空間幾何體的外接球（精練）

1、7.7空間幾何體的外接球（精練）【題組一漢堡模型】（2021 西藏拉薩市高三二模（理）已知三棱錐A-88的所有頂點(diǎn)都在球0的球面上，且河，平 TOC o 1-5 h z 面BCQ, AB = 2, CD = 6，AC=AD = y/5,則球。的表面積為（）A.瓜兀B. 24C. 3萬D. 64【答案】D【解析】因?yàn)槠矫?C。，所以AB_L8C，ABLBD-所以6c = 8。= J5-4 = 1，在BCD 中，CD2 = 2 = BC2 + BD2,所以 8c _L BO.如圖所示：flE三棱錐A BCD的外接球即為長方體AGFH - BCED的外接球，設(shè)球。的半徑為R，則2R = dB# +

2、BC2 + S =也+ F +=后解得r =母，所以球。的表面積為S = 47/?2=4%x = 6%.故選；D.4（2021 四川省華簽中學(xué)高三其他模擬（理）已知邊長為3的正aABC的頂點(diǎn)和點(diǎn)。都在球。的球面上.若AO = 6,且AQ_L平面A8C，則球。的表面積為（）A. 32叢兀B. 48萬C. 244D. 12乃【答案】B【解析】由題意知：球。為三棱錐。ABC的外接球，.ABC為邊長為3的正:角形，.A8C的外接圓半徑r = 2x、9 2 = G，又AT_L平面ABC，AD = 6，.球0的半徑/?=產(chǎn)+（；4） = V3 + 9 = 273 .，球O的表面積S = 4兀爐=48%.故

3、選：B.（2021 全國高三專題練習(xí)）已知各頂點(diǎn)都在同一球面上的正四棱柱的底面邊長為“，高為，球的體積為8府，則這個(gè)正四棱柱的側(cè)面積的最大值為（）A. 480B. 2472c. 96&D. 1272【答案】B解析設(shè)球的半徑為R，則g?？?8屈兀,解得R = y/6.如圖，正四棱柱底面對角線80 = Ca，隹R/aQZJB中，由（&a）2 + 2 =（2犬尸=4，.（缶- + /z2 =24 26ah ,ah6亞，則側(cè)面積S = 4a/5，則外接球表面積為4萬? =807.當(dāng)四面體ABCO如下圖示，過A作AE/CD且4E = CD，連接BE、DE、CE,且A。與CE交于。點(diǎn)，則AABE為等腰三角

4、形,A8E為矩形且。點(diǎn)為A8E外接圓圓心，即AC_LAE，乂 AB_LAC, ABAAE = A,二 AC 面 ABE. AC u 面 ACDE,則面 ABE 面 ACDE .過尸為AE中點(diǎn)，連接OF，若尸為面ABE外接圓圓心，。為四面體A8CD的外接球球心，則OF = QF = 2、BF = 473 .如下圖示,/.四面體ABCD的外接球半徑r = yJoT2 + BF2 = 2 J萬,則外接球表面積為4萬K =（運(yùn)%.故選：CD（2021 山西高三三模（理）己知四棱錐PA8CO的五個(gè)頂點(diǎn)都在球。的球面上，Q4,平面A3CO, 底面ABC。是高為g的等腰梯形，AD/BC, AD = PA =

5、 ，BC = 2,則球。的表面積為（）A. 10B. 47rC. 5%D. 67r【答案】D【解析】取BC的中點(diǎn)E,過A作ANLBC面AC，如圖，因?yàn)?A8 = C), ADI IBC. AD = 1, BC = 2 , AN =, 2所以在 RNANB 中，AN = NB = L2所以 N4BC = 45,A8 = 2由余弦定理可知，AC2 = AB2 +BC2-2/1B BC cosB = - + 4-2x x2x =-2222設(shè)底面/小外接圓半徑為r,圓心為也 球。的半徑為尼 TOC o 1-5 h z ArR由正弦定理知2r = =6，故廠=三sin NABC2又因?yàn)镼M J,平面AB

