中學數(shù)學校本教材數(shù)學思維的培養(yǎng)

1、數(shù)學校本課程開發(fā)方案目標：以貼近生活實際、加強數(shù)學應用為宗旨，針對數(shù)學這門課的特點，從生活中挖掘數(shù)學，提高學生應用數(shù)學知識解決有關問題的能力，培養(yǎng)學生的觀察，分析能力，充分發(fā)揮學生的創(chuàng)造性，開發(fā)學生自身的潛能，并且加強對學生的動手操作能力的訓練，鼓勵學生能夠展示自己的研究成果，培養(yǎng)學生的成功心態(tài)，使學生的心理得到健康的發(fā)展，使每位學生的能力得到充分體現(xiàn)。內容：讓學生體會數(shù)學可發(fā)生在我們的周圍，我們的生活空間是無窮的數(shù)學世界，在課堂上多設情景，應用數(shù)學解決問題，培養(yǎng)學生良好的思維習慣，讓他們充分發(fā)揮自己的創(chuàng)造性，感受到數(shù)學的樂趣，在愉快、輕松的學習過程中掌握數(shù)學知識，從而培養(yǎng)學生良好的學習習慣，

2、觀察事物的能力，形成正確的人生觀、價值觀。開發(fā)人員：李明良 梁曉輝 李文文 宋洪軍孫蕾 曾憲秀 王永秀參加人員：高一一班學生實施時間：星期三第四節(jié)實施方式：教室管理與評價：課程評價可分為課程本身評價、教師授課評價和學生學習評價。課程本身評價主要指對課程綱要的評價，包括課程目標是否與學校教育目標相符，課程是否有利于學生的發(fā)展等。教師授課評價主要是對教師教學過程的評價。學生學習評價主要對學生在學習過程中，知識與技能等方面取得的成績做出評價。評價方法有觀察、調查、測驗、學習成果展示等。課程實施計劃目標：探索中鞏固所學到的數(shù)學知識，培養(yǎng)學生善于觀察，善于聯(lián)想，善于將問題轉化培養(yǎng)學生熱愛數(shù)學，熱愛生活，

3、將數(shù)學知識應用于生活實際的能力探索講授內容：第一章：變通性思維的培養(yǎng)，第二章：反思性思維的培養(yǎng)第三章：嚴密性思維的培養(yǎng)，第四章：開闊性思維的培養(yǎng)，第五章：數(shù)學解題思維過程時間安排： 每周三第四節(jié)中學校本課程課程名稱：數(shù)學思維的培養(yǎng)開發(fā)人： 學科： 數(shù)學第一章 數(shù)學思維的變通性一、概念數(shù)學問題千變萬化，要想既快又準的解題，總用一套固定的方案是行不通的，必須具有思維的變通性善于根據(jù)題設的相關知識，提出靈活的設想和解題方案。根據(jù)數(shù)學思維變通性的主要體現(xiàn)，本講將著重進行以下幾個方面的訓練： （1）善于觀察（2）善于聯(lián)想（3）善于將問題進行轉化（1）觀察能力的訓練任何一道數(shù)學題，都包含一定的數(shù)學條件和關

4、系。要想解決它，就必須依據(jù)題目的具體特征，對題目進行深入的、細致的、透徹的觀察，然后認真思考，透過表面現(xiàn)象看其本質，這樣才能確定解題思路，找到解題方法。雖然觀察看起來是一種表面現(xiàn)象，但它是認識事物內部規(guī)律的基礎。所以，必須重視觀察能力的訓練，使學生不但能用常規(guī)方法解題，而且能根據(jù)題目的具體特征，采用特殊方法來解題。例1 已知 SKIPIF 1 0 都是實數(shù)，求證 SKIPIF 1 0 思路分析 從題目的外表形式觀察到，要證的結論的右端與平面上兩點間的距離公式很相似，而xyO SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 圖121左端可看作是點到原點的距離公式。根據(jù)其特點，可采用下面巧妙而簡捷的證

5、法，這正是思維變通的體現(xiàn)。證明 不妨設 SKIPIF 1 0 如圖121所示，則 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 中，由三角形三邊之間的關系知： SKIPIF 1 0 當且僅當O在AB上時，等號成立。 因此， SKIPIF 1 0 已知 SKIPIF 1 0 ，試求 SKIPIF 1 0 的最大值。解 由 SKIPIF 1 0 得 SKIPIF 1 0 又 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 當 SKIPIF 1 0 時， SKIPIF 1 0 有最大值，最大值為 SKIPIF 1 0 思路分析 要求 SKIPIF 1 0 的最大值，由已知條件很快

6、將 SKIPIF 1 0 變?yōu)橐辉魏瘮?shù) SKIPIF 1 0 然后求極值點的 SKIPIF 1 0 值，聯(lián)系到 SKIPIF 1 0 ，這一條件，既快又準地求出最大值。上述解法觀察到了隱蔽條件，體現(xiàn)了思維的變通性。已知二次函數(shù) SKIPIF 1 0 滿足關系 SKIPIF 1 0 ，試比較 SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 的大小。xyO2圖122思路分析 由已知條件 SKIPIF 1 0 可知，在與 SKIPIF 1 0 左右等距離的點的函數(shù)值相等，說明該函數(shù)的圖像關于直線 SKIPIF 1 0 對稱，又由已知條件知它的開口向上，所以，可根據(jù)該函數(shù)的大致圖像簡捷地解出此題。

