用基底建模向量法解決立體幾何問題

1、用基底建模向量法解決立體幾何問題空間向量是高中數學新教材中一項基本內容，它的引入有利于處理立 體幾何問題，有利于學生克服空間想象力的障礙和空間作圖的困難，有利 于豐富學生的思維結構，利用空間向量的坐標運算解立體幾何問題,可把抽 象的幾何問題轉化為代數計算問題，并具有很強的規(guī)律性和可操作性，而利 用空間向量的坐標運算需先建立空間直角坐標系，但建立空間直角坐標系 有時要受到圖形的制約,在立體幾何問題中很難普遍使用，其實向量的坐標 形式只是逃取了特殊的基底，一般情況下，我們可以根據題意在立體幾何 形中選定一個基底,然后將所需的向量用此基底表示出來，再利用向量的運 算進行求解或證明，這就是基底建模法.

2、它是利用向量的非坐標形式解立 體幾何問題的一種有效方法?；蛄糠ㄔ诮鉀Q立體幾何的證明，求解問題中有著很特殊的妙用?？臻g向量基本定理及應用空間向量基本定理：如果三個向量a、b、c不共面，那么對空間任向量p存在惟一的有序實數組x、y、z,使p=x a+ y b+ z c. TOC o 1-5 h z 1、已知空間四邊形OABC中，NAOB=/BOC=.：ZAOC,且OA=OB=OC. M, N分別是OA, BC的中點，G是吵/MN的中點./、搭”求證：OGBC. . .【解前點津】要證OGLBC,只須證明og BC = 0即可.J例1題圖而要證OGBC = 0，必須把OG、BC用一組已知的空間基向

3、量來表示.又已知條件為zaob=zBOC=ZAOC,且OA=OB=OC,因此可選OA,OB,OC為已知的基向量.【規(guī)范解答】連ON由線段中點公式得：OG = (OM + ON) = OA + (OB + OC) = (OA + OB + OC), 22 224又 BC = OC - OB ,所以 OG OB = (OA + OB + OC) (OC OB) = (OA OC + OB OC + OC2 OA OB OB2 OC OB ) 441 /OA OC cos ZAOC .-(OA OC OA OB + OC2 OB2 ).因為 OA OC = 4OA OB = OA OB cos ZA

4、OB 且 OC = OB = OA ，ZAOB-ZAOC.所以 og bc -0,即 OGBC.【解后歸納】本題考查應用平面向量、空間向量和平面幾何知識證線線垂直的能力【例2】在棱長為a的正方體ABCDA1B1C1D1中，求：異面直線BA盧AC所成的角.【解前點津】 利用BA.aC = |b、|ac|xcos，求出向量BA與AC的夾角BA, AC，再根據異面直線BA1, AC所成角的范圍確定異面直線所成角.【規(guī)范解答】因為BA1 = BA + BB1,AC = AB + BC ,h h1-h F +*b k F 所以 BA1 AC = (BA + BB1) (AB + BC) - BA AB

5、+ BA BC + BB1 AB + BB1 BC因為 ABBC, BB1AB，BB1BC，所以 ba BC = 0, BB1 AB =0,IfcBB1 BC = 0, BA AB a2.所以 BA1 AC -a2.又 BA1 AC =BA1S- hir * AC cos , cos =- a22 a x： 2 a所以BA1,AC-120 .所以異面直線BA1與AC所成的角為60.【解后歸納】求異面直線所成角的關鍵是求異面直線上兩向量的數量積，而要求兩向量的數量 積，必須會把所求向量用空間的一組基向量來表示例3：如圖，在底面是菱形的四棱錐P-ABCD中，ZABC-60，PAL面ABCD，PA-

6、AC-a,PB-PD-2a，點E在PD上，且PE:PD-2:1.在棱PC上是否存在一點F，使BF 平面AEC?證明你的結論.uuu uuur uuu解析：我們可選取ABAD,AP作為一組空間基底uuu uuuu uuu uuu uuu uuu uuu uur uuu 設PF = XPC而BF = BP + PF = AP - AB + X(AC - AP) uur uuruun=(X-1) AB + X AD + (1-X) APmar uun uuu uur 2 uuu uu 2 uu uuu 又因為 AE = AP + PE = AP + -PD = AP + -(AD AP)331 uu