6、CD,OA = OP, AP , 3所以斤=（把）2 +r=三 22所以球。的表面積為S = 4兀片=6兀.故選：D6.（2021嚏國高三其他模擬（理）在四棱錐P - ABCD中，已知_L底面ABCD, AB BC, ADCD, 且/B4O = 120,PA = A8 = AD = 2,則該四棱錐外接球的體積為（D. 20非兀 TOC o 1-5 h z A , rz0 20%206A. 4j3zrB. C.兀 HYPERLINK l bookmark20 o Current Document 33【答案】C【解析】如圖所示，連接AC,設(shè)AC的中點(diǎn)為G，因?yàn)?A8_LBC,AO_LCO,所以A

7、C是底Ifil ABCD外接圓的直徑,又 AB = AD = 2 所以用 aABCRsADC，又 NBAD = 120。，得/班C = ZQ4c = 60。，又 Q4_L底面 ABCO,則 Q4_LAC,所以 NQ4C = 90.即PC是球的直徑，則PC的中點(diǎn)0為球心，連接OG, AO,DA易知OG/%，所以O(shè)G = = 1,且。G_L底面ABCZX 2在 R/aABC 中，AC= AB =4,則 AG = = 2, cos6002又在R/aAOG中，球半徑。4 =后不了行=石，則該四棱錐外接球的體積丫=改乃（、6）3=生叵萬.故選：C 337. （2021 南昌市八一中學(xué)高三三模（文）設(shè)直三

8、棱柱ABC-A81G的所有頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，且球的體積是竺巫生，AB = AC = AA, ZBAC = 20,則此直三棱柱的高是 . 3【答案】2血解析】設(shè) A8 = AC = A4） = 26.；NBAC = 120. A ZACB = 30 ,2m于是二=2叩是aABC外接圓的半徑），r = 2m.sin 300又球心到平面45c的距離等于側(cè)棱長的一半，球的半徑為療+/=也皿.*，球的體積為d；rx（x/5/n）3 =，33解得1 = 0 .于是直三.棱柱的高是A4, =2加=2，5.故答案為：2萬.【題組二墻角模型】（2021 沈陽市）（多選）一棱長等于1且體積為1的長方體的頂點(diǎn)都在

9、同一球的球面上，則該球的體積可能是（）A.叵兀2C.兀R 6D. 712【答案】BCD【解析】設(shè)長方體未知的兩棱長分別為a,則Mxl=L ab=，設(shè)外接球半役為R ,則2R = &+加+ 1 ,47r-球體積為V = - =-（a2+b2 +1）2, a2+b22ah2,當(dāng)且僅巧a=b = l時(shí)等號成立，36所以丫2立;r.故選：BCD.2（2021 黑龍江哈爾濱市哈師大附中高三月考（文）長方體ABC。-kqGR的長、寬、高分別為2,2, 1,其頂點(diǎn)都在球。的球面上，則球。的表面積為.【答案】9?！窘馕觥恳?yàn)殚L方體的外接球0的門徑為K方體的體對角線，長方體的長、寬、同分別為2, 2, 1,所以

10、長方體的外接球O的直徑V4 + 4 + 1 = 3，3 故長方體的外接球。的半徑為r = ,2所以球。的表面積為S = 4萬r=9乃.故答案為：9兀（2021 貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三其他模擬）棱長為0的正四面體的外接球體積為.【答案】叵2【解析】如圖，棱長為0的正四面體可以嵌入到棱長為1的立方體中，所以正四面體的外接球與所嵌入的立方體的外接球相同.設(shè)立方體的外接球半在為R ,則/?=走，24 、4 GY V3 所以立方體外接球的體積v = ?乃寵3=二乃=以兀.33 y2 ）2故正四面體的外接球體積為9兀.2故答案為：昱兀2（2021 云南紅河哈尼族彝族自治州高三三模（文）在三棱錐P-ABC中，已

11、知B4, PB, PC兩兩垂直，且Q4 = l，PB = 2, PC = 3,則三棱錐PABC的外接球的表面積為【答案】14%【解析】以線段PA, PB, ZT為相鄰三條棱的長方體PABB-CAPC被平面所載的三棱錐P-ABC符 合耍求，如圖：長方體P43B-C4PC與三棱錐PA8C有相同外接球，其外接球直徑為長方體體對角線PP,長, 設(shè)外接球的半徑為 R，則（2/?了=PP1 = PA2 + PB2 + PC2 = 12 +22 +32 = 14,則所求表面積S = 4%R2 =%.（2表）2 =14%.（2021 吉林長春市高三其他模擬（文）已知正四棱柱（底面為正方形且側(cè)棱與底面垂直的棱柱