7、解 （如圖122）由 SKIPIF 1 0 ，知 SKIPIF 1 0 是以直線 SKIPIF 1 0 為對稱軸，開口向上的拋物線它與 SKIPIF 1 0 距離越近的點，函數(shù)值越小。 SKIPIF 1 0 （2）聯(lián)想能力的訓練聯(lián)想是問題轉化的橋梁。稍具難度的問題和基礎知識的聯(lián)系，都是不明顯的、間接的、復雜的。因此，解題的方法怎樣、速度如何，取決于能否由觀察到的特征，靈活運用有關知識，做出相應的聯(lián)想，將問題打開缺口，不斷深入。例如，解方程組 SKIPIF 1 0 .這個方程指明兩個數(shù)的和為 SKIPIF 1 0 ，這兩個數(shù)的積為 SKIPIF 1 0 。由此聯(lián)想到韋達定理， SKIPIF 1

8、0 、 SKIPIF 1 0 是一元二次方程 SKIPIF 1 0 的兩個根，所以 SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 .可見，聯(lián)想可使問題變得簡單。在 SKIPIF 1 0 中，若 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 為鈍角，則 SKIPIF 1 0 的值(A) 等于1 (B)小于1 (C) 大于1 (D) 不能確定思路分析 此題是在 SKIPIF 1 0 中確定三角函數(shù) SKIPIF 1 0 的值。因此，聯(lián)想到三角函數(shù)正切的兩角和公式 SKIPIF 1 0 可得下面解法。解 SKIPIF 1 0 為鈍角， SKIPIF 1 0 .在 SKIPIF 1 0 中 SKIPI

9、F 1 0 且 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 故應選擇（B）若 SKIPIF 1 0 思路分析 此題一般是通過因式分解來證。但是，如果注意觀察已知條件的特點，不難發(fā)現(xiàn)它與一元二次方程的判別式相似。于是，我們聯(lián)想到借助一元二次方程的知識來證題。證明 當 SKIPIF 1 0 時，等式 SKIPIF 1 0 可看作是關于 SKIPIF 1 0 的一元二次方程 SKIPIF 1 0 有等根的條件，在進一步觀察這個方程，它的兩個相等實根是1 ，根據(jù)韋達定理就有： SKIPIF 1 0 即 SKIPIF 1 0 若 SKIPIF 1 0 ，由已知條件易得 SKIPIF 1 0 即 SKIP

10、IF 1 0 ,顯然也有 SKIPIF 1 0 .已知 SKIPIF 1 0 均為正實數(shù),滿足關系式 SKIPIF 1 0 ,又 SKIPIF 1 0 為不小于 SKIPIF 1 0 的自然數(shù)，求證: SKIPIF 1 0 思路分析 由條件 SKIPIF 1 0 聯(lián)想到勾股定理, SKIPIF 1 0 可構成直角三角形的三邊，進一步聯(lián)想到三角函數(shù)的定義可得如下證法。證明 設 SKIPIF 1 0 所對的角分別為 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 則 SKIPIF 1 0 是直角， SKIPIF 1 0 為銳角，于是 SKIPIF 1 0 且 SKIPIF

11、 1 0 當 SKIPIF 1 0 時，有 SKIPIF 1 0 于是有 SKIPIF 1 0 即 SKIPIF 1 0 從而就有 SKIPIF 1 0 （3）問題轉化的訓練數(shù)學家G . 波利亞在怎樣解題中說過：數(shù)學解題是命題的連續(xù)變換?？梢姡忸}過程是通過問題的轉化才能完成的。轉化是解數(shù)學題的一種十分重要的思維方法。那么怎樣轉化呢？概括地講，就是把復雜問題轉化成簡單問題，把抽象問題轉化成具體問題，把未知問題轉化成已知問題。在解題時，觀察具體特征，聯(lián)想有關問題之后，就要尋求轉化關系。例如，已知 SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 ,求證 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1

12、0 、 SKIPIF 1 0 三數(shù)中必有兩個互為相反數(shù)。恰當?shù)霓D化使問題變得熟悉、簡單。要證的結論，可以轉化為： SKIPIF 1 0 思維變通性的對立面是思維的保守性，即思維定勢。思維定勢是指一個人用同一種思維方法解決若干問題以后，往往會用同樣的思維方法解決以后的問題。它表現(xiàn)就是記類型、記方法、套公式，使思維受到限制，它是提高思維變通性的極大的障礙，必須加以克服。綜上所述，善于觀察、善于聯(lián)想、善于進行問題轉化，是數(shù)學思維變通性的具體體現(xiàn)。要想提高思維變通性，必須作相應的思維訓練。 eq oac(,1) 轉化成容易解決的明顯題目 例11 已知 SKIPIF 1 0 求證 SKIPIF 1 0

13、、 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 中至少有一個等于1。思路分析 結論沒有用數(shù)學式子表示，很難直接證明。首先將結論用數(shù)學式子表示，轉化成我們熟悉的形式。 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 中至少有一個為1，也就是說 SKIPIF 1 0 中至少有一個為零，這樣，問題就容易解決了。證明 SKIPIF 1 0 于是 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 中至少有一個為零，即 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 中至少有一個為1。思維障礙 很多學生只在已知條件上下功夫，左變右變，

14、還是不知如何證明三者中至少有一個為1，其原因是不能把要證的結論“翻譯”成數(shù)學式子，把陌生問題變?yōu)槭煜栴}。因此，多練習這種“翻譯”，是提高轉化能力的一種有效手段。直線 SKIPIF 1 0 的方程為 SKIPIF 1 0 ，其中 SKIPIF 1 0 ；橢圓 SKIPIF 1 0 的中心為 SKIPIF 1 0 ，焦點在 SKIPIF 1 0 軸上，長半軸為2，短半軸為1，它的一個頂點為 SKIPIF 1 0 ，問 SKIPIF 1 0 在什么范圍內取值時，橢圓上有四個不同的點，它們中的每一點到點 SKIPIF 1 0 的距離等于該點到直線 SKIPIF 1 0 的距離。思路分析 從題目的要求

