2022年x數(shù)形結(jié)合常見例題

1、數(shù)形結(jié)合例題分析實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合,常與以下內(nèi)容有關(guān)：實數(shù)與數(shù)軸上的點的對應(yīng)關(guān)系；函數(shù)與圖象的對應(yīng)關(guān)系；曲線與方程的對應(yīng)關(guān)系；以幾何元素和幾何條件為背景,建立起來的概念,如復(fù)數(shù)、三角函數(shù)等；所給的等式或代數(shù)式的結(jié)構(gòu)含有明顯的幾何意義；如等式 x2 2y1 24一、聯(lián)想圖形的交點例 1. 已知0a1,就方程a| |logax |的實根個數(shù)為x |的交點個數(shù),畫出兩個函數(shù)圖象,易知 A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 1個或 2 個或 3 個分析： 判定方程的根的個數(shù)就是判定圖象ya| |與y|loga兩圖象只有兩個交點,故方程有2 個實根,選（ B）；1x2的圖象例 2. 解不等式x2x令y1x

2、2,y 2x,就不等式x2x 的解,就是使y在y2x 的上方的那段對應(yīng)的橫坐標(biāo),如下圖,不等式的解集為 | x xAxx B2,就關(guān)于 x 的方程f2x cbfx c0有 7 個不同實數(shù)解而xB可由x2x,解得,xB2,xA故不等式的解集為 |2x2 ；1x1lgx練習(xí) ：設(shè)定義域為R函數(shù)fx 0 x1的充要條件是（）0C. b0,c0D. b0,0答案 C A . b0 ,c0B . b0,c二、聯(lián)想確定值的幾何意義例 1、已知 c 0,設(shè) P ：函數(shù) y c x在 R 上單調(diào)遞減, Q ：不等式 x x 2c 1 的解集為 R,假如 P 與 Q有且僅有一個正確,試求 c 的范疇；由于不等式

3、 x x 2c 1 的幾何意義為： 在數(shù)軸上求一點 P x ,使 P 到 A 0 , B 2 c 的距離之和的最小值大于 1,而 P 到 AB 二點的最短距離為 AB 2c 1,即 c 1 而 P ：函數(shù) y c x 在 R 上單調(diào)遞減,即 c 121由題意可得：0 c 或 c 12三、聯(lián)想二次函數(shù)例 1、已知關(guān)于 x 的方程 x 2 4 x 5 m 有四個不相等的實根,就實數(shù) m的取值1 范疇為分析：直接求解,繁難！ ；由方程聯(lián)想二次函數(shù)進(jìn)行數(shù)形結(jié)合,以數(shù)助形,就簡潔明了；設(shè)y 1x24x,5y2m；又y 為偶函數(shù),由圖可知1m5四、聯(lián)想反函數(shù)的性質(zhì)例 1、方程2xx,x,3log2xy3x

4、3的實根分別為x 1, x2,就x 1x2= 解：令y12log23xy2x,A y 1, y2互為反函數(shù),其圖象關(guān)于yx對稱,設(shè)x23x 1,Bx 23,x2x 1即x 1x 1,33x 2六、聯(lián)想斜率公式例 1. 求函數(shù) y sin x 2 的值域；cos x 2y sin x 2 的形式類似于斜率公式 y y 2 y 1cos x 2 x 2 x 1y sin x 2 表示過兩點 P 0 2,2 ,P cos x,sin x 的直線斜率cos x 22 2由于點 P 在單位圓 x y 1 上,如圖 , 明顯, k P A 0 y k P B 0設(shè)過 P 0 的圓的切線方程為 y 2 k

5、x 2 就有 | 2k k2 21 |1,解得 k 43 7 即 k P A 0 43 7,k P B 0 43 74 7y 4 7函數(shù)值域為 4 7,4 73 3 3 3例 2、實系數(shù)方程 x 2ax 2 b 0 的一根在 0 和 1 之間,另一根在 1 和 2 之間,求 b 2 的取值范疇；a 1b 2 b 2解：數(shù)形結(jié)合由 的結(jié)構(gòu)特點,聯(lián)想二次函數(shù)性質(zhì)及 的幾何意義來求解,以形助數(shù),就簡潔明白；a 1 a 1f 0 0 b 0令 f x x 2 ax 2 b,就由已知有 f 1 0 得到 1 a 2 b 0f 2 0 2 a b 0這個二元一次不等式組的解為 ABC 內(nèi)的點 a , b

