學(xué)案3-空間圖形的基本關(guān)系與公理

1、學(xué)案3 空間圖形的基本 關(guān)系與公理名師伴你行SANPINBOOK考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)四考點(diǎn)五名師伴你行SANPINBOOK返回目錄 名師伴你行SANPINBOOK1.空間圖形的基本關(guān)系（1）點(diǎn)與直線的位置關(guān)系有 兩種；（2）點(diǎn)與平面的位置關(guān)系有個(gè) 兩種.（3）空間兩條直線的位置關(guān)系：點(diǎn)在直線上和點(diǎn)在直線外點(diǎn)在平面內(nèi)和點(diǎn)在平面外返回目錄 名師伴你行SANPINBOOK直線a和直線b在同一個(gè)平面內(nèi)，而且沒(méi)有公共點(diǎn)， 這樣的兩條直線叫作 ；直線b和c只有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的兩條直線叫作 ；不同在任何的一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫作 .（4）直線與平面的位置關(guān)系直線和平面有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)稱 ；直線和平面沒(méi)有公

2、共點(diǎn)稱 ；直線和平面只有一個(gè)公共點(diǎn)稱 .（5）平面與平面的位置關(guān)系異面直線 平行直線 相交直線 直線在平面內(nèi) 直線和平面平行 直線和平面相交返回目錄 名師伴你行SANPINBOOK平面和平面沒(méi)有公共點(diǎn)，稱平面與平面為 ；兩個(gè)平面不重合且有公共點(diǎn)，稱兩個(gè)平面為 .2.空間圖形的公理公理1 如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上的 都在這個(gè)平面內(nèi)（即直線在平面內(nèi)）.直線a在平面內(nèi)，記作 .公理2 經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)， 一個(gè)平面（即可以確定一個(gè)平面）.平行平面相交平面 所有的點(diǎn) a有且只有返回目錄 名師伴你行SANPINBOOK 公理3 如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有

3、且只有 .平面與平面的公共直線為a，記作 . 公理4 平行于同一條直線的兩條直線 . 定理空間中，如果兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角 .相等或互補(bǔ) 一條通過(guò)這個(gè)點(diǎn)的公共直線=a 平行 返回目錄 如圖所示，空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G分別在AB，BC，CD上，且滿足AE:EB=CF:FB=2:1，CG:GD=3:1，過(guò)E，F(xiàn)，G的平面交AD于H，連接EH.（1）求AH:HD；（2）求證：EH，F(xiàn)G，BD三線共點(diǎn).考點(diǎn)一 證明共點(diǎn)問(wèn)題 名師伴你行SANPINBOOK【分析】證明線共點(diǎn)的問(wèn)題實(shí)質(zhì)上是證明點(diǎn)在線上的問(wèn)題，其基本理論是把直線看作兩平面的交線，點(diǎn)看作是兩平面的公共點(diǎn)，由公理3

4、得證.返回目錄 名師伴你行SANPINBOOK返回目錄 【解析】（1） =2，EFAC. EF平面ACD. 而EF平面EFGH，且平面EFGH平面ACD=GH， EFGH.而EFAC，ACGH. =3，即AH:HD=3:1.名師伴你行SANPINBOOK返回目錄 （2）證明：EFGH，且 ， ，EFGH,四邊形EFGH為梯形.令EHFG=P,則PEH,而EH 平面ABD，PFG，F(xiàn)G 平面BCD，平面ABD平面BCD=BD，PBD.EH，F(xiàn)G，BD三線共點(diǎn).名師伴你行SANPINBOOK 所謂線共點(diǎn)問(wèn)題就是證明三條或三條以上的直線交于一點(diǎn). （1）證明三線共點(diǎn)的依據(jù)是公理3. （2）證明三線共