12、）的底面邊長為3,側(cè)棱長為4,則其外接球的表面積為【答案】344【解析】正四棱柱即長方體，具體時(shí)角線長為萬壽=用，因此其外接球的半徑為=叵，則其表面積為5=4萬/=34萬，故選 2（2021 河南高三三模（理）在四面體S-A6C中，SA_L平面ABC,三內(nèi)角8, A，C成等差數(shù)列，SA = AC = 2, AB = ，則該四面體的外接球的表面積為【答案】8兀 【解析】由題意，內(nèi)角B, AC成等差數(shù)列，可得2A = 8+。,T.71因?yàn)锳+B + C = /r,可得3A =%，即A = 一 3 222 i在aA/C中，由余弦定理可得cos A = P +C 1,2bc 2即烏黑弓，解得。所以62

13、=/+4,所以 A8，BC，所以該四面體的外接球與該長方體的外接球是相同的, 根據(jù)長方體的對角線長等于其外接球的直徑,可得（2R）2 =22+/ +（G）2,解得r2 =2 ,所以該四面體的外接球的表面積為S = 4萬改=8%.（2021 貴州黔東南苗族侗族自治州凱里一中高三三模（文）如圖，在中，AB = AC = 5cosZBAC = -, D是棱8c的中點(diǎn)，以AO為折痕把ACO折疊，使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)。的位置，則當(dāng)三棱錐A3。體積最大時(shí)，其外接球的表面積為A【答案】5萬【解析】在aABC中，因?yàn)锳B = AC = Ji，cosNBAC = -g,由余弦定理可得 BC2 = AB2 + AC2-

14、2AB - ACcos A= 3 + 3-2xGxGx(-g) = 8,所以BC = 2上，當(dāng)CDLBD，即CZ)_L平面/曲，三棱錐C A6Z)體積最大，此時(shí)C。、8、D4兩兩垂直，可把三棱錐補(bǔ)形為一個(gè)長方體，且長方體長、寬、高分別為：1,夜，夜，所以三棱錐C-ABO的外接球半役為： yBD2 + AD2 + CD2 ) + (旬+(3)=立，22,所以外接球的表面枳為：S = 4兀R，= 47r x ()2 = 5兀.2(2021 南昌市八一中學(xué)高三三模(理)在三棱錐PABC中，點(diǎn)A在平面P8C中的投影是aPBC的 垂心，若ABC是等腰直角三角形且AB = AC = 1, PC = ，則三

15、棱錐PABC的外接球表面積為一【答案】4萬【解析】設(shè)aPBC的垂心為的,連接則A_1_平面尸BC，如圖所示：由垂心知，BH L PC,CH PB . 乂 A/_LPC，B/7 DA= 則 PC_L 平面 AB”所以PCLAB，又ABJ.AC , PCcAC = C，所以A8_L平面尸AC，得9_LP4同理AC_L%所以AP, AB, AC兩兩垂直，則三棱錐P-ABC的外接球是以AP, AB, AC為長寬高的長方體的外接球,故 2R = ylAP2 + AB2 + AC2 = PC2 - AC2 + AB2 + AC2 = /3+i = 2所以r = 1，三棱錐PABC的外接球表面積為4萬(20

16、21 遼寧朝陽市高三二模)已知三棱錐S-ABC的三條側(cè)棱SA S3, SC兩兩互相垂直且AC = y/13,AB = V5 ,此三棱錐的外接球的表面積為14%,則8C=.【答案】y/10【解析】設(shè)SA = x, SB = y, SC = z ,由題意可得：x2 +z2 = 13,x2 + y2 =5,y2+z2 = BC2, 三棱錐的外接球的表面積為14乃.三棱錐擴(kuò)展為長方體，長方體的對角線的長度，就是外接球的直徑2R， 所以2R = Jx2 + y+z2 , 4萬/?2=14萬，可得 x2 + y2 + z? = 14,解得 x = 2,y = l,z = 3,所以 BC = Jy2 + z

