2021國家公務(wù)員考試行測數(shù)量關(guān)系備考：剩余定理問題

1、2021 國家公務(wù)員考試行測數(shù)量關(guān)系備考：剩余定理問公務(wù)員考試數(shù)學(xué)運(yùn)算部分，我們常用到整除的思想，但是有些題目我們會發(fā)覺題目中的被除數(shù)不滿足能被整除的條件，即有余數(shù)，有一類題目稱為剩余問題，常見形式為一個數(shù)同時滿足除以 a 余 x ，除以b余y,除以c余z,其中a、b、c兩兩互質(zhì)，求滿足這樣條件的數(shù)。對于這類題目我們在沒有學(xué)習(xí)剩余定理之前往往只能采用枚舉法來解決，而這種方法是比較繁瑣的，在行測考試中時間對大家來說是最重要的，所以掌握此種題型的解題方法對大家在做題準(zhǔn)確率以及做題速度上都有很大協(xié)助。下面結(jié)合具體的例子給大家做一詳細(xì)的講解。剩余問題的解法：特殊情況余同 ( 余數(shù)相同 ) 加余【例題1

2、】某校二年級全部共3個班的學(xué)生排隊，每排4人， 5人或 6 人，最后一排都只有2 人，這個學(xué)校二年級有( ) 名學(xué)生。A.120 B.122 C.121 D.123【答案】 B【解析】方法一：代入排除法( 略)方法二：由題意可知該校二年級的學(xué)生人數(shù)除以 4、 5 、 6 均余 2，余數(shù)相同，屬于余同，所以該班學(xué)生人數(shù)滿足通項公式 N=60n+2 ，(n=0,1,2,3 )，當(dāng) n=2 時，N=122，選擇 B 項。注： n 前面的系數(shù)60 是取 4 、 5、 6 三個除數(shù)的最小公倍數(shù)。和同 ( 除數(shù)和余數(shù)的和相同 ) 加和【例題2】某個數(shù)除以5 余 3，除以6 余 2，除以7 余 1 ，求在

3、0至 500 內(nèi)滿足這樣的自然數(shù)有多少個?A.3 B.2 C.4 D.5【答案】 A【解析】此題我們通過觀察會發(fā)現(xiàn)除數(shù)與余數(shù)的和相加均為 8，則 該自然數(shù)應(yīng)滿足N=210n+8(n=0,1,2)所以在0至500以內(nèi)滿足題干 條件的自然數(shù)有8,218,428 三個數(shù)。注： n 前面的系數(shù)210 是取5、 6、 7 三個除數(shù)的最小公倍數(shù)。差同 ( 除數(shù)與余數(shù)之差相同 ) 減差【例題3】三位運(yùn)動員跨臺階，臺階總數(shù)在100-150 級之間，第一位運(yùn)動員每次跨3 級臺階，最后一步還剩 2 級臺階。第二位運(yùn)動員每次跨 4 級臺階，最后一步還剩 3 級臺階。第三位運(yùn)動員每次跨5 級臺階，最后一步還剩 4 級

4、臺階。問：這些臺階總共有多少級?A. 119 B. 121 C. 129 D. 131【答案】 A【解析】方法一：代入排除法( 略) 。方法二：通過觀察我們會發(fā)現(xiàn)除數(shù)與余數(shù)的差均為 1，所以臺階數(shù) 滿足：N=60n-1(n=1,2,3)，可發(fā)現(xiàn)A項滿足該通項公式。一般情況用同余特性解題【例題4】三位數(shù)的自然數(shù)P滿足：除以3余2,除以7余3,除 以11余4,則符合條件的自然數(shù)P有多少個？A.5 B. 4 C. 6 D. 7【解析】此題不滿足所給的條件不滿足我們前面所講的特殊情況，但是通過觀察我們發(fā)現(xiàn)，P滿足除以3余2,除以7余3兩個條件時， 在P的基礎(chǔ)上加上4,即(P+4)這個數(shù)一定是能夠被3整

5、除以及被7整除 的，所以(P+4)=21n,所以P=21n-4，得到的這個通項公式再與 除以11余4實(shí)行找通項公式。該自然數(shù) P=21n-4=11a+4,等式左邊都是 被 11 除，等式左邊的余數(shù)為 10n-4, 等式右邊的余數(shù)為 4，我們知道一 個數(shù)被 11 除余 4，也能夠認(rèn)為這個數(shù)被11 除余 15，或被 11 除余 26等。根據(jù)同余特性可知，等式左邊的余數(shù)10n-4 應(yīng)與等式右邊的余數(shù)4,15,26等數(shù)值相等。因?yàn)閚要取整數(shù)，所以取10n-4=26能夠得至U n=3代入式得到P=59,所求的59這個數(shù)是滿足題干三個條件的最小 數(shù)，所以，滿足題干三個條件的數(shù)P=231n+59(n=1,2

6、,3)，所以在三位數(shù)以內(nèi)的數(shù)有290,521,752,983四個數(shù)。選擇B項。 TOC o 1-5 h z 【例題5】一個自然數(shù)P同時滿足除以3余1,除以4余3,除以 7余 4，求滿足這樣條件的三位數(shù)共有多少個?A.10 B.11 C.12 D.13【答案】 B【解析】先取其中兩個條件，除以 3余 1，除以 4余 3，即 P=4n+3=3a+1等式兩邊同時除以3,等式左邊的余數(shù)為n,等式右邊的 余數(shù)為1,即n=1,代入上式可知滿足上述兩個條件的最小的數(shù)為7,則同時滿足上述兩條件的數(shù)的通項公式為P=12n+7，再將式所得的條件與題干中除以 7 余 4 的條件組合成新的條件。即滿足題干中三 個條件的數(shù)P=12n+7=7b+4等式兩邊同時除以未知數(shù)較小的系數(shù)7,則左邊余數(shù)為5n,等式右邊的余數(shù)是4,也可認(rèn)為余數(shù)是25,即 5n=25,求解得n=5,代入到式中，即同時滿足題干中三個條