6、的集合由 b 2 的幾何意義為過點a 1 a , b 和點 D 1 , 2 的直線的斜率2 由此可以看出：1kADb2xkBD21 即b a2的取值范疇是11,；答案 D 4a1142 3,就y的最大值為練習(xí) ： 假照實數(shù) 、 中意y2xA.1B.3C.3D.3232五、聯(lián)想兩點間的距離公式例 1、設(shè)fx 1x2,a,bR 且a2b,求證：faf b aa,bb解：ab ,不妨設(shè)ab,構(gòu)造如圖的RtOAP,其中OP1 ,OAOB就PA1a2fa ,PB1bf b ,ABab在RtOAP中,有PAPBABf af bab六、聯(lián)想點到直線的距離公式例 1、已知 P 是直線3x4y80上的動點,PA

7、,PB是x2y22x2y10的兩條切線,A,B是切點, C是圓心,求四邊形PACB面積的最小值；1解：S PACB2SPAC21PAACPAPC22要使面積最小,只需PC 最小,即定點C 到定直線上動點P 距離最小即可即點 C 1,1 到直線3x4y80的距離,2而d313242283S PACBmin32124七、聯(lián)想函數(shù)奇偶性例 1、設(shè) y f x 是定義在 R 上的奇函數(shù),且 y f x 的圖象關(guān)于直線 x 1對稱,就2f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 解：此題由于 y f x 不明確, 故 f x 的函數(shù)值不好直接求解；如能聯(lián)想到奇函數(shù)的性質(zhì),數(shù)形結(jié)合,以數(shù)助形來解決,就簡潔明白

8、；就可知 f 0 0,又且 y f x 的圖象關(guān)于直線 x 1對稱,f 1 02就奇函數(shù)可得：f 1 0,就又由對稱性知：f 2 0 同理：f 3 f 4 f 5 0f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 0八、其它簡潔方法：例 1.如關(guān)于x 的方程x22kx3k0 的兩根都在1 和3 之間,求k的取值范疇；3 解：令fxx22kx3k,其圖象與x 軸交點的橫坐標(biāo)就是方f程fx00,0, 3的解,由yf x 的圖象可知,要使二根都在1 3,之間,只需 1fbfk0同時成立,解得1k0,故k 1 02a4 課后練習(xí)：1. 方程 lgxsinx 的實根的個數(shù)為（） A. 1個B. 2個C. 3 個

9、D. 4 個2. 函數(shù) ya x | |與yxa的圖象恰有兩個公共點,就實數(shù)a 的取值范疇是（） A. 1,B. 1,1 C. ,1 1,D. ,1 1,3. 設(shè)命題甲： 0 x3,命題乙： |x1 |4 ,就甲是乙成立的（） A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件 C. 充要條件D. 不充分也不必要條件4. 如方程 lgx23 xm lg3x 在0,3 上有唯獨解,求m的取值范疇；5. 設(shè) a0 且 1,試求下述方程有解時k 的取值范疇； log xakloga2x2a2；練習(xí)答案 1. C 2. D 提示：畫出ya x | |與yxa的圖象情形 1：a0a1情形 2：a01a1a1a 3. A 4. 解：原方程等價于3x23 xm0 x0 x2x3 xm0 x03,當(dāng)且僅當(dāng)兩函數(shù)的圖x030 xx3m3x23m4x23 x令 y 12 x4x3,y2m,在同一坐標(biāo)系內(nèi),畫出它們的圖象,其中留意0象在 0 ,3）上有唯獨公共點時,原方程有唯獨解,由下圖可見,當(dāng)m=1,或3m時,原方程有唯獨解,因此 m的取值范疇為 3,01 ； 5.解：將原方程化為：log axaklogax2a2 , xakx