂直變可.這些從證法中都能十分明顯地體現(xiàn)出來.如圖，四棱錐 P -ABCD中，側面PDC是邊長為2的正三角形，且與底面垂直，底面ABCD是/ADC =60的菱形，M為PB的中點.（I ）求P

8、A與底面ABCD所成角的大小；（n ）求證：PA _L平面CDM ；（m）求二面角D -MC -B的余弦值.解析：求線面角關鍵是作垂線， 找射影，求異面直線所成的角采用平移法求二面角的大小也可應用面積射影法，比較好的方法是向量法答案：（I）取DC的中點Q由APDB正三角形，有 POL DC又平面 PDCL底面 ABCD POL平面 ABCDF Q連結OA則OA是PA在底面上的射影.PACfc是PA與底面所成角./ADC60。，由已知 APCDF 口 A ACM全等的正三角形，從而求得OAOPT3 .PAO45 .PA與底面ABCDT成角的大小為 45 .6分(II)由底面 ABC西菱形且/ A

9、DB60 , DC=2, DO=1,有 OAL DCB(. 3, 2, 0), C (0,1,0).建立空間直角坐標系如圖，則A(、蘆0,0), P(0,0,邪),D(0, _1,0),由M為PB中點，. M咚1,坐).俞二(，,2,。, PA H點 0, f，dC =(0，2, 0).PA DM =事父召+2M0 +(/3) =0 ,PA DC =0 3：2 0 0 ( _.3) =0 .PAI DM PAL DC.PAL 平面 DMC 4 分(III) CM4 =(,0,垃 CbK點1,0).令平面BMC勺法向量n=(x,y,z),貝u n CM H ,從而x+z=0；，n CB =0 ,

10、從而 3x+y ZZ0 .由、，取 x=-1,則 y=J3, z . 可取 n=(,Q,1).由(II)知平面CDM勺法向量可取 前=(點0,),. cosn,PAx?a三一叵.所求二面角的余弦值為.6分 TOC o 1-5 h z | n | PA| 5 655法二：(I )方法同上(n)取AP的中點N ,連接MN ,由(I)知，在菱形 ABCD中，由于ZADC =60 ,則 AO _LCD，又 PO _LCD ,則 CD _L 平面 APO ,即 CD _L PA ,11又在APAB中，中位線MN/ - AB , CO/-AB ,則MNCO,則四邊形OCMN為， =2=2所以 MCON,在

11、 AAPO 中，AO =PO ,則 OJ JA?，故 A? JVC 而 MCCD=C,則PA _L平面MCD（出）由（n）知 MC _L平面PAB ,則ZNMB為二面角D - MC B的平面角，在Rt &PAB 中，易得 PA = 76, PB =,PA2 + AB2cosPBA =AB _ 2 _ .10PB 一 10 一 5cos NMB =cos(二 - PBA)皿故，所求二面角的余弦值為5. 105點評：本題主要考查異面直線所成的角、 線面角及二面角的一般求法， 綜合性較強用平移法求異面直線所成的角，利用三垂線定理求作二面角的平面角，是常用的方法4.如圖所示：邊長為 2的正方形ABFG

12、口高為2的直角梯形 ADE所在的平面互相垂直且DE=/2 , ED/AF 且/ DAF=90 。(1)求BD和面BEF所成的角的余弦；(2)線段EF上是否存在點 P使過P、A、C三點的 平面和直線 DB垂直，若存在，求EP與PF的 比值；若不存在，說明理由。解析：1.先假設存在，再去推理，下結論：2.運用推理證明計算得出結論，或先利用條件特例得出 結論，然后再根據(jù)條件給出證明或計算。答案：(1)因為AC AD AB兩兩垂直，建立如圖坐 標系，則 B (2, 0, 0), D (0, 0, 2),E (1,1, 2), F (2, 2, 0),則 DB = (2,0,0), BE =(-1,1,

13、2), BF = (0,2,0)設平面BEF的法向量n = (x, y,z),則-x+ y+2z=0,y=0,則可取 n= (2,1,0),向量而和n=(2,0,1)所成角的余弦為 TOC o 1-5 h z 2 2 0-2.10,- O22 12 22(-2)210一 一一 .10即BD和面BEF所成的角的余弦。10(2)假設線段EF上存在點P使過P、A、C三點的平面和直線 DB垂直，不妨設EP與PF的比值為mi則P點坐標為(1 2m 1 2m 2 ) 1m, 1m,1m,1 2m 1 2m 21 2m貝U向重 AP =(,),向重 CP =(1m 1m 1m1 m1 2m J 2m ,小

14、21所以2十0十(2)= 0,所以m =。1 m 1 m 1 m2點評：本題考查了線線關系，線面關系及其相關計算，本題采用探索式、開放式設問方 式，對學生靈活運用知識解題提出了較高要求。.已知正方形 ABCDE、F分別是AB、CD的中點，將ADE沿DE折起，如圖所示，記二面角A-DE -C 的大小為 0(0 0 n)(I)證明BF /平面ADE(II)若UACD為正三角形,試判斷點A在平面BCDE內的射影G是否在直線EF上,證明你白結論，并求角6的余弦值分析：充分發(fā)揮空間想像能力，重點抓住不變的位置和數(shù)量關系，借助模型圖形得出結論，并給出證明.解：(I)證明:EF分別為正方形 ABCD導邊AR

15、 CD的中點，, EB/FD,且 EB=FD,二四邊形EBFM平行四邊形.BF/ED.；EFu平面AED,而BF紅平面AED，二BF /平面ADE(II)如右圖，點A在平面BCDM的射影 G在直線EF上，過點A作AG垂直于平面 BCDE,垂足為G,連結GC,GD；：ACD為正三角形,.AC=AD.CG=GD.；6在CD的垂直平分線上，點A在平面BCDM的射影G在直線EF上,過G作GH垂直于ED于H,連結AH,則AH _L DE ,所以ZAHD為二面角A-DE-C的平面角即/AHG=g.設原正方體的邊長為 2a,連結AF,在折后圖的AAEF中,AF= J3a ,EF=2AE=2a,即 AEF為直

16、角三角形，AG EF=AE AF .3,2 AG = a 在 RtADE中，AH DE = AE AD , AH =濡a.aGH =- , cos-二2、5GHAH點評：在平面圖形翻折成空間圖形的這類折疊問題中,般來說，位于同一平面內的幾何元素相對位置和數(shù)量關系不變：位于兩個不同平面內的元素， 位置和數(shù)量關系要發(fā)生變化,翻折問題常用的添輔助線的方法是作棱的垂線。關鍵要抓不變的量.設棱錐M-ABC曲底面是正方形，且 M上MD MAL AB,如果A AMD勺面積為1 ,試求能夠放入這個棱錐的最大球的半徑分析：關鍵是找出球心所在的三角形，求出內切圓半徑解：ABAD, AB MA.AB上平面MAD由此，面MADL面AC.記E是AD的中點，從而M吐AD.MEL平面 AC MEL EF.設球O是與平面 MAD平面AC 平面 MBCIB相切的球.不妨設OC平面 MEF于是 O是AMEF勺內心.設球O的半徑為r,則