5、點(diǎn)的思路是：先證兩條直線交于一點(diǎn)，再證明第三條直線經(jīng)過(guò)該點(diǎn)，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明點(diǎn)在直線上的問(wèn)題.實(shí)際上，點(diǎn)共線、線共點(diǎn)的問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)在直線上的問(wèn)題來(lái)處理.返回目錄 名師伴你行SANPINBOOK對(duì)應(yīng)演練如圖所示，已知空間四邊形ABCD，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，G，H分別是BC，CD上的點(diǎn).且CG= BC，CH= DC.求證：（1）E，F(xiàn)，G，H 四點(diǎn)共面；（2）三直線FH，EG， AC共點(diǎn).返回目錄 名師伴你行SANPINBOOK返回目錄 （1）連接EF，GH.由E,F分別為AB,AD中點(diǎn)，EF BD,由CG= BC CH= DC，HG BD，EFHG且EFHG.EF,HG可確定平面

6、,E,F,G,H四點(diǎn)共面.名師伴你行SANPINBOOK（2）由（1）知,EFHG為平面圖形，且EFHG，EFHG.四邊形EFHG為梯形，設(shè)直線FH直線EG=O，點(diǎn)O直線FH，直線FH 面ACD，點(diǎn)O平面ACD.同理點(diǎn)O平面ABC.又面ACD面ABC=AC，點(diǎn)O直線AC（公理2）.三直線FH，EG，AC共點(diǎn).返回目錄 名師伴你行SANPINBOOK在正方體ABCDA1B1C1D1中,對(duì)角線A1C與平面BDC1交于點(diǎn)O,AC,BD交于點(diǎn)M,求證:點(diǎn)C1,O,M共線.【分析】證明三點(diǎn)共線常用方法是取其中兩點(diǎn)確定一直線,再證明其余點(diǎn)也在該直線上.考點(diǎn)二 點(diǎn)共線問(wèn)題 返回目錄 名師伴你行SANPINB

7、OOK【證明】如圖,A1AC1C,A1A,C1C確定平面A1C.A1C 平面A1C,OA1C,O平面A1C,而O=平面BDC1線A1C,O平面BDC1,O在平面BDC1與平面A1C的交線上.ACBD=M,M平面BDC1且M平面A1C,平面BDC1平面A1C=C1M,OCM,即M,O,C1三點(diǎn)共線.返回目錄 名師伴你行SANPINBOOK返回目錄 證 明若干點(diǎn)共線也可用基本性質(zhì)3 為依據(jù),找出兩個(gè)平面的交線,然后證明各個(gè)點(diǎn)都是這兩平面的公共點(diǎn).名師伴你行SANPINBOOK返回目錄 對(duì)應(yīng)演練如圖所示,已知ABC在平面外,AB,BC,AC的延長(zhǎng)線分別交平面于P,Q,R三點(diǎn).求證:P,Q,R三點(diǎn)共線

8、.證明:設(shè)ABC所在平面為,因?yàn)锳P=P,AP,所以與相交于過(guò)點(diǎn)P的直線l,即Pl.因?yàn)锽Q=Q,BQ,所以Q,Q.所以Ql.同理可證Rl.所以P,Q,R三點(diǎn)共線.名師伴你行SANPINBOOK返回目錄 【分析】四條直線兩兩相交且不共點(diǎn),有兩種情況:一是恰有三條直線共點(diǎn);二是任意三條直線均不共點(diǎn),故應(yīng)分兩種情況證明.考點(diǎn)三 共面問(wèn)題 證明：空間不共點(diǎn)且兩兩相交的四條直線在同一平面內(nèi).名師伴你行SANPINBOOK【解析】 (1)如圖,設(shè)直線a,b,c相交于O點(diǎn),直線d和a,b,c分別交于M,N,P三點(diǎn),份直線d和點(diǎn)O確定平面.O直線a,M直線a,直線a平面.同理b平面,c平面.a,b,c,d四