7、m 2 mar=AP + AD33umr uuu umr并且 AC = AB + ADuuur uuur uuur要使BF平面AEC,那么存在實數x,y使BF = xAE + yAC成立uur auur uuu 1 uur 2 uuir uur uuir即(X -1) AB + X AD + (1 -X) AP =( 3 AP + 3 AD)+y( AB + AD)X-1矽2 于是，可得到=2 X311 X = x33x =2解得1y = -2X =12故在棱PC上存在一點F,其為PC的中點，使BF/平面AEC【例4】證明：四面體中連接對棱中點的三條直線交于一點且互相平分（此點稱為四面體的重

8、心）.【規(guī)范解答】*/E,G分別為AB,AC的中點，.EG： :bc，同理 H 2bc，.EG HF .從而四邊形EGFH為平行四邊形，故其對角線EF,/GH相交于一點0,且O為它們的中點，連接OP，OQ., : .只要能證明向量op=-OQ就可以說明P，0，Q三點共線且0c為PQ的中點，事實上，OP = OG + GP,OQ = OH + HQ，而0為GH的中點，例4圖 OG + OH = 0, GP，: CD,QH 1 CD, GP = CD, QH = CD. 22 = OP + OQ = OG + OH + GP + HQ = 0 + CD - CD =0.22.OP = -OQ =,

9、 .PQ經過。點，且0為PQ的中點.【解后歸納】本例要證明三條直線相交于一點0,我們采用的方法是先證明兩條直線相交于一點,I8 I!然后證明OP,OQ兩向量共線，從而說明P、0、Q三點共線進而說明PQ直線過0點.例5.如圖在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G分別是A1D1、D1D、D1C1的中點.求證：平面EFG平面AB1C.uuuuuuuuu,=b, AA uuuu E -ED DG 1 i + iuur證明：設AB =auuumuuu則=2(a+b),i =c, uuruuaAC =a+b=2EGuuu uuu. EG AC ,uuuu uuuuuuu ED DF L 1

10、y、EF = i + i =2b_2c=2(b_c),uuuu uuuuu uuuD/nr n /nr 廠廠uuuuuuBiC = BC + CiC =bc=2EF , . EFUUMBC i又LEG與EF相交，AC與B1C相交,平面EFG平面ABIC.例6.如圖，平行六面體ABCDA1B1C1D1中,以頂點A為端點的三條棱長都為1,且兩夾角為60 .求AC1的長；(2)求BD1與AC夾角的余弦值.UUU UUU解：設AB =a, AD =b,=c,uuuu uur uuuu uuuuuu uuur(1) AC1 = AC + CC1 = AB + AD +uuuu I AC1 |2=(a+b

11、+ c)2=|a|2+|b|2+|c|2+2a - b+2b= 3+6X1 X1 X% = 6,則兩兩夾角為60uuurAA “工i =a+b+c.，且模均為1.c+2a - cuuuuAC l.| i |=%6,即 AC1 的長為6.uuur uur uuur uuruuiruuur(2)BDi = BD + DDi =- AB + AAi =b-a+c.uuuu uuu i - AC =(ba+c) - (a+b)=a - ba2+a - c+b2a - b+b - c=1.uuuuuurnn |i =(ba+c)2=,：2 |AC |=Y(a+b)2=*0,uuuuu cos BDi ,

12、uuuAC=UUM UUU BDgAC uuuu uuu BD gAC標BD1與AC夾角的余弦值為Y6.14.已知線段AB在平面a內，線段ACa，線段BDAB,且與a所成的角是30,如果AB=a, AC =BD=b，求C、D之間的距離.如圖，由 ACa，知 ACXAB.b b過D作 DDa, D 為垂足，則 ZDBDz=30,宓,BD ) =12 0,*1-1-1-h.|CD|2= CD CD = (CA + AB + CD)2 2 2| I。 _ CA + AB + |bd|2 + 2CA AB + 2CA BD + 2AB BD =b2+a2+b2+2b2cos120=a2+b2.CD=匕

13、2 + b15 如圖所示，已知 rABCD,。是平面 AC 外的一點點，OA1 = 2OA, OB1 = 2OB, OC1 = 2OC, OD1 = 2OD，求證:ArB/CjD】四點共面.證明：. A1C1 = OC1 OA1 = 2OC 2OA = 2(OC OA) = 2 AC = 2( AB + AD) =2 (OB OA) + (OD OAL (2OB 2OA) + (2OD 2OA)=(OB1 OA1) + (OD1 OA1) = Ax B1 + A1DyA1,B1,C1,D1四點共面.16 :如圖，已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且ZC CB=ZC1