15、及解析幾何的知識可知，四個不同的點應在拋物線 SKIPIF 1 0 （1）是，又從已知條件可得橢圓 SKIPIF 1 0 的方程為 SKIPIF 1 0 （2）因此，問題轉化為當方程組（1）、（2）有四個不同的實數(shù)解時，求 SKIPIF 1 0 的取值范圍。將（2）代入（1）得： SKIPIF 1 0 （3）確定 SKIPIF 1 0 的范圍，實際上就是求（3）有兩個不等正根的充要條件，解不等式組： SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 的條件下，得 SKIPIF 1 0 本題在解題過程中，不斷地把問題化歸為標準問題：解方程組和不等式組的問題。 eq oac(,2) 逆向思維的訓練逆

16、向思維不是按習慣思維方向進行思考，而是從其反方向進行思考的一種思維方式。當問題的正面考慮有阻礙時，應考慮問題的反面，從反面入手，使問題得到解決。例13 已知函數(shù) SKIPIF 1 0 ，求證 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 中至少有一個不小于1.思路分析 反證法被譽為“數(shù)學家最精良的武器之一”，它也是中學數(shù)學常用的解題方法。當要證結論中有“至少”等字樣，或以否定形式給出時，一般可考慮采用反證法。證明 （反證法）假設原命題不成立，即 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 都小于1。則 SKIPIF 1 0 SKIPIF

17、 1 0 得 SKIPIF 1 0 ，與矛盾，所以假設不成立，即 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 中至少有一個不小于1。 eq oac(,3) 一題多解訓練 由于每個學生在觀察時抓住問題的特點不同、運用的知識不同，因而，同一問題可能得到幾種不同的解法，這就是“一題多解”。通過一題多解訓練，可使學生認真觀察、多方聯(lián)想、恰當轉化，提高數(shù)學思維的變通性。例14 已知復數(shù) SKIPIF 1 0 的模為2，求 SKIPIF 1 0 的最大值。解法一（代數(shù)法）設 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 解法二（三角法）設 SKIPIF 1

18、 0 yxOi-2i圖123Z則 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 解法三（幾何法） SKIPIF 1 0 如圖123 所示，可知當 SKIPIF 1 0 時， SKIPIF 1 0 解法四（運用模的性質） SKIPIF 1 0 而當 SKIPIF 1 0 時， SKIPIF 1 0 解法五（運用模的性質） SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 又 SKIPIF 1 0 第二章 數(shù)學思維的反思性一、概述數(shù)學思維的反思性表現(xiàn)在思維活動中善于提出獨立見解，精細地檢查思維過程，不盲從、不輕信。在解決問題時能不斷地驗證所擬定的假設，獲得獨特的解決問題的方法，它和創(chuàng)造性思維存在著高度相關

19、。本講重點加強學生思維的嚴密性的訓練，培養(yǎng)他們的創(chuàng)造性思維。二、思維訓練實例(1) 檢查思路是否正確，注意發(fā)現(xiàn)其中的錯誤。 例1 已知 SKIPIF 1 0 ，若 SKIPIF 1 0 求 SKIPIF 1 0 的范圍。錯誤解法 由條件得 SKIPIF 1 0 2得 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 2得 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 則 SKIPIF 1 0 + SKIPIF 1 0 得 SKIPIF 1 0 錯誤分析 采用這種解法，忽視了這樣一個事實：作為滿足條件的函數(shù) SKIPIF 1 0 ，其值是同時受 SKIPIF 1 0 制約的。當 SKIPIF 1 0 取

20、最大（?。┲禃r， SKIPIF 1 0 不一定取最大（?。┲?，因而整個解題思路是錯誤的。正確解法 由題意有 SKIPIF 1 0 解得： SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 把 SKIPIF 1 0 和 SKIPIF 1 0 的范圍代入得 SKIPIF 1 0 在本題中能夠檢查出解題思路錯誤，并給出正確解法，就體現(xiàn)了思維具有反思性。只有牢固地掌握基礎知識，才能反思性地看問題。證明勾股定理：已知在 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 ，求證 SKIPIF 1 0 錯誤證法 在 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 而 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1

21、0 ，即 SKIPIF 1 0 錯誤分析 在現(xiàn)行的中學體系中， SKIPIF 1 0 這個公式本身是從勾股定理推出來的。這種利用所要證明的結論，作為推理的前提條件，叫循環(huán)論證。循環(huán)論證的錯誤是在不知不覺中產(chǎn)生的，而且不易發(fā)覺。因此，在學習中對所學的每個公式、法則、定理，既要熟悉它們的內容，又要熟悉它們的證明方法和所依據(jù)的論據(jù)。這樣才能避免循環(huán)論證的錯誤。發(fā)現(xiàn)本題犯了循環(huán)論證的錯誤，正是思維具有反思性的體現(xiàn)。 (2) 驗算的訓練驗算是解題后對結果進行檢驗的過程。通過驗算，可以檢查解題過程的正確性，增強思維的反思性。已知數(shù)列 SKIPIF 1 0 的前 SKIPIF 1 0 項和 SKIPIF 1

22、 0 ，求 SKIPIF 1 0 錯誤解法 SKIPIF 1 0 錯誤分析 顯然，當 SKIPIF 1 0 時， SKIPIF 1 0 ，錯誤原因，沒有注意公式 SKIPIF 1 0 成立的條件是 SKIPIF 1 0 因此在運用 SKIPIF 1 0 時，必須檢驗 SKIPIF 1 0 時的情形。即： SKIPIF 1 0 實數(shù) SKIPIF 1 0 為何值時，圓 SKIPIF 1 0 與拋物線 SKIPIF 1 0 有兩個公共點。錯誤解法 將圓 SKIPIF 1 0 與拋物線 SKIPIF 1 0 聯(lián)立，消去 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 因為有兩個公共點，所以方程有兩

