人教版八年級數(shù)學(xué)上三角形的內(nèi)角拓展練習(xí)

1、三角形的內(nèi)角拓展練習(xí)、選擇題（本大題共5小題，共25.0分）1 . （5 分）已知 ABC,（1）如圖1,若A1點是/ ABC和/ ACD的角平分線的交點，則/ A1=Z A;2（2）如圖2,若F點是/ ABC和/ DCE的角平分線的交點，則/ F =_ （/ A+/ D）-290（3）如圖3,若A1點是/ ABC和/ ACD的角平分線的交點，E為BA延長線上一動點,連EC, / AEC與/ ACE的角平分線交于 Q,則/Q-/A1=90上述說法正確的個數(shù)是（A.0個B.1個C. 2個D. 3個（5 分）在 ABC 中，如果/ A- Z B=90 ,那么 ABC 是（）A .直角三角形B.鈍角

2、三角形C.銳角三角形D.以上三種都可能（ 5分）如圖，將一副三角板按如圖方式疊放，則角 a等于（C. 105D. 75（5分）如圖，在 ABC中，/ C = 78 ,沿圖中虛線截去/ C,則/ 1 + 72=（）第1頁（共20頁）A . 282180360D.258（5分）等腰三角形的一個內(nèi)角是100 ,它的另外兩個角的度數(shù)是（A. 50 和 50 B, 40 和 40C. 35 和 35D, 60 和 20、填空題（本大題共5小題，共25.0分）（5分）如圖，在三角形 ABC中，ADXBC,垂足為點 D,直線EF過點C,且90 - Z FCB = Z BAD,點G為線段 AB上一點，連接CG

3、, / BCG與/ BCE的角平分線 CM、CN 分別交 AD 于點 M、N,若/ BGC = 70 ,則/ MCN = .E C F（5 分）已知如圖， BQ 平分/ ABP, CQ 平分/ ACP, / BAC= a, / BPC= 3,則/ BQC/a4對應(yīng)交于。1, O2,則/ BO1C=x 180+j-Z A, Z BO2C=y X180 號/A.根據(jù)以（5分）在 ABC中，Z A=36 ,當(dāng)/ C =, ABC為等腰三角形.9.（5分）如圖1,在 ABC中，/ ABC, /ACB的角平分線交于點 O,則/BOC = 90X 180 +Z A.如圖2,在4ABC中，/ ABC, /

4、ACB的兩條三等分角線分別上閱讀理解，你能猜想/ BO2018c=第2頁（共20頁）10. （5分）如圖，在4ABC中，點D、E分別在邊 BC、AC上，/ DCE = Z DEC,點F在AC、點 G 在DE的延長線上，/ DFG =Z DGF ,若/ EFG = 35 ,則/ CDF的度數(shù)為三、解答題（本大題共5小題，共50.0分）（10分）如圖，在 ABC中，AD平分/ BAC交BC于點 D, AEXBC,垂足為 E,且CF / AD.(1)如圖 1,若 ABC 是銳角三角形，ZB=30，/ACB=70 ,則/ CFE =（2）若圖1中的/ B=x, /ACB = y,則/ CFE =;（用

5、含x、y的代數(shù)式表示）（3）如圖2,若4ABC是鈍角三角形，其他條件不變，則（2）中的結(jié)論還成立嗎？請說明理由.（10分）已知將一塊直角三角板 DEF放置在 ABC上，使得該三角板的兩條直角邊DE,DF恰好分別經(jīng)過點 B、C./DBC+/DCB =度；（2）過點A作直線直線 MN / DE,若/ ACD=20 ,試求/ CAM的大小.第3頁（共20頁）13. （10分）如圖所示，在4ABC中，AD是高，AE、BF是角平分線，它們相交于點O,求/ DAE、/ BOA的度數(shù).（10分）如圖，在 ABC中，/ ABC和/ ACB的平分線相交于點 O,若/ A=42 .（1）求/ BOC的度數(shù);（2）