17、 = VlO .故答案為：VwA X（2021 廣西來賓市高三其他模擬（理）三棱錐PABC中，P4_L平面A8C,直線PB與平面ABC所成角的大小為30, ab = 26 NAC8 = 60。，則三棱錐PABC的外接球的表面積為.【答案】20萬【解析】如圖，設(shè)外接球的球心為“設(shè)aABC的外接圓圓心為。因?yàn)镻A_L平面A8C,所以NP8A為直線PB與平面A8C所成角，即NP84 = 30，所以tan Z.PBA. = =又 AB = 2+，所以 PA = 2，所以 OQ=Lp4 = 1,AB 32設(shè)aA6c的外接圓半彳仝為凡則由正弦定理可得2/? = = WL = 4,解得R = 2，sin N

18、ACB sin 60則在Rt/OO,A中，（M = #+22 =石，則三棱錐P-ABC的外接球表面積為4萬x （石=20.故答案為：20【題組三斗笠模型】2（2021 黑龍江齊齊哈爾市高三二模（文）某圓錐的側(cè)面展開后，是一個(gè)圓心角為一乃的扇形，則該 3圓錐的體積與它的外接球的體積之比為（)243128128八 256A.B.C.D.256243729729【答案】C2【解析】設(shè)圓錐的母線長為/，則展開后扇形的弧氏為一乃/,32再設(shè)圓錐的底面圓半徑為，可得2不=%/,即/ = 3r,3圓錐的高為=戶=J9r2 一戶=2/2r-圓錐的體積為乂 =,兀+ x2垃r, 3圓錐外接球的體積=空仁， TO

19、C o 1-5 h z 332V2272 3兀 r28.該圓錐的體積與它的外接球的體積之比為島啟-=前.故選：C.3272（2021 全國高三其他模擬（文）已知圓錐的頂點(diǎn)和底面圓周都在球。的球面上，圓錐的母線長為3,側(cè)面展開圖的面積為3不，則球。的表面積等于（）81萬817r121乃121 4A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)底面半價(jià)為，圓錐母線為/ = 3，所以萬 =3萬尸=3%，所以廠=1，如圖，A/WC是圓錐軸截面，外接圓。是球的大圓，。是圓錐底面的圓心， 設(shè)球半徑為 R，則 AB = 3，BD = 1,所以 AD = Rab2_BD2 =71 = 20，如圖 1, BOBDrO

20、D；即 N =1 +（AO-AD1 =l +（R-2亞，解得r = 2= 可得r =山丁圓錐的側(cè)面展開圖是半圓，則不/ = 21r，可得/ = 2r = 26，./z = 一產(chǎn)=3, 由圓錐的幾何特征可知，圓錐的外接球心在圓錐的軸I:.,所以，|/z-R + r2=R2,解得r = 2,因此，該圓錐的外接球的表面積為4萬N =16萬.故選：B.（2021 河南高三月考（理）一圓臺(tái)的兩底面半徑分別為2,4 ,高為4 ,則該圓臺(tái)外接球的表面積為（48乃64兀C. 657rD. 687r【答案】C 【解析】設(shè)該圓臺(tái)的外接球的球心為。，半徑為小則 -4 +- 16 = 4或-4 = 4+- 16 ,解

21、得戶=竽，所以該圓臺(tái)的外接球的表面積為4萬尸=651.故選：C.（2021淅江高三專題練習(xí)）已知圓錐的頂點(diǎn)和底面圓周都在球。面上，圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為行， TOC o 1-5 h z 面積為3萬，則球。的表面積等于（）817r81/r121萬121萬A. B.C. D.8282【答案】A【解析】設(shè)圓錐母線為/，底面半徑為，則 sin ZABC =， I 33I 39a r2R =產(chǎn)= 9v2sin ABC 2V24 ， R = -o3/T2 g.所以球衣面積為S = 4iR2 =4乃X一=.I 8 ) 8故選：A.A TOC o 1-5 h z （2021 天津南開區(qū)高三一模）已知一個(gè)圓