23、個相等正根，得 SKIPIF 1 0 解之，得 SKIPIF 1 0 錯誤分析 （如圖221；222）顯然，當 SKIPIF 1 0 時，圓與拋物線有兩個公共點。xyO圖222xyO圖221要使圓與拋物線有兩個交點的充要條件是方程有一正根、一負根；或有兩個相等正根。當方程有一正根、一負根時，得 SKIPIF 1 0 解之，得 SKIPIF 1 0 因此，當 SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 時，圓 SKIPIF 1 0 與拋物線 SKIPIF 1 0 有兩個公共點。思考題：實數(shù) SKIPIF 1 0 為何值時，圓 SKIPIF 1 0 與拋物線 SKIPIF 1 0 ，有一個公共

24、點；有三個公共點；有四個公共點；沒有公共點。養(yǎng)成驗算的習慣，可以有效地增強思維反思性。如：在解無理方程、無理不等式；對數(shù)方程、對數(shù)不等式時，由于變形后方程或不等式兩端代數(shù)式的定義域可能會發(fā)生變化，這樣就有可能產(chǎn)生增根或失根，因此必須進行檢驗，舍棄增根，找回失根。(3) 獨立思考，敢于發(fā)表不同見解受思維定勢或別人提示的影響，解題時盲目附和，不能提出自己的看法，這不利于增強思維的反思性。因此，在解決問題時，應積極地獨立思考，敢于對題目解法發(fā)表自己的見解，這樣才能增強思維的反思性，從而培養(yǎng)創(chuàng)造性思維。解方程 SKIPIF 1 0 考察方程兩端相應的函數(shù) SKIPIF 1 0 ，它們的圖象無交點。所以

25、此方程無解。例6 設 SKIPIF 1 0 是方程 SKIPIF 1 0 的兩個實根，則 SKIPIF 1 0 的最小值是（ ） SKIPIF 1 0 思路分析 本例只有一個答案正確，設了3個陷阱，很容易上當。利用一元二次方程根與系數(shù)的關系易得： SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 有的學生一看到 SKIPIF 1 0 ，常受選擇答案（A）的誘惑，盲從附和。這正是思維缺乏反思性的體現(xiàn)。如果能以反思性的態(tài)度考察各個選擇答案的來源和它們之間的區(qū)別，就能從中選出正確答案。 SKIPIF 1 0 原方程有兩個實根 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 當 SKI

26、PIF 1 0 時， SKIPIF 1 0 的最小值是8；當 SKIPIF 1 0 時， SKIPIF 1 0 的最小值是18；這時就可以作出正確選擇，只有（B）正確。第三章 數(shù)學思維的嚴密性一、概述在中學數(shù)學中，思維的嚴密性表現(xiàn)為思維過程服從于嚴格的邏輯規(guī)則，考察問題時嚴格、準確，進行運算和推理時精確無誤。數(shù)學是一門具有高度抽象性和精密邏輯性的科學，論證的嚴密性是數(shù)學的根本特點之一。但是，由于認知水平和心里特征等因素的影響，中學生的思維過程常常出現(xiàn)不嚴密現(xiàn)象，主要表現(xiàn)在以下幾個方面：概念模糊 概念是數(shù)學理論體系中十分重要的組成部分。它是構成判斷、推理的要素。因此必須弄清概念，搞清概念的內涵和

27、外延，為判斷和推理奠定基礎。概念不清就容易陷入思維混亂，產(chǎn)生錯誤。判斷錯誤 判斷是對思維對象的性質、關系、狀態(tài)、存在等情況有所斷定的一種思維形式。數(shù)學中的判斷通常稱為命題。在數(shù)學中，如果概念不清，很容易導致判斷錯誤。例如，“函數(shù)是一個減函數(shù)”就是一個錯誤判斷。推理錯誤 推理是運用已知判斷推導出新的判斷的思維形式。它是判斷和判斷的聯(lián)合。任何一個論證都是由推理來實現(xiàn)的，推理出錯，說明思維不嚴密。例如，解不等式解 或 這個推理是錯誤的。在由推導時，沒有討論的正、負，理由不充分，所以出錯。二、思維訓練實例思維的嚴密性是學好數(shù)學的關鍵之一。訓練的有效途徑之一是查錯。(1) 有關概念的訓練概念是抽象思維的

28、基礎，數(shù)學推理離不開概念?！罢_理解數(shù)學概念是掌握數(shù)學基礎知識的前提?！辈坏仁?錯誤解法 錯誤分析 當時，真數(shù)且在所求的范圍內（因 ），說明解法錯誤。原因是沒有弄清對數(shù)定義。此題忽視了“對數(shù)的真數(shù)大于零”這一條件造成解法錯誤，表現(xiàn)出思維的不嚴密性。正確解法 求過點的直線，使它與拋物線僅有一個交點。錯誤解法 設所求的過點的直線為，則它與拋物線的交點為，消去得：整理得 直線與拋物線僅有一個交點，解得所求直線為錯誤分析 此處解法共有三處錯誤：第一，設所求直線為時，沒有考慮與斜率不存在的情形，實際上就是承認了該直線的斜率是存在的，且不為零，這是不嚴密的。第二，題中要求直線與拋物線只有一個交點，它包含相

29、交和相切兩種情況，而上述解法沒有考慮相切的情況，只考慮相交的情況。原因是對于直線與拋物線“相切”和“只有一個交點”的關系理解不透。第三，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立后得一個一元二次方程，要考慮它的判別式，所以它的二次項系數(shù)不能為零，即而上述解法沒作考慮，表現(xiàn)出思維不嚴密。正確解法 當所求直線斜率不存在時，即直線垂直軸，因為過點，所以即軸，它正好與拋物線相切。當所求直線斜率為零時，直線為平行軸，它正好與拋物線只有一個交點。設所求的過點的直線為則， 令解得所求直線為綜上，滿足條件的直線為：判斷的訓練造成判斷錯誤的原因很多，我們在學習中，應重視如下幾個方面。注意定理、公式成立的條件數(shù)學上的定理和公式都