6、把（1）中/ A=420這個條件去掉，試探索/ BOC和/ A之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系.（10分）探究與發(fā)現(xiàn)：如圖1所示的圖形，像我們常見的學(xué)習(xí)用品-圓規(guī).我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”（1）觀察“規(guī)形圖”，試探究/ BDC與/ A、/ B、/ C之間的關(guān)系，并說明理由;（2）請你直接利用以上結(jié)論，解決以下三個問題:如圖2,把一塊三角尺 XYZ放置在 ABC上，使三角尺的兩條直角邊XY、XZ恰好經(jīng)過點 B、C, /A = 40 ,則/ ABX+/ACX=如圖 3, DC 平分/ ADB, EC 平分/ AEB,若/ DAE = 40 , ZDBE = 130 ,求/ DCE的度數(shù);如圖4, /

7、ABD, /ACD的10等分線相交于點 G1、G2、G9,若/ BDC= 133 , /第4頁（共20頁）BG1C=70 ,求/ A的度數(shù).第5頁（共20頁）三角形的內(nèi)角拓展練習(xí)參考答案與試題解析、選擇題(本大題共5小題，共25.0分)(5分)已知 ABC,(1)如圖1,若A1點是/ ABC和/ ACD的角平分線的交點，則/ A1=L/A;2(2)如圖2,若F點是/ ABC和/ DCE的角平分線的交點，則/ F=l (/ A+/ D)-290 ;(3)如圖3,若A1點是/ ABC和/ ACD的角平分線的交點，E為BA延長線上一動點，連EC, / AEC與/ ACE的角平分線交于 Q,則/Q-/

8、A1=90上述說法正確的個數(shù)是()A.0個B.1個C. 2個D. 3個【分析】(1)根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可得/ACD = /A+/ABC, / A1CD = /A1+/A1BC,根據(jù)角平分線的定義可得/ A1CD=yZ ACD, Z A1BC =2/ABC,然后整理即可得到/ A1=L/A;22(2)根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理表示出/BCD,再表示出/ DCE,然后根據(jù)角平分線的定義可得/ FBC=/ABC, /FCE=/DCE,三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩 個內(nèi)角的和可得/ F + ZFBC = Z FCE,然后整理即可得解；(3)根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理表示出/

9、ACE+/AEC,再根據(jù)角平分線的定義表示出/QCE+ / QEC,然后利用三角形的內(nèi)角和定理列式整理即可得解.【解答】解：(1)由三角形的外角性質(zhì)得，/ ACD = /A+/ABC, / A1CD = / A1 + /A1BC,/ ABC的角平分線與/ ACB的外角平分線交于 A1,第6頁(共20頁)AiCD =/ACD, Z A1BC = Z ABC,2-Z Ai+ / A1BC= (/A+/ABC) = ZA22/ABC,(2)由四邊形內(nèi)角和定理得，/ BCD = 360 -Z A-Z D-Z ABC, ./ DCE= 180 - ( 360 - Z A-Z D-Z ABC) =Z A+

10、Z D+Z ABC - 180 ,由三角形的外角性質(zhì)得，/ FCE = /F + /FBC, BF、CF分另1J是/ ABC和/ DCE的平分線，./ FBC = / ABC, /FCE = L/DCE,22. F+Z FBC =-i- (/ A+Z D+Z ABC - 180 ) = -i- (Z A+Z D) +|-Z ABC-90 ,./ F = 1 (/ A+/D) - 90 ,.EQ、CQ分別為/ AEC、/ ACE的角平分線，QEC = Z AEC, Z QCE = Z ACE,22又 / AEC+/ACE=/ BAC,，/Q=180。-(/ QEC + /QCE) =180。(/

11、AEC + /ACE),= 180。- L/BAC,2由(1)可知/ BAC= 2/A1, ./ Q= 180 - / A1,.Q+ZA1=180 .故(1) (2)正確；故選：C.第7頁（共20頁）【點評】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵，要注意整體思想 的利用.（5 分）在 ABC 中，如果/ A- Z B=90 ,那么 ABC 是（）A .直角三角形B.鈍角三角形C.銳角三角形D.以上三種都可能【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及三角形的分類可知.【解答】解：A- Z B=90 ,./ A=90

12、+/ B,/ A 大于 90 .根據(jù)三角形性質(zhì)可知大于 90。的角為鈍角,.此三角形為鈍角三角形.故選：B.【點評】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握三角形的內(nèi)角和是解題的關(guān)鍵.（5分）如圖，將一副三角板按如圖方式疊放，則角10575【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出/1,根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出/2,根據(jù)鄰補(bǔ)角的概念計算即可.【解答】 解：/ 1=90 30 - 60 , / 2=/ 1 - 45 = 15 ,第8頁（共20頁）/ a= 180 15 = 165故選：A.【點評】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理和三角形的外角的性質(zhì),掌握三角形內(nèi)角和等于180是解題的關(guān)鍵.,沿圖中虛線截去/O【

