債券價格的波動以及利率風(fēng)險的衡量方法-“久期”與“凸性”的運用

1、期限(maturity)與久期(duration)債券(包括貸款)的期限并沒有充分反映信用活動所涉及的時間因素，它只是衡量了最后一次支付(主要是本金的支付)所需要的時間，而對于債券或貸款存續(xù)期間所支付的各期利息(在分期等額付款的貸款中還包括一部分本金)的數(shù)額大小及其距今的間隔時間的長短等基本信息則全部忽略；而“久期”則考慮到了這些因素。期限這個概念的局限性某銀行向ABC公司提供了一筆200萬美元的貸款，期限為5年，無寬限期。寬限期(grace period)是指即貸款期限中只需支付利息、而無須償還本金的期限。貸款的年利率為10%，復(fù)利計息，每年計息一次。銀行要求ABC公司以年金的形式分期等額償

2、還貸款的本息(amortization)，即每年年底償付一筆相等的金額，并在第5年年末將貸款的本金和利息全部還清。分期等額償還貸款的本息假定貸款有4年的寬限期假定采用貼現(xiàn)的方式借用資金有寬限期的“久期”計算過程 (1) (2) (3) (4) = (2)(3) (5) = (4)(1) 收到現(xiàn)金流入 所需要的時間 現(xiàn)金 流動額 現(xiàn)值系數(shù) (折現(xiàn)率為10%) 現(xiàn)金流的現(xiàn)值 現(xiàn)金流的現(xiàn)值與所需時間的乘積 1年 $200,000 0.90909091 $181,818.18 181,818.18 2年 $200,000 0.82644628 $165,289.26 330,578.51 3年 $20

3、0,000 0.7513148 $150,262.96 450,788.88 4年 $200,000 0.6 $136,602.69 546,410.76 5年 $2,200,000 0.620921323 $1,366,026.91 6,830,134.55 合計 $3,000,000 - $. 久期 鍈鍈=n1ttn1tt)CF(PV t)CF(PVD=.4000,000,288.730,339,8= 分期等額償還的“久期”計算過程利率變動對貸款價值的影響假如貸款的利率固定不變。假定貸款協(xié)議剛簽訂市場利率就出現(xiàn)變動，在這種情況下，貸款的價值將出現(xiàn)什么變化？如果是采用貼現(xiàn)的方式融通資金，由于

4、在整個融資期間它只有一次現(xiàn)金流動，它的久期與期限相同，貸款的價值變化與市場利率變化相同。不同的“久期”對貸款價值的影響(1)若貸款協(xié)議簽訂后，市場利率從10%上升到11%，對有寬限期的貸款價值的影響為：不同的“久期”對貸款價值的影響(2)若貸款協(xié)議簽訂后，市場利率從10%上升到11%，對分期等額償付法下的貸款價值的影響為：“麥考萊久期” “久期”(duration)就是對以債券價格波動為主要內(nèi)容的利率風(fēng)險的一個嚴(yán)密的表達(dá)方式和適當(dāng)?shù)暮饬恐笜?biāo)，它能幫助市場參與者有效地實施資產(chǎn)組合策略與套期保值策略。“久期”這個概念最早是由弗里德里克麥考萊(Frederick R. Macaulay)在1938年

5、發(fā)表的一篇研究文章中提出的，他在現(xiàn)值的基礎(chǔ)上，衡量了與金融工具(如附息債券)有關(guān)的現(xiàn)金流的平均期限(the average of the stream of payment)“久期”是債券的各期支付(包括息票的支付與本金的償還)所需時間長度的加權(quán)平均數(shù)?！熬闷凇钡挠嬎愎綄降慕忉尮街械姆帜甘抢⒑捅窘鹬Ц读鞯默F(xiàn)值，即債券的市場價格；而分子則是指：全部利息和本金的現(xiàn)金流用相同的到期收益率(而不是使用預(yù)期將來每一次支付發(fā)生時的即期利率)來進(jìn)行折現(xiàn)，然后，將所有經(jīng)過折現(xiàn)后的現(xiàn)金流的現(xiàn)值用作權(quán)重(weights)對各次支付所需要的時間進(jìn)行加權(quán)，最后再作加總在這里，權(quán)重的意義在于它代表著未來的每一