30、是在一定條件下成立的。如果忽視了成立的條件，解題中難免出現(xiàn)錯誤。實數(shù)，使方程至少有一個實根。錯誤解法 方程至少有一個實根，或錯誤分析 實數(shù)集合是復數(shù)集合的真子集，所以在實數(shù)范圍內成立的公式、定理，在復數(shù)范圍內不一定成立，必須經(jīng)過嚴格推廣后方可使用。一元二次方程根的判別式是對實系數(shù)一元二次方程而言的，而此題目盲目地把它推廣到復系數(shù)一元二次方程中，造成解法錯誤。正確解法 設是方程的實數(shù)根，則由于都是實數(shù)，解得 注意充分條件、必要條件和充分必要條件在解題中的運用我們知道：如果成立，那么成立，即，則稱是的充分條件。如果成立，那么成立，即，則稱是的必要條件。如果，則稱是的充分必要條件。充分條件和必要條件

31、中我們的學習中經(jīng)常遇到。像討論方程組的解，求滿足條件的點的軌跡等等。但充分條件和必要條件中解題中的作用不同，稍用疏忽，就會出錯。例5 解不等式錯誤解法 要使原不等式成立，只需 解得錯誤分析 不等式成立的充分必要條件是：或 原不等式的解法只考慮了一種情況，而忽視了另一種情況，所考慮的情況只是原不等式成立的充分條件，而不是充分必要條件，其錯誤解法的實質，是把充分條件當成了充分必要條件。正確解法 要使原不等式成立，則PC(3,0)yxO圖321 MN或，或原不等式的解集為 例6（軌跡問題）求與軸相切于右側，并與也相切的圓的圓心的軌跡方程。錯誤解法 如圖321所示，已知C的方程為設點為所求軌跡上任意一

32、點，并且P與軸相切于M點，與C相切于N點。根據(jù)已知條件得，即化簡得 錯誤分析 本題只考慮了所求軌跡的純粹性（即所求的軌跡上的點都滿足條件），而沒有考慮所求軌跡的完備性（即滿足條件的點都在所求的軌跡上）。事實上，符合題目條件的點的坐標并不都滿足所求的方程。從動圓與已知圓內切，可以發(fā)現(xiàn)以軸正半軸上任一點為圓心，此點到原點的距離為半徑（不等于3）的圓也符合條件，所以也是所求的方程。即動圓圓心的軌跡方程是。因此，在求軌跡時，一定要完整的、細致地、周密地分析問題，這樣，才能保證所求軌跡的純粹性和完備性。防止以偏概全的錯誤以偏概全是指思考不全面，遺漏特殊情況，致使解答不完全，不能給出問題的全部答案，從而表

33、現(xiàn)出思維的不嚴密性。例7 設等比數(shù)列的全項和為.若，求數(shù)列的公比.錯誤解法 錯誤分析 在錯解中，由時，應有在等比數(shù)列中，是顯然的，但公比完全可能為1，因此，在解題時應先討論公比的情況，再在的情況下，對式子進行整理變形。正確解法 若，則有但，即得與題設矛盾，故.又依題意 可得 即因為，所以所以所以 說明 此題為1996年全國高考文史類數(shù)學試題第（21）題，不少考生的解法同錯誤解法，根據(jù)評分標準而痛失2分。避免直觀代替論證我們知道直觀圖形常常為我們解題帶來方便。但是，如果完全以圖形的直觀聯(lián)系為依據(jù)來進行推理，這就會使思維出現(xiàn)不嚴密現(xiàn)象。例8 （如圖322），具有公共軸的兩個直角坐標平面和所成的二面

34、角等于.已知內的曲線的方程是，求曲線在內的射影的曲線方程。錯誤解法 依題意，可知曲線是拋物線，在內的焦點坐標是因為二面角等于，且所以設焦點在內的射影是，那么，位于軸上，從而所以所以點是所求射影的焦點。依題意，射影是一條拋物線，開口向右，頂點在原點。所以曲線在內的射影的曲線方程是錯誤分析 上述解答錯誤的主要原因是，憑直觀誤認為。正確解法 在內，設點是曲線上任意一點O圖323MNH（如圖323）過點作，垂足為，過作軸，垂足為連接，則軸。所以是二面角的平面角，依題意，.在又知軸（或與重合），軸（或與重合），設，則 因為點在曲線上，所以O圖322即所求射影的方程為 推理的訓練數(shù)學推理是由已知的數(shù)學命題

35、得出新命題的基本思維形式，它是數(shù)學求解的核心。以已知的真實數(shù)學命題，即定義、公理、定理、性質等為依據(jù)，選擇恰當?shù)慕忸}方法，達到解題目標，得出結論的一系列推理過程。在推理過程中，必須注意所使用的命題之間的相互關系（充分性、必要性、充要性等），做到思考縝密、推理嚴密。例9 設橢圓的中心是坐標原點，長軸在軸上，離心率，已知點到這個橢圓上的最遠距離是，求這個橢圓的方程。錯誤解法 依題意可設橢圓方程為則 ，所以 ，即 設橢圓上的點到點的距離為，則 所以當時，有最大值，從而也有最大值。所以 ，由此解得：于是所求橢圓的方程為錯解分析 盡管上面解法的最后結果是正確的，但這種解法卻是錯誤的。事實上，由于點在橢圓