13、分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出/0,則/ 1 + /2=()C. 360D. 2583+Z4,根據(jù)鄰補(bǔ)角的概念計算即可.【解答】解：.一/ 0=78 ,.3+7 4=180 78 = 102 ,.Z 1 + 7 2=360 (/ 3+Z4) = 258 ,180是解題的關(guān)鍵.50 和 5040 和 400. 35 和 35D. 60 和 20【點評】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，掌握三角形內(nèi)角和等于（5分）等腰三角形的一個內(nèi)角是100 ,它的另外兩個角的度數(shù)是（第9頁（共20頁）【分析】先判斷出100。的角是頂角，再根據(jù)等腰三角形的兩底角相等解答.【解答】解：.等腰三角形的一個角100 ,.1

14、00的角是頂角，另兩個底角都是 彳（180 - 100 ） = 40【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，主要利用了等腰三角形兩底角相等，需要注意100的角不可能是底角.二、填空題（本大題共5小題，共25.0分）（5分）如圖，在三角形 ABC中，ADXBC,垂足為點 D,直線EF過點C,且90 - Z FCB = Z BAD,點G為線段 AB上一點，連接CG, / BCG與/ BCE的角平分線 CM、CN 分別交 AD 于點 M、N,若/ BGC = 70 ,則/ MCN = 35 .E C F【分析】 依據(jù) 90 -Z B=Z BAD, 90 - Z FCB = Z BAD,可得/ FCB =

15、 /B,進(jìn)而判定 EF/AB,即可得到/ ECG=/BGC=70 ,再根據(jù)/ MCN = / BCN / BCM (/BCE-/BCG) =yZ ECG,即可得到結(jié)論.【解答】 解：.ADBC, RtAABD 中，90 -Z B=Z BAD,又 90 / FCB = Z BAD, ./ FCB=Z B,EF / AB,./ ECG=Z BGC =70 ,一/ BCG與/ BCE的角平分線 CM、CN分別交 AD于點M、N,./ BCN = /BCE, Z BCM =Z BCG, 22./ MCN = / BCN - / BCM = (/ BCE - Z BCG) = Z ECG 二 X 70

16、= 35 ,222第10頁（共20頁）故答案為：35.【點評】 本題考查了平行線的性質(zhì)和判定以及角平分線的定義的綜合運用，解題時注意平行線的性質(zhì)有：兩直線平行，同位角相等， 兩直線平行，內(nèi)錯角相等， 兩直線 平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).(5 分)已知如圖， BQ 平分/ ABP, CQ 平分/ ACP, / BAC= % / BPC= 3,則/ BQC =(a+ 3).(用 a, 3 表不)2【分析】連接BC,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到/ 3=NABP, /4=NACP,根據(jù)三角 形的內(nèi)角和得到/ 1 + 72=180 - 3, 2(/ 3+/4) + (/ 1 + /2) = 180 a,求出/ 3+Z

17、4 = y ( 3- a),根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論.【解答】解：連接BC,. BQ 平分 / ABP, CQ 平分/ ACP, ./3=L/ABP, Z 4= ACP,. Z 1 + 72=180 3 2 (/3+/4) + (/1 + /2) =180 a,. / BQC= 180 (/ 1 + /2) (/ 3+/4) = 180 ( 180 3)卜(a),即：/ BQC =(a+ 3)-故答案為:(a+ 3) -第11頁(共20頁)B【點評】本題考查了三角形的內(nèi)角和，角平分線的定義，連接 BC構(gòu)造三角形是解題的 關(guān)鍵.（5 分）在 ABC 中，/ A =36 ,當(dāng)/ C= 72

18、, 36 , 108, ABC 為等腰三角形.【分析】分三種情形分別討論，運用三角形內(nèi)角和定理即可解決問題【解答】解：當(dāng)AB=AC時，. / A=36 ,C=Z B=72 .當(dāng)CA=CB時，/ A=Z B=36 ,./ C= 108 .當(dāng)BA= BC時,Z C= / A= 36 ,綜上所述，/ C的值為72或108或36故答案為：72 , 36 , 108 .【點評】 本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理的運用，解題的關(guān)鍵是用分類討論的思想思考問題.（5分）如圖1,在 ABC中，/ ABC, / ACB的角平分線交于點 O,則/BOC = 90X180 +Z A.如圖2,在ABC