6、次支付占全部債券價值中的特定比重，即每期收到的現(xiàn)金流的現(xiàn)值只代表了債券市場價格的一個部分?！熬闷凇钡挠嬎憷幽撤N債券的到期收益率為10%，面值為$1 000，票面利率為8%，每年付息一次，債券的現(xiàn)行市價為，存續(xù)期還剩3年。根據(jù)下表，我們可計算出該種債券的“久期”。 另一種計算“久期”的方法 “麥考萊久期”的實質(zhì)意義“麥考萊久期”表面上所呈現(xiàn)的債券加權(quán)平均期限并無實質(zhì)意義，它的真正實用價值在于：“久期”這個概念開創(chuàng)性地將債券收益率的變動和債券的價格變動聯(lián)系了起來，即： “久期”是對債券價格波動性或?qū)κ找媛首儎拥拿舾行缘暮饬浚骸熬闷凇痹绞谴?，債券價格對收益率變動的反應(yīng)就越是強烈，這意味著利率風(fēng)險就

7、越是大；反之則反是。 “修正后的久期”市場參與者為了更直觀地表現(xiàn)債券收益率變化與價格波動之間的聯(lián)系，將 稱作“修正后的久期”(modified duration)，并以MD來代表。經(jīng)過這樣處理之后，人們就可將債券收益率的變動直接與“修正后的久期”相乘，從而得到預(yù)期中的債券價格百分率的變動，即： 。 “修正后久期”的應(yīng)用案例某債券的現(xiàn)行市價為$ 1,000，到期收益率為8%，債券的久期為10年。如果收益率增至9%，這款債券的價格預(yù)計將出現(xiàn)大多大的變化？收益率變動1%，即：dr=9%8%=1%；“修正后的久期”為，即； = 1%=9.26%。 債券價格大約下跌9.26%，即債券價格將跌至 $907

8、.40=$ 1 000(19.26%)。 影響“久期”的因素 (1) 債券的息票率：在債券的期限和到期收益率相同的情況下，息票率越是低，投資者期望的回報中有更多的部分集中在到期收回的本金之中而不是包括在到期日之前支付的各次息票之中，因此，“麥考萊久期”就越是大。這意味著債券價格的波動性就越是突出；反之反是。 (2) 債券的到期收益率：投資者用來對未來現(xiàn)金流動進(jìn)行貼現(xiàn)的貼現(xiàn)率的高低對債券價格的波動性也有影響。在特定的息票率和期限的情況下，債券的到期收益率越是高，其“久期”就越是短；反之反是。(3) 債券的期限：“久期”與“期限”成 正比關(guān)系?！熬闷凇钡淖兓?從動態(tài)的角度來看，當(dāng)市場利率發(fā)生變動時

9、，“久期”也隨之改變。假如市場利率上揚，債券的收益率也跟著提高，“久期”相應(yīng)變短，因此，收益久期曲線(yield-duration curve)向左下方移動，這意味著債券的價格風(fēng)險減小。反之，假如市場利率下降，收益久期曲線也跟著向右上方移動，“久期”因收益率降低而相應(yīng)變長。由于“久期”與利率風(fēng)險相聯(lián)系，這意味著債券的價格風(fēng)險增大。 “久期”與期限的具體聯(lián)系“久期”與期限的具體聯(lián)系取決于：(1) 債券的付息采用的是零息票形式還是附息形式？(2) 假如是附息債券，它是不是永久債券？(3) 假如不是永久債券，那么，它是平價發(fā)行的，還是溢價或折價發(fā)行的？ 零息票債券的“久期”與期限(T)相同，兩者之間

10、存在著一對一的聯(lián)系。這是因為零息票債券只有一次現(xiàn)金流動， 而附息債券則不同，它的“麥考萊久期”總是小于債券的期限或存續(xù)期(maturity)。 “久期”與期限的動態(tài)聯(lián)系 “久期”在利率風(fēng)險管理中的運用案例(免疫策略)美國的一家養(yǎng)老基金所出售的一種保單承諾在今后15年里向保單持有者每年支付$100。假設(shè)市場的貼現(xiàn)率為10%，這項15年期的$100年金的現(xiàn)值為。養(yǎng)老基金這項負(fù)債的“久期”值為，“修正后的久期”為5.708(1.1)。 養(yǎng)老基金的資金運用養(yǎng)老基金現(xiàn)在面臨的問題是如何將出售每份保單所得到的進(jìn)行有效投資，以至少每年獲得10%的收益率，從而保證在未來每一個時點上的資產(chǎn)價值至少和負(fù)債的價值相