36、上，所以有，因此在求的最大值時，應分類討論。即：若，則當時，（從而）有最大值。于是從而解得所以必有，此時當時，（從而）有最大值，所以，解得 于是所求橢圓的方程為例10 求的最小值錯解 正確解法 取正常數(shù)，易得其中“”取“”的充要條件是因此，當?shù)谒恼?數(shù)學思維的開拓性一、概述數(shù)學思維開拓性指的是對一個問題能從多方面考慮；對一個對象能從多種角度觀察；對一個題目能想出多種不同的解法，即一題多解?！皵?shù)學是一個有機的整體，它的各個部分之間存在概念的親緣關系。我們在學習每一分支時，注意了橫向聯(lián)系，把親緣關系結成一張網(wǎng)，就可覆蓋全部內容，使之融會貫通”，這里所說的橫向聯(lián)系，主要是靠一題多解來完成的。通過用不

37、同的方法解決同一道數(shù)學題，既可以開拓解題思路，鞏固所學知識；又可激發(fā)學習數(shù)學的興趣和積極性，達到開發(fā)潛能，發(fā)展智力，提高能力的目的。從而培養(yǎng)創(chuàng)新精神和創(chuàng)造能力。在一題多解的訓練中，我們要密切注意每種解法的特點，善于發(fā)現(xiàn)解題規(guī)律，從中發(fā)現(xiàn)最有意義的簡捷解法。數(shù)學思維的開拓性主要體現(xiàn)在：一題的多種解法一題的多種解釋如“1”這個數(shù)字，它可以根據(jù)具體情況變成各種形式，使解題變得簡捷。“1”可以變換為： SKIPIF 1 0 ，等等。思維訓練實例例1 已知 SKIPIF 1 0 求證： SKIPIF 1 0 分析1 用比較法。本題只要證 SKIPIF 1 0 為了同時利用兩個已知條件，只需要觀察到兩式相

38、加等于2便不難解決。證法1 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 所以 SKIPIF 1 0 分析2 運用分析法，從所需證明的不等式出發(fā)，運用已知的條件、定理和性質等，得出正確的結論。從而證明原結論正確。分析法其本質就是尋找命題成立的充分條件。因此，證明過程必須步步可逆，并注意書寫規(guī)范。證法2 要證 SKIPIF 1 0 只需證 SKIPIF 1 0 x SKIPIF 1 0 Myd圖421O即 SKIPIF 1 0 因為 SKIPIF 1 0 所以只需證 SKIPIF 1 0 即 SKIPIF 1 0 因為最后的不等式成立，且步步可逆。所以原不等式成立。分析3 運

39、用綜合法（綜合運用不等式的有關性質以及重要公式、定理（主要是平均值不等式）進行推理、運算，從而達到證明需求證的不等式成立的方法）證法3 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 即 SKIPIF 1 0 分析4 三角換元法：由于已知條件為兩數(shù)平方和等于1的形式，符合三角函數(shù)同角關系中的平方關系條件，具有進行三角代換的可能，從而可以把原不等式中的代數(shù)運算關系轉化為三角函數(shù)運算關系，給證明帶來方便。證法4 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 可設 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 分析5 數(shù)形結合法：由于條件 SKIPIF 1 0 可

40、看作是以原點為圓心，半徑為1的單位圓，而 SKIPIF 1 0 聯(lián)系到點到直線距離公式，可得下面證法。證法5 （如圖4-2-1）因為直線 SKIPIF 1 0 經(jīng)過圓 SKIPIF 1 0 的圓心O，所以圓上任意一點 SKIPIF 1 0 到直線 SKIPIF 1 0 的距離都小于或等于圓半徑1，即 SKIPIF 1 0 簡評 五種證法都是具有代表性的基本方法，也都是應該掌握的重要方法。除了證法4、證法5的方法有適應條件的限制這種局限外，前三種證法都是好方法。可在具體應用過程中，根據(jù)題目的變化的需要適當進行選擇。例2 如果 SKIPIF 1 0 求證： SKIPIF 1 0 成等差數(shù)列。分析1

41、 要證 SKIPIF 1 0 ，必須有 SKIPIF 1 0 成立才行。此條件應從已知條件中得出。故此得到直接的想法是展開已知條件去尋找轉換。證法1 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 故 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 成等差數(shù)列。分析2 由于已知條件具有 SKIPIF 1 0 輪換對稱特點，此特點的充分利用就是以換元去減少原式中的字母，從而給轉換運算帶來便利。證法2 設 SKIPIF 1 0 則 SKIPIF 1 0 于是，已知條件可化為： SKIPIF 1 0 所以 SKIPIF 1 0 成等差數(shù)列。分析3 已知條件呈現(xiàn)二次方程判別式 SK

42、IPIF 1 0 的結構特點引人注目，提供了構造一個適合上述條件的二次方程的求解的試探的機會。證法3 當 SKIPIF 1 0 時，由已知條件知 SKIPIF 1 0 即 SKIPIF 1 0 成等差數(shù)列。當 SKIPIF 1 0 時，關于 SKIPIF 1 0 的一元二次方程： SKIPIF 1 0 其判別式 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 故方程有等根，顯然 SKIPIF 1 0 1為方程的一個根，從而方程的兩根均為1，由韋達定理知 SKIPIF 1 0 即 SKIPIF 1 0 成等差數(shù)列。簡評：證法1是常用方法，略嫌呆板，但穩(wěn)妥可靠。證法2簡單明了，是最好的解法，其換元的技

43、巧有較大的參考價值。證法3引入輔助方程的方法，技巧性強，給人以新鮮的感受和啟發(fā)。已知 SKIPIF 1 0 ，求 SKIPIF 1 0 的最小值。分析1 雖然所求函數(shù)的結構式具有兩個字母 SKIPIF 1 0 ，但已知條件恰有 SKIPIF 1 0 的關系式，可用代入法消掉一個字母，從而轉換為普通的二次函數(shù)求最值問題。解法1 SKIPIF 1 0 設 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 二次項系數(shù)為 SKIPIF 1 0 故 SKIPIF 1 0 有最小值。 SKIPIF 1 0 當 SKIPIF 1 0 時， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 S