19、中，/ ABC, / ACB的兩條三等分角線分別2一 一. 2對應(yīng)父于 O1, O2,則/ BO1C= X 180 J上閱讀理解，你能猜想/ BO2018c =ZA, Z BO2C=y X180。ZA.根據(jù)以L80e +-2019 2019/A第12頁（共20頁）【分析】根據(jù)已知中的特例，觀察兩部分前邊的倍數(shù)和BC郅n等分線間的關(guān)系，從而寫出結(jié)論.【解答】解：如圖3,根據(jù)題中所給的信息，總結(jié)可得:ZBOiC =X180 +Z A,nZBOn 10 =X180 +/A.當(dāng) n1 = 2018 時，n = 2019,即/ BO2018C =18092019 2019/A.故答案為:+2019 20

20、19n等分角本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，綜合運用了三角形的內(nèi)角和定理和的概念,注意由特殊到一般的總結(jié).AC、點10. （5 分）如圖，在 AB0中，點D、E分別在邊 BC、AC上，/ D0E = Z DEC,點F在G在DE的延長線上，/ DFG = / DGF .若/ EFG = 35 ,則/ CDF的度數(shù)為【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出x+y=145,在 FDC中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可.【解答】 解：DCE = /DEC, /DFG=/DGF,. 設(shè)/ DCE=/DEC = x , /DFG=/DGF = y ,則/ FEG = Z DEC = x ,.在 GFE 中，/ EFG

21、= 35 ,.Z FEG+Z DGF = x +y =180 35 =145 ,即 x+y= 145,第13頁（共20頁）在 FDC 中，/ CDF = 180 / DCE / DFC = 180 - x （ y - 35 ）= 215 （ x +y ）= 70 ,故答案為：70 .【點評】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，能求出x+y= 145是解此題的關(guān)鍵.三、解答題（本大題共5小題，共50.0分）11. （10分）如圖，在 ABC中，AD平分/ BAC交BC于點 D, AEXBC,垂足為 E,且CF / AD.20度;(1)如圖 1 ,若 ABC 是銳角三角形， ZB=30 , ZACB =

22、70 ,則/CFE =（2）若圖1中的/ B= x, /ACB = y,則/CFE= 匕L J；（用含x、y的代數(shù)式表示）（3）如圖2,若4ABC是鈍角三角形，其他條件不變，則（2）中的結(jié)論還成立嗎？請說明理由.【分析】（1）求/ CFE的度數(shù)，求出/ DAE的度數(shù)即可，只要求出/ BAE-Z BAD的度數(shù)，由平分和垂直易得/ BAE和/ BAD的度數(shù)即可；（2）由（1）類推得出答案即可；（3）類比以上思路，把問題轉(zhuǎn)換為/CFE = 90 - Z ECF即可解決問題.【解答】 解：（1） / B=30 , / ACB=70 ,，/BAC=180 - Z B - Z ACB=80 ,. AD 平

23、分/ BAC,./ BAD = 40 , AEXBC,./ AEB = 90 ./ BAE = 60 第14頁（共20頁）.Z DAE = Z BAE-Z BAD = 60 40 =20 , CF / AD, ./ CFE=Z DAE =20 ;故答案為：20;(180 -Z B-Z BCA),/ BAE =90 -ZB, / BAD =/ CFE = / DAE = / BAE / BAD = 90-Z B(180 -Z B-Z BCA)BCA- Z B)=-y x.22故答案為:ly-(3) (2)中的結(jié)論成立. / B=x, / ACB = y, ./ BAC= 180 x- y,. A

24、D 平分/ BAC,.Z DAC = Z BAC = 902 CF / AD, ./ ACF=Z DAC = 90 ”y ./ BCF = y+90 x - -y= 90 2 ./ ECF= 180-Z BCF = 90 +x-y,22 AEXBC, ./ CFE=90 / ECFy x.2【點評】此題考查三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)以及垂直的意第15頁(共20頁)義等知識，結(jié)合圖形，靈活選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q問題.（10分）已知將一塊直角三角板 DEF放置在 ABC上，使得該三角板的兩條直角邊DE,DF恰好分別經(jīng)過點 B、C./ DBC+/DCB=90 度;（2）過點A作直線