14、CD=ZBCD=60 . 證明：C1CBD；uuuKuuor uuuu解：分別以CD,CB,CC的單位向量e ,e ,e為空間的基底e ,e ,e 1123123uu依題設中的條件，可知CD = mejuumr=me ,CC = ne=60 , =60 , =60 ,121323uuu uuu uur(1) Q BD = BC + CD = me + me ,.bd - cct =(me + me ) - (ne )=mn(e - e e - e ) = mn(cos cos )=0Di的位置，使得z D1AB=60,設AC與BE的交點為O. uuruua uutuuu試用基向量AB , AE

15、 , Ai表示向量0Di ；求異面直線OD1與AE所成角的余弦值；判斷平面D1AE與平面ABCE是否垂直？并說明理由.解：(1). ABII CE, AB = CE=2,四邊形ABCE是平行四邊形，a O為BE的中點.uuruur 心心 ODi=- AO = ADi -1(AB + AE)= ADi _1 AB _1 AE(2)設異面直線OD1與AE所成的角為0,uuu uuruuu則 cos0=|cos ODi, uuu uuu uuu ODAE =( ADuurAE| = .uur 1 AB- 1 2OD - AE -fr uuur OD - AE,.uuu uuu uuu uuu . u

16、uu uuu . uuu2 AE ) AE = AD1. AE _! AB . AE _1| AE |2= 1，2xC0S45-7；x2.,2xC0S45-2xh，2)2=-1, uuu i uuu i uuuruuu| OD11=J( AD1 - 2 AB - 2 AE )2a cos0=uuu uuuOODx |-|AE尊 故異面直線OD1與AE所成角的余弦值為W333(3)平面D1AE1平面ABCE.證明如下：uuuu uur=AM - AD1uuuur取AE的中點|1，則DiM_ uua uua=2 AE - ADruuuur. dm uae1=,uuu uuu . uuu-AD1 )

17、 AE =2| AE |2-CAuur uuaAL. AE=%x( 2)2 - 1x J 2xcos45= 0.uuuurA D1M L ae .a D1MLAE. uuu . uuu uuu uuu . uuu uuu uuu uuuD1M . AB =(! AE AD1). AB =1 AE . AB AD,. ABDM uur=22x2xcos45-1x2xcos60=0,DiM -L AB , a D1MAB.又 AEAAB=A, AE、AB 平面 ABCE, a D1ML平面 ABCE.平面 D1AE1 平面 ABCE.在四面體、平行六面體等圖形中，當不易找到（或作出）從一點出發(fā)的三

18、條兩兩垂直的直線建立直 坐標系時,可采用“基底建模法”選定從一點發(fā)的不共面的三個向量作為基底并用它們表示出指定 的向量,再利用向量的運算證明平行和垂直,求解角和距離?！盎捉７ā笨勺鳛榭臻g直角坐標系 的一個補充（尤其是在傳統(tǒng)幾何法難作輔助線，向量坐標法又難以建系時），掌握該方法可有效地提 高利用空間向量解決立體幾何問題的能力。對應訓練分階提升一、基礎夯實1.在下列條件中，使M與A、B、C 一定共面的是（C ）A. OM = 2OA - OB - OCB. OM = OA +10B + OC532C. MA + MB + MC = 0D. OM + OA + OB + OC = 02若向量a,

19、 b, c是空間的一個基底，向量m=a+b, n=a-b，那么可以與m、n構成空間另 個基底的向量是（C ）A. aB. bC. cD.2auuur uuur .2 HG = HG3 .如圖所示，已知四面體ABCD，E、F、G、H分別為1 uur uuir uun的結果為uuuuuur()A. BFB. EHuuurumrC. HGD. FGAB、BC、CD、AC的中點，則如AB + BC + CD）化簡uun uunr uuu uur uuuuur解析：2( ab+bc+cd) =2( ac+cd)=2 ad =2答案：C4.如圖，在底面ABCD為平行四邊形的四棱柱ABCD-A1B1C1D1