44、KIPIF 1 0 的最小值為 SKIPIF 1 0 分析2 已知的一次式 SKIPIF 1 0 兩邊平方后與所求的二次式 SKIPIF 1 0 有密切關聯(lián)，于是所求的最小值可由等式轉換成不等式而求得。解法2 SKIPIF 1 0 即 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 即 SKIPIF 1 0 當且僅當 SKIPIF 1 0 時取等號。 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 的最小值為 SKIPIF 1 0 分析3 配方法是解決求最值問題的一種常用手段，利用已知條件結合所求式子，配方后得兩個實數(shù)平方和的形式，從而達到求最值的目的。解法3 設 SKIPIF

45、1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 當 SKIPIF 1 0 時， SKIPIF 1 0 即 SKIPIF 1 0 的最小值為 SKIPIF 1 0 分析4 因為已知條件和所求函數(shù)式都具有解析幾何常見方程的特點，故可得到用解析法求解的啟發(fā)。 SKIPIF 1 0 11Oxy SKIPIF 1 0 圖422解法4 如圖422， SKIPIF 1 0 表示直線 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 表示原點到直線 SKIPIF 1 0 上的點 SKIPIF 1 0 的距離的平方。顯然其中以原點到直線 SKIPIF 1 0 的距離最短。此時， SKIPIF 1 0 即 SKIP

46、IF 1 0 所以 SKIPIF 1 0 的最小值為 SKIPIF 1 0 注 如果設 SKIPIF 1 0 則問題還可轉化為直線 SKIPIF 1 0 與圓 SKIPIF 1 0 有交點時，半徑 SKIPIF 1 0 的最小值。簡評 幾種解法都有特點和代表性。解法1是基本方法，解法2、3、4都緊緊地抓住題設條件的特點，與相關知識聯(lián)系起來，所以具有靈巧簡捷的優(yōu)點，特別是解法4，形象直觀，值得效仿。由圓 SKIPIF 1 0 外一點 SKIPIF 1 0 引圓的割線交圓于 SKIPIF 1 0 兩點，求弦 SKIPIF 1 0 的中點 SKIPIF 1 0 的軌跡方程。分析1 （直接法）根據(jù)題設

47、條件列出幾何等式，運用解析幾何基本公式轉化為代數(shù)等式，從而求出曲線方程。這里考慮在圓中有關弦中點的一些性質，圓心和弦中點的連線垂直于弦，可得下面解法。圖423PMBAOyx解法1 如圖423，設弦 SKIPIF 1 0 的中點 SKIPIF 1 0 的坐標為 SKIPIF 1 0 ，連接 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ，在 SKIPIF 1 0 中，由兩點間的距離公式和勾股定理有 SKIPIF 1 0 整理，得 SKIPIF 1 0 其中 SKIPIF 1 0 分析2 （定義法）根據(jù)題設條件，判斷并確定軌跡的曲線類型，運用待定系數(shù)法求出曲線方程。解法2 因為 SKIPIF

48、1 0 是 SKIPIF 1 0 的中點，所以 SKIPIF 1 0 ，所以點 SKIPIF 1 0 的軌跡是以 SKIPIF 1 0 為直徑的圓，圓心為 SKIPIF 1 0 ,半徑為 SKIPIF 1 0 該圓的方程為： SKIPIF 1 0 化簡，得 SKIPIF 1 0 其中 SKIPIF 1 0 分析3 （交軌法）將問題轉化為求兩直線的交點軌跡問題。因為動點 SKIPIF 1 0 可看作直線 SKIPIF 1 0 與割線 SKIPIF 1 0 的交點，而由于它們的垂直關系，從而獲得解法。解法3 設過 SKIPIF 1 0 點的割線的斜率為 SKIPIF 1 0 則過 SKIPIF 1

49、 0 點的割線方程為： SKIPIF 1 0 . SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 且過原點， SKIPIF 1 0 的方程為 SKIPIF 1 0 這兩條直線的交點就是 SKIPIF 1 0 點的軌跡。兩方程相乘消去 SKIPIF 1 0 化簡，得： SKIPIF 1 0 其中 SKIPIF 1 0 分析4 （參數(shù)法）將動點坐標表示成某一中間變量（參數(shù)）的函數(shù)，再設法消去參數(shù)。由于動點 SKIPIF 1 0 隨直線的斜率變化而發(fā)生變化，所以動點 SKIPIF 1 0 的坐標是直線斜率的函數(shù)，從而可得如下解法。解法4 設過 SKIPIF 1 0 點的割線方程為： SKIPIF 1 0

50、 它與圓 SKIPIF 1 0 的兩個交點為 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 的中點為 SKIPIF 1 0 .解方程組 SKIPIF 1 0 利用韋達定理和中點坐標公式，可求得 SKIPIF 1 0 點的軌跡方程為： SKIPIF 1 0 其中 SKIPIF 1 0 分析5 （代點法）根據(jù)曲線和方程的對應關系：點在曲線上則點的坐標滿足方程。設而不求，代點運算。從整體的角度看待問題。這里由于中點 SKIPIF 1 0 的坐標 SKIPIF 1 0 與兩交點 SKIPIF 1 0 通過中點公式聯(lián)系起來，又點 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 構成4點共線的和諧關系，根據(jù)

51、它們的斜率相等，可求得軌跡方程。解法5 設 SKIPIF 1 0 則 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 兩式相減，整理，得 SKIPIF 1 0 所以 SKIPIF 1 0 即為 SKIPIF 1 0 的斜率，而 SKIPIF 1 0 對斜率又可表示為 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 化簡并整理，得 SKIPIF 1 0 其中 SKIPIF 1 0 簡評 上述五種解法都是求軌跡問題的基本方法。其中解法1、2、3局限于曲線是圓的條件，而解法4、5適用于一般的過定點 SKIPIF 1 0 且與二次曲線 SKIPIF 1 0 交于 SKIPIF 1 0 兩點，求 SKIPIF