25、直線 MN / DE,若/ ACD=20 ,試求/ CAM的大小.【分析】（1）在4DBC中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得/DBC + /DCB+/D = 180 ,然后把/ D =90代入計算即可;（2）在 RtAABC中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得/ABC+Z ACB+Z A= 180 ,即，ABD+ZBAC=90 - Z ACD = 70 ,整體代入即可得出結(jié)論.【解答】 解：(1)在 DBC 中，.一/ DBC + ZDCB + Z D= 180 ,而/ D=90 ,./ DBC+Z DCB= 90 ;故答案為90;(2)在 ABC 中，. Z ABC+Z ACB+ZA= 180 ,即/ ABD

26、+ Z DBC+ Z DCB +Z ACD +Z BAC = 180 ,而/ DBC+Z DCB= 90 ,.Z ABD+Z ACD= 90 -/BAC,.Z ABD+Z BAC=90 -/ACD = 70 .又 MN / DE,./ ABD = Z BAN.而/ BAN+/BAC+/CAM = 180 ,第16頁（共20頁）ABD+/BAC+/CAM =180 ,./CAM = 180 （/ ABD+/BAC） =110 .【點評】此題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是求出/ ABD +/BAC = 70 .O,【分析】根據(jù)垂直的定義、,求/ DAE、/ BOA的度數(shù).

27、（10分）如圖所示，在 ABC中，AD是高，AE、BF是角平分線，它們相交于點角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理計算即可.【解答】解,ADBC,. / C=70 ,，/CAD=180 -90 -70 =20 ,/BAC=60 , AE 是/ BAC 的角平分線，./ EAC=Z BAE =30 ,.Z EAD = Z EAC-Z CAD = 30 -20 =10 ,/ABC = 180 - Z BAC - Z C=50 ,BF是/ ABC的角平分線，./ ABO =25 ,，/BOA=180 -Z BAO - Z ABO = 180 -30 -25 =125故/DAE, / BOA的度數(shù)分別是

28、10 , 125 .【點評】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理、三角形的高和角平分線的定義，掌握三角形 內(nèi)角和等于180是解題的關(guān)鍵.（10分）如圖，在 ABC中，/ ABC和/ ACB的平分線相交于點 O,若/ A=42 .（1）求/ BOC的度數(shù)；（2）把（1）中/ A=420這個條件去掉，試探索/ BOC和/ A之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系.第17頁（共20頁）/ o B 【分析】(1)先求出/ ABC+/ACB的度數(shù)，根據(jù)平分線的定義得出/1=L/ABC, Z 22= _L/ACB,求出/ 1 + /2的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出/BOC即可；2(2)根據(jù)角平分線的定義可得/ 1=A-Z ABC

29、, / 2=1-7 ACB,然后用/ A表示出/ 1 +Z2,再根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180列式整理即可得出結(jié)論.【解答】解：(1)A=42 ./ABC+/ACB= 180 /A=138 , BO、CO分別是 ABC的角/ ABC、/ ACB的平分線,/ ACB,ACB) =X13S4，/BOC=180 - (/ 1 + /2) =180 -69 = 111(2) / BOC =90/A, BO、CO分別是 ABC的角/ ABC、/ ACB的平分線，.Z 1 = yZ ABC, Z 2=-i-Z ACB,. / 1 + Z 2 = (/ ABC+ZACB) = (180 - Z A),22，/

30、BOC=180 - (/ 1 + /2) = 1802(18Q0 _/A)=90,【點評】 本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，整體思想的利用是解題的 關(guān)鍵.15. (10分)探究與發(fā)現(xiàn)：如圖1所示的圖形，像我們常見的學(xué)習(xí)用品-圓規(guī).我們不妨 把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”，(1)觀察“規(guī)形圖”，試探究/ BDC與/ A、/ B、/ C之間的關(guān)系，并說明理由；(2)請你直接利用以上結(jié)論，解決以下三個問題：XY、XZ恰好經(jīng)如圖2,把一塊三角尺 XYZ放置在 ABC上，使三角尺的兩條直角邊第18頁(共20頁)過點 B、C, Z A = 40 ,則/ ABX+/ACX=50如圖 3, DC 平分/ ADB, EC 平分/ AEB,若/ DAE = 40 , /DBE = 130