9、線共面.返回目錄 名師伴你行SANPINBOOK(2)如圖,設(shè)直線a,b,c,d兩兩相交,且任意三條不共點(diǎn).直線ab=M,直線a和b確定平面.ac=N,bc=Q,N,Q都在平面內(nèi).直線a,b,c,d共面于.綜合（1），（2）知,兩兩相交而不過(guò)同一點(diǎn)的四條直線必在同一平面內(nèi).返回目錄 返回目錄 所謂點(diǎn)線共面問(wèn)題就是指證明一些點(diǎn)或直線在同一個(gè)平面內(nèi)的問(wèn)題.（1）證明點(diǎn)線共面的主要依據(jù)：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上的所有點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)（公理1）.經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面（公理2）.（2）證明點(diǎn)線共面的常用方法:納入平面內(nèi)：先確定一個(gè)平面，再證明有關(guān)點(diǎn)、線在此

10、平面內(nèi).輔助平面法：先證明有關(guān)的點(diǎn)、線確定平面，再證明其余元素確定平面，最后證明平面,重合.反證法.（3）具體操作方法：證明幾點(diǎn)共面的問(wèn)題可先取三點(diǎn)（不共線的三點(diǎn)）確定一個(gè)平面，再證明其余各點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi).證明空間幾條直線共面問(wèn)題可先取兩條（相交或平行）直線確定一個(gè)平面，再證明其余直線均在這個(gè)平面內(nèi). 名師伴你行SANPINBOOK返回目錄 對(duì)應(yīng)演練如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，判斷下列命題是否正確，并說(shuō)明理由.（1）直線AC1平面CC1B1B；（2）設(shè)正方形ABCD與A1B1C1D1的中心分別為O，O1，平面AA1C1C 平面BB1D1D=OO1；（3）點(diǎn)A，O，C可以確定一個(gè)平

11、面；（4）由點(diǎn)A，C1，B1確定的平面是ADC1B1；（5）由A，C1，B1確定的平面和由A，C1， D確定的平面是同一平面.名師伴你行SANPINBOOK返回目錄 (1)錯(cuò)誤，若AC1平面CC1B1B，則A平面 CC1B1B，這與A 平面CC1B1B的幾何事實(shí)矛盾.(2)正確，O，O1是這兩個(gè)平面的兩個(gè)公共點(diǎn).(3)錯(cuò)誤,點(diǎn)A，O，C在同一直線上.(4)正確，A，C1，B1不共線，確定平面.AB1C1D是平行四邊形，過(guò)AD與B1C1兩平行線確定一平面,又,都過(guò)不共線三點(diǎn)A,C1,B1，與重合.點(diǎn)D平面AC1B1，即A,C1,B1確定的平面是ADC1B1.(5)正確，同（4）.名師伴你行SAN

12、PINBOOK返回目錄 如圖所示，正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別是A1B1，B1C1的中點(diǎn).問(wèn)：（1）AM和CN是否是異面直線？（2）D1B和CC1是否是異面直 線？請(qǐng)說(shuō)明理由.考點(diǎn)四 異面直線的判定和證明 【分析】（1）由于M,N分別是A1B1和B1C1的中點(diǎn)，可證明MNAC，因此AM與CN不是異面直線.（2）由空間圖形可感知D1B和CC1為異面直線的可能性較大，判斷的方法可用反證法.名師伴你行SANPINBOOK【解析】（1）不是異面直線.理由如下：M,N分別是A1B1,B1C1的中點(diǎn),MNA1C1，又A1A D1D,而D1D C1C，A1A C1C，四邊形A1ACC1為平行

13、四邊形.A1C1AC，得到MNAC，A,M,N,C在同一個(gè)平面內(nèi)，故AM和CN不是異面直線.返回目錄 名師伴你行SANPINBOOK返回目錄 （2）是異面直線，證明如下：假設(shè)D1B與CC1在同一個(gè)平面D1CC1內(nèi)，則B平面CC1D1，C平面CC1D1.BC平面CC1D1，這與正方體ABCDA1B1C1D1中BC面CC1D1相矛盾.假設(shè)不成立，故D1B與CC1是異面直線.名師伴你行SANPINBOOK返回目錄 名師伴你行SANPINBOOK 判定異面直線的常用方法有：（1）定義法；（2）反證法；（3）判定定理法，應(yīng)用異面直線判定定理來(lái)判定時(shí)，應(yīng)注意是否滿足它的“四要素”，即點(diǎn)A平面,B ,直線a