11、當(dāng)。 假定養(yǎng)老基金現(xiàn)在有兩種投資機(jī)會可供選擇：(1) 30年期的長期債券，票面利率為12%，按平價出售；(2) 6月期短期國庫券，為零息票信用工具，其年收益率為8%。長期債券的“修正后久期”為，短期國庫券的“修正后久期”為。 養(yǎng)老基金的利率風(fēng)險防范養(yǎng)老基金現(xiàn)在面臨的另一個問題是如何對投融資所涉及的利率風(fēng)險實施“免疫策略”(immunization strategy)，即使資產(chǎn)組合的價值變動精確地與負(fù)債的價值變動相匹配。 這就要求將兩種債券按某種比率進(jìn)行組合，使資產(chǎn)組合的久期值正好等于負(fù)債的久期值，即要使W1D1+W2D2+DL，且W1+W2=1。 “免疫”策略下的資產(chǎn)組合的權(quán)重計算養(yǎng)老基金的收

12、益與風(fēng)險養(yǎng)老基金每份保單收入中的68.79%($523.19)用于投資30年的長期債券，其余的31.21% ($237.42)投資于6月期的短期國庫券。這項資產(chǎn)組合的收益率達(dá)到了10.75%的水平，即8%0.3121= 10.75%)，它超過了負(fù)債成本(10%)。這意味著該項業(yè)務(wù)是盈利的(毛利為0.75%)。 另一方面，從養(yǎng)老基金所面臨的利率風(fēng)險來看，它也能完全“免疫”的，即市場利率發(fā)生上下波動對其收益沒有凈影響。 “免疫”策略的效果分析假定市場上的收益曲線向上平行移動了10個基點，負(fù)債的貼現(xiàn)率變成了10.1%，長期債券的收益率現(xiàn)在為12.1%，短期國庫券的收益率也變成了8.1%。由于養(yǎng)老基金

13、采取了風(fēng)險“免疫”策略，在這種情況下，其資產(chǎn)組合的價值變動正好等于負(fù)債的價值變動。 利率變動對長期資產(chǎn)的影響利率變動對短期資產(chǎn)的影響利率變動對負(fù)債的影響“免疫”策略的效果 債券價格波動性的又一衡量尺度凸性 債券的價格與其收益率呈反比關(guān)系；然而，債券收益率下降抬高債券價格的數(shù)額要大于債券收益率發(fā)生同等幅度的上升所導(dǎo)致的債券價格下跌的數(shù)額。這種非線性聯(lián)系在“久期”運用過程中也體現(xiàn)出來：1、“久期”的預(yù)測是對稱的，而債券實際價格的變動是不對稱的；2、在收益率發(fā)生上升和下跌這兩種情況下，“久期”的預(yù)測都出現(xiàn)了誤差，即都低估了債券價格的實際變動；3、同樣是“久期”的預(yù)測出現(xiàn)了偏差，但收益率上升導(dǎo)致債券價

14、格下跌的誤差要小于收益率下降導(dǎo)致的債券價格上漲的誤差。 債券市價收益率的曲率與凸性 債券的“久期”與債券的“凸性” “凸性”衡量的是“久期”的變動率 對公式的解釋上述泰勒展開式的第一項是債券價格函數(shù)對收益率的一階導(dǎo)數(shù)，它的負(fù)值是“久期”的數(shù)學(xué)定義，即： 。微積分中的一階導(dǎo)數(shù)總是與變量的微小變化有關(guān)。當(dāng)變化很大時，只使用一階導(dǎo)數(shù)作出的估測就會有誤差；所以，有必要對收益率作二階求導(dǎo)?！巴剐浴钡臄?shù)學(xué)表達(dá)式若再除以2以及債券的市場價格，這就是第二項內(nèi)容所表達(dá)的債券價格收益率曲線“凸性”的數(shù)學(xué)定義，即： 。其中，“凸性”的計算過程 6月期和1年期的“凸性” “凸性”對債券價格變動的影響 “凸性”對債券價格百分率變動的影響等于“凸性”的數(shù)值乘以收益率的平方，它呈增函數(shù)性質(zhì)，即： “凸性”的運用例子某種20年期的債券，其息票率為5%，“凸性”為。假如收益率從9%上升到11%或者從9%下降到7%(都是變動200個基點)，僅僅考慮到“凸性”，其對債券價格的影響為： “久期”與“凸性”結(jié)合起來運用的案例某種債券的息票率為8.4%，每半年付息一次，期限為6年。債券的面值為$100，由于到期收益率為9%，所