20、 中，uur UUUn若AB =a, i i =b,uuuur量中與BiM相等的向量是M是AC與BD的交點, uuutr AA 一1 1 =c,則下列向A.2a+1b+cB.1a+2b+c八11 C/ab+cuuuri + BM =c+11 一D.2a2b+c解析：由題意，根據向量運算的幾何運算法則, uuuur uuuu BM BBiurn uur 11=cAD AB ) = a+b+c.答案：Auuu AUUr uuu uuu5.已知正方體ABCDA1B1C1D1中，點E為上底面A1C1的中心，若AE =1 +xAB +yAD ,則x、y的值分別為A. x=1, y=1B.x=1,1y=2

21、1 y=2uuu解析:如圖，AE =C.1x=2,uuuAAiD.uuur+ AiE1x=2，uuurAA , 11 +2y=1uuuurACi iuuuAAiuuu uuuAB + AD)答案：C題組二空間中的共線、共面問題4.A(1,0,1), B(4,4,6), C(2,2,3), D(10,14,17)這四個點是否共面(共面或不共面). uuuuuu解析：AB =(3,4,5), AC =(1,2,2),uuauuuuuuuurA =(9,14,16),設AD =xAB +yAC .即(9,14,16) = (3x+y,4x+2y,5x+2y),x=2,c 從而A、B、C、D四點共面.

22、y=3,答案：共面題組三空間向量數量積及應用uur uurA. 2BA . BC uuu uurC. 2FG - CAuur uu解析：AD , BD=n6.如圖所示，已知空間四邊形的每條邊和對角線長都等于a,點E、F、G分別為AB、AD、DC的中點，則a2等于( uur uuuB. 2AD - BDuuu uurD. 2EF . CBuuu uuu.2AD - BD =2a2Xcosy=a2.答案：B7.二面角alB為60, A、B是棱l上的兩點，AC、BD 分別在半平面 a、Bl, ACl, BDl, 且 AB =AC=a, BD=2a，則 CD 的長為（）A. 2aB.;5aC. a D

23、；3auuu uuruuu uuu uuu uur. AC , BD=60，且AC BA =0, AB BD =0,uun uur uun uunt 皿 黑嗯嘗私. CD = CA + AB + BD ,二|CD |=/(CA + AB + BD)2= .Ja2+a2+(2a)2+2a 2acos120=2a.答案：A8.如圖所示，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AA1底面 ABC, AB = BC=AA1,ZABC=90。，點E、F分別是棱AB、BB1的中點,則直線EF和BC1所成的角是A. 45B.60C. 90D.120答案：Buim1已知：雄5一心-1）（質+22-,）,當AAB最

24、取最小值時，x的值等于（。8819 A.19B. 7C. 7D. 14uuu則AE可表uuu r uuu r uuu r2.正四棱維P-ABCD中，O為底面中心，設AB -l,BC - j OP 一 為PC的中點，d.3r r r4 i+j+k示為3 r 3 r 3 r 3 r 3 r 1 r 1 r 3 r 1 r -1+- +-k -1 + +-k 1+ +k A. 4 4 4 b. 4 4 2 c. 4 4 2r rr r3.已知向量a = (X,聲)力=(32Z)，且a / b，則+ 土勺值是A. 6B. 5C. 4D. 3rrr r r r4.已知向量a=(01-1)b=(102)，

25、若向量ka+b與向量a-b互相垂直，則k的值是a.B.2c.d.5.下面命題正確的個數是（B ）若p=2并3七則p與x、頊面;uuu uur uuu若Mp= 2MA+ 3MB，則 M、p、a、b 共面；uur uur uur iur r若 OA+ OB+ OC+ OD= 0，則 a、b、c、d 共面;6.uur 1 uur 5 uur 1 muOP = OA- OB-OC若 263 ，則P、A、B、C共面;A.1B. 2r r r已知點A在基底a,“下的坐標為（8,6，C.3D.4r r r r r r r r r、a = i + j,b = j+k, c = k+i4),其中，則點A在基r r r底i, j,k下的坐標是A. (12, 14, 10) B. (10, 12, 14) C. (14, uiru uu 6 uuu OC = OA-OBA(1,0,0)B(0,1 -1)6已知點，向重，12, 10) D. (4, 3, 2)uuu uuru則向量8的OC夾角是