14、,A a,則直線AB與a異面.返回目錄 如圖所示，E,F在AD上，G,H在BC上，圖中8條線段所在的直線，哪些直線互為異面直線？先找規(guī)律性較強(qiáng)的直線，如AB與CD，AC與BD，AD與BC互為異面直線，然后再把EG添入，那么易得EG分別與AB,AC,BD,DC成異面直線.同理，F(xiàn)H也與它們分別成 異面直線，EG與FH也互為異面直線.每?jī)蓷l異面直線稱 為“一對(duì)”，則共有12對(duì)異面直線.對(duì)應(yīng)演練 名師伴你行SANPINBOOK返回目錄 【分析】 本題首先要考慮將題目中的直線AB與 CD所成的角是60反映在圖形上 ，故要考慮添加輔 助線，通常取中點(diǎn)將其中的直線進(jìn)行平移，從而得解.考點(diǎn)五 異面直線所成的

15、角 在空間四邊形ABCD中，AB=CD且其所成的角是60，點(diǎn)M,N分別是BC,AD的中點(diǎn).求直線AB與MN所成的角.名師伴你行SANPINBOOK 【解析】取AC的中點(diǎn)P，連結(jié)PM,PN，則有 PMAB，且PM= AB.PNCD，且PN= CD. 又AB=CD且其所成的角是60， PM=PN，MPN=120或60. MPN=60或30，即直線AB與MN所成的角為60或30.返回目錄 名師伴你行SANPINBOOK返回目錄 求異面直線所成的角主要有定義法(平移法)和向量法. 利用定義法(平移法)求異面直線所成角的一般步驟為: (1)平移:選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn),平移異面直線中的一條或兩條成為相交直線,這里

16、的點(diǎn)通常選擇特殊位置的點(diǎn),如線段的中點(diǎn)或端點(diǎn),也可以是異面直線中某一條直線上的特殊點(diǎn). (2)證明:證明所作的角是異面直線所成的角. (3)尋找:在立體圖形中,尋找或作出含有此角的三角形,并解之. (4)取舍:因?yàn)楫惷嬷本€所成角的取值范圍是090,所以所作的角為鈍角時(shí),應(yīng)取它的補(bǔ)角作為異面直線所成的角.名師伴你行SANPINBOOK對(duì)應(yīng)演練如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，DAB=60,對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，PO平面ABCD，PB與平面ABCD所成角為60.(1) 求四棱錐的體積；(2) 若E是PB的中點(diǎn)，求異面直線DE與PA所成角的余弦值.返回目錄 名師伴你行SAN

17、PINBOOK返回目錄 （1）在四棱錐PABCD中，PO平面ABCD，PBO是PB與平面ABCD所成的角，即PBO=60,在RtPOB中，BO=ABsin30=1,又POOB，PO=BOtan60= ,底面菱形的面積S=2 22 =2 ，四棱錐PABCD的體積VPABCD= 2 =2.名師伴你行SANPINBOOK返回目錄 (2)取AB的中點(diǎn)F，連接EF，DF，E為PB中點(diǎn)，EFPA.DEF為異面直線DE與PA所成角（或其補(bǔ)角）.在RtAOB中，AO=ABcos30= =OP,在RtPOA中，PA= ，EF= .在正三角形ABD和正三角形PDB中，DF=DE= ，由余弦定理得cosDEF= 異面直線DE與PA所成角的余弦值為 .名師伴你行SANPINBOOK返回目錄 1.對(duì)于平面的三個(gè)公理，要深刻理解其含義，并能用符號(hào)準(zhǔn)確地表述. 2.主要題型的解題方法 （1）要證明“線共面”或“點(diǎn)共面”可先由部分直線或點(diǎn)確定一個(gè)平面,再證其余直線或點(diǎn)也在這個(gè)平面內(nèi)（即“納入法”）. （2）要證明“點(diǎn)共線”可將線看作兩個(gè)平面的交線，只要證明這些點(diǎn)都是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn),根據(jù)公理3可知這些點(diǎn)在交線上，因此共線.名師伴你行SANPINBOOK返回