52、1 0 中點 SKIPIF 1 0 的軌跡問題。具有普遍意義，值得重視。對于解法5通常利用 SKIPIF 1 0 可較簡捷地求出軌跡方程，比解法4計算量要小，要簡捷得多。第五章 數(shù)學解題思維過程 數(shù)學解題的思維過程是指從理解問題開始，從經(jīng)過探索思路，轉換問題直至解決問題，進行回顧的全過程的思維活動。在數(shù)學中，通?？蓪⒔忸}過程分為四個階段：第一階段是審題。包括認清習題的條件和要求，深入分析條件中的各個元素，在復雜的記憶系統(tǒng)中找出需要的知識信息，建立習題的條件、結論與知識和經(jīng)驗之間的聯(lián)系，為解題作好知識上的準備。 第二階段是尋求解題途徑。有目的地進行各種組合的試驗，盡可能將習題化為已知類型，選擇最

53、優(yōu)解法，選擇解題方案，經(jīng)檢驗后作修正，最后確定解題計劃。 第三階段是實施計劃。將計劃的所有細節(jié)實際地付諸實現(xiàn)，通過與已知條件所選擇的根據(jù)作對比后修正計劃，然后著手敘述解答過程的方法，并且書寫解答與結果。第四階段是檢查與總結。求得最終結果以后，檢查并分析結果。探討實現(xiàn)解題的各種方法，研究特殊情況與局部情況，找出最重要的知識。將新知識和經(jīng)驗加以整理使之系統(tǒng)化。所以：第一階段的理解問題是解題思維活動的開始。第二階段的轉換問題是解題思維活動的核心，是探索解題方向和途徑的積極的嘗試發(fā)現(xiàn)過程，是思維策略的選擇和調整過程。第三階段的計劃實施是解決問題過程的實現(xiàn)，它包含著一系列基礎知識和基本技能的靈活運用和思

54、維過程的具體表達，是解題思維活動的重要組成部分。第四階段的反思問題往往容易為人們所忽視，它是發(fā)展數(shù)學思維的一個重要方面，是一個思維活動過程的結束包含另一個新的思維活動過程的開始。通過以下探索途徑來提高解題能力：研究問題的條件時，在需要與可能的情況下，可畫出相應圖形或思路圖幫助思考。因為這意味著你對題的整個情境有了清晰的具體的了解。清晰地理解情境中的各個元素；一定要弄清楚其中哪些元素是給定了的，即已知的，哪些是所求的，即未知的。深入地分析并思考習題敘述中的每一個符號、術語的含義，從中找出習題的重要元素，要圖中標出（用直觀符號）已知元素和未知元素，并試著改變一下題目中（或圖中）各元素的位置，看看能

55、否有重要發(fā)現(xiàn)。盡可能從整體上理解題目的條件，找出它的特點，聯(lián)想以前是否遇到過類似題目。仔細考慮題意是否有其他不同理解。題目的條件有無多余的、互相矛盾的內容？是否還缺少條件？認真研究題目提出的目標。通過目標找出哪些理論的法則同題目或其他元素有聯(lián)系。如果在解題中發(fā)現(xiàn)有你熟悉的一般數(shù)學方法，就盡可能用這種方法的語言表示題的元素，以利于解題思路的展開。以上途徑特別有利于開始解題者能迅速“登堂入室”，找到解題的起步點。在制定計劃尋求解法階段，最好利用下面這套探索方法：設法將題目與你會解的某一類題聯(lián)系起來。或者盡可能找出你熟悉的、最符合已知條件的解題方法。記住：題的目標是尋求解答的主要方向。在仔細分析目標

56、時即可嘗試能否用你熟悉的方法去解題。解了幾步后可將所得的局部結果與問題的條件、結論作比較。用這種辦法檢查解題途徑是否合理，以便及時進行修正或調整。嘗試能否局部地改變題目，換種方法敘述條件，故意簡化題的條件（也就是編擬條件簡化了的同類題）再求其解。再試試能否擴大題目條件（編一個更一般的題目），并將與題有關的概念用它的定義加以替代。分解條件，盡可能將分成部分重新組合，擴大騍條件的理解。嘗試將題分解成一串輔助問題，依次解答這些輔助問題即可構成所給題目的解。研究題的某些部分的極限情況，考察這樣會對基本目標產(chǎn)生什么影響。改變題的一部分，看對其他部分有何影響；依據(jù)上面的“影響”改變題的某些部分所出現(xiàn)的結果

57、，嘗試能否對題的目標作出一個“展望”。萬一用盡方法還是解不出來，你就從課本中或科普數(shù)學小冊子中找一個同類題，研究分析其現(xiàn)成答案，從中找出解題的有益啟示。數(shù)學解題的技巧為了使回想、聯(lián)想、猜想的方向更明確，思路更加活潑，進一步提高探索的成效，我們必須掌握一些解題的策略。一切解題的策略的基本出發(fā)點在于“變換”，即把面臨的問題轉化為一道或幾道易于解答的新題，以通過對新題的考察，發(fā)現(xiàn)原題的解題思路，最終達到解決原題的目的?；谶@樣的認識，常用的解題策略有：熟悉化、簡單化、直觀化、特殊化、一般化、整體化、間接化等。熟悉化策略所謂熟悉化策略，就是當我們面臨的是一道以前沒有接觸過的陌生題目時，要設法把它化為曾經(jīng)解過的或比較熟悉的題目，以便充分利用已有的知識、經(jīng)驗或解題模式，順利地解出原題。一般說來，對于題目的熟悉程度，取決于對題目自身結構的認識和理解。從結構上來分析，任何一道解答題，