2015崇雅中學(xué)理數(shù)綜合試題（12月9日）廣州荔灣區(qū)2015屆高三11月調(diào)研

1、高三周練理科數(shù)學(xué)試題 第 PAGE 9 頁 高三周練理科數(shù)學(xué)試題（2014-12-9） 一選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分 1已知集合，那么集合為( ) A B C D 2若復(fù)數(shù)滿足,則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于( )A第一象限B第二象限 C第三象限 D第四象限 3函數(shù)的圖像的一條對稱軸為（ ） A. B. C. D. 4已知向量的夾角為120， ，且，則( ) A6 B.7 C8 D.95函數(shù)與在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的大致圖象為（）6閱讀如圖所示的程序框圖，輸出的結(jié)果的值為（）A0 BCD7已知橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)，設(shè)它們在第一象限的交點(diǎn)為，且，則雙曲線的漸近線方程為( )A BC

2、D8若實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為( ) A.8 B C2 D.二、填空題：本大題共7小題，每小題5分，考生作答6小題，滿分30分（一）必做題（1113題）9已知是等差數(shù)列，則該數(shù)列前10項(xiàng)和_10一個幾何體的主視圖和左視圖都是邊長為2的等邊三角形，俯視圖如圖所示，則這個幾何體的體積為_.11不等式的解集是_ 12有三個不同的信箱，今有四封不同的信欲投入其中，則不同的投法種數(shù)為_（用數(shù)字作答）13給出下列四個命題： 已知服從正態(tài)分布，且，則；“”是“復(fù)數(shù)與的積為純虛數(shù)”的一個充分不必要條件；函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為；命題；命題則命題“”是假命題其中正確命題的序號是 （二）選做題（14、15題，考生只能

3、從中選做一題）14（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）在極坐標(biāo)中，圓與直線相交所得的弦長為 .15（幾何證明選講選做題）如圖，是的外接圓， 延長到點(diǎn)，使得，連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié) ，若,則的大小為 .三、解答題:本題共有6個小題，滿分80分解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟16. （本小題滿分12分） 在中，內(nèi)角所對的邊長分別是,已知，.（1）求的值； （2）若，為的中點(diǎn)，求的長.17（本小題滿分12分）甲、乙兩種元件的質(zhì)量按測試指標(biāo)劃分為：指標(biāo)大于或等于85為正品，小于85為次品，現(xiàn)隨機(jī)抽取這兩種元件各100件進(jìn)行檢測，檢測結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下：測試指標(biāo)元件甲81240328元件乙71840296（1）試分別估

4、計(jì)元件甲、元件乙為正品的概率；（2）生產(chǎn)一件元件甲，若是正品可盈利50元，若是次品則虧損10元；生產(chǎn)一件元件乙，若是正品可盈利100元，若是次品則虧損20元，在（1）的前提下，記為生產(chǎn)1件元件甲和1件元件乙所得的總利潤，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望18（本小題滿分14分）如圖所示，已知垂直以為直徑的圓所在 平面，點(diǎn)在線段上點(diǎn)為圓上一點(diǎn)，且,， （1）求證：； （2）求二面角的余弦值 19（本小題滿分14分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足（1）求； （2）求；（3）設(shè)，求證：對任意正整數(shù)，有20.（本小題滿分14分）在平面直角坐標(biāo)系中，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，動點(diǎn)滿足直線與直線的斜率之積為，直線、與直線分別

5、交于點(diǎn)（1）求動點(diǎn)的軌跡方程； （2）求線段的最小值；（3）以為直徑的圓是否經(jīng)過某定點(diǎn)？若經(jīng)過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不經(jīng)過定點(diǎn)，請說明理由21（本小題滿分14分）已知函數(shù)，（）（1）當(dāng)時，求函數(shù)的值域； （2）試討論函數(shù)的單調(diào)性高三周練理科數(shù)學(xué)試題參考答案（2014-12-9） 一、 選擇題: DBCC CBDA二、填空題：9. 10. 11. 12. 81 13. 14. 15. 三、解答題： 16. 解：（1）且， 1分(2分) 4分 (5分) 6分（2）由（1）可得 7分由正弦定理得，即，(8分) 解得 9分， (10分) 在中， 11分 12分17解：（1）在分別抽取的100件產(chǎn)品中

6、，為正品的元件甲有80件，為正品的元件乙有75件. 1分所以元件甲、乙為正品的頻率分別為，. 3分根據(jù)頻率可估計(jì)元件甲、乙為正品的概率分別為，. 4分（2）隨機(jī)變量的所有取值為150，90，30，30， 5分則 ， ， 9分所以的分布列為：1509030-30 10分的數(shù)學(xué)期望為. 12分18解：（1）由, ，知，點(diǎn)為的中點(diǎn) 1分連結(jié)，為等邊三角形 2分又點(diǎn)為的中點(diǎn)， 3分平面，平面， 4分又，平面，平面，平面 5分又平面， 6分（2）解法1:過點(diǎn)作，垂足為，連接由（1）知，平面，又平面， 7分又，平面 又平面， 8分為二面角的平面角 9分因?yàn)椋?，則 12分在中，由（1）可知， 13分，即二

7、面角的余弦值為 14分解法2: 由（1）可知，三線兩兩垂直，以原點(diǎn)，以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系. 7分則, 8分, 9分 設(shè)平面與平面的法向量分別為,顯然平面法向量為， 10分由，,，解得 11分（12分） ， 13分二面角的余弦值為 14分19解：（1）當(dāng)時， 1分當(dāng)時， ， 2分 4分（2）猜想：. 5分下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： 當(dāng)，顯然成立；假設(shè)當(dāng)時命題成立，即，那么當(dāng)時， 即時命題也成立，綜上可知， 9分（3）由（2）知， 10分， 11分， 13分 14分20. 解：（1）已知，設(shè)動點(diǎn)的坐標(biāo)，直線的斜率，直線的斜率（）， 2分又， 3分即 4分（2）設(shè)直線的方程為的，直線的方程為的，

8、6分由，得， ； 7分由，得， 8分由， 9分當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立， 線段長的最小值 10分（3）設(shè)點(diǎn)是以為直徑的圓的任意一點(diǎn)，則，即， 11分又，故以為直徑的圓的方程為：， 12分令，得，解得， 13分以為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn)或 14分21.解:（1）當(dāng)時， 1分當(dāng)時，當(dāng)且僅當(dāng)時，取最小值2 2分當(dāng)時， 在上單調(diào)遞增，所以 3分所以當(dāng)時，的值域?yàn)?4分（2）由，得， 5分當(dāng)時，當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞減， 6分當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增 7分當(dāng)時，當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增 8分當(dāng)時，令，解得，舍去負(fù)值，得，當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞減， 9分當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增 10分當(dāng)時，當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞減 11分當(dāng)時，令，得，下面討論是否落在區(qū)間上，令，解得，