22、錐的底面半徑為2,高為3,其體積大小等于某球的表面積 大小，則此球的體積是（）Sy/347rA. 46兀B,上巴乃C. 44D.33【答案】D解析設(shè)球的半徑為/?.圓錐的體積為;%*22x3 = 4%,山丁球的體枳大小等于一某球的表面枳大小，則4%/?2=4乃，.R = 1，4, 4因此，該球的體積為V =-7X13= 一萬,故選：p33327r7.（2021 天津高考真題）兩個(gè)圓錐的底面是一個(gè)球的同一截面，頂點(diǎn)均在球面上，若球的體積為一二， 3兩個(gè)圓錐的高之比為1:3,則這兩個(gè)圓錐的體積之和為（）A. 3乃B. 4兀C. 9%D. 12%【答案】B【解析】如卜.圖所示，設(shè)兩個(gè)圓錐的底面圓圓心

23、為點(diǎn).設(shè)圓錐AO和圓錐BD的高之比為3:1,即AD = 3BD,設(shè)球的半徑為R,則生-=%工，可得R = 2,所以，AB = AD+BD4BD = 4, 33所以，BD = l, A = 3,CD LAB,則 NCA+ZACO = NBC+ZAC = 90，所以，NC40 = ZBC，又因?yàn)?NAC=N8C,所以，/ACD/CBD,u亡 I AD CDIr-所以，= T7 CD = VAD- BD = V3 *CD BD因此，這兩個(gè)圓錐的體積之和為=故選：B.8 （2021 全國高三專題練習(xí)（理）設(shè)圓錐的頂點(diǎn)為A, BC為圓錐底面圓。的直徑，點(diǎn)。為圓O上的一點(diǎn)（異于5、C）,若BC = 4也,

24、三棱錐A PBC的外接球表面積為64兀，則圓錐的體積為.【答案】24%或8萬解析】設(shè)圓錐AO的外接球球心為M，則M在直線AO I .，設(shè)球M的半彳仝為，則47尸=64萬，解得r = 4.由勾股定理得 82=。2+082, B|J 42 =（2 +OM2,可得QM = 2,即OM=|AO-r|=|AO-4 = 2,解得AO = 6或AO = 2.當(dāng)AO = 6時(shí),圓錐A。的體積為V =；4x（26了 x6 = 24%；當(dāng)40 = 2時(shí)，圓錐4。的體積為丫=；%x（2百丫、2 = 8%.故答案為：8萬或24%.【題組四L模型】1. （2021 寧夏銀川市賀蘭縣景博中學(xué)高三二模（理）如圖所示，在三棱

25、錐A88中，平面ACD_L 平面BCD, AACD是以C。為斜邊的等腰宜角三角形，ABBC, AC = 2CB = 4,則該三棱錐的外接 球的表面積為（）.R /c40V10n 64 V2A. 32萬B. 401C. 71D.兀33【答案】B解析設(shè)CD中點(diǎn)為M，連接40，因?yàn)锳C。是以CO為斜邊的等腰直角：角形，AC = 2CB = 4所以AM = DM = CM =2夜，AM 1 CD,過點(diǎn)M作MN人CD，因?yàn)槠矫鍭CD1平面BCD，平面ACD Q平面BCD = CD所以MNJ平面AC。，47_1_平面8。，所以.楨淮的外接球的球心在MN上，設(shè)外接球的半徑為R，則由 ABLBC得48 = 2

26、石，由得BM=2 = BC，又因?yàn)?82 + 302 =c“2,所以aBCM為等腰直角三角形，設(shè)球心為0，CM中點(diǎn)為P，連接BP，則 MP = CP=BP = ，所以 OM =7r2-CM? =Sb2-PM。- BP -即卜_（2可=可一g,解得/?=加，所以：.棱錐的外接球的表面積為S = 4%R2 = 401.故選：B2（2021?；崭呷驴迹ㄎ模┮阎忮FP-ABC的每個(gè)頂點(diǎn)都在球0的球面上，平面ABC 1平面PBC ,ACA.BC，AC = 6, AB = 8, PC = PB = 2取則三棱錐PABC外接球的表面積為（50A.n353n3100 不D. 32萬【答案】C【解析】如圖所

27、示:取6c的中點(diǎn)，連接PH，則P”_LBC.因?yàn)閍ABC為直角三角形，所以其外接圓圓心為AB的中點(diǎn)M .設(shè)四面體PABC的外接球球心為。，則OM 平面ABC，易知點(diǎn)。，點(diǎn)P位于平面ABC同側(cè),又因?yàn)镴L平面A8C，所以O(shè)M/PH，連接MH .。尸， 故四邊形OMHP為直角梯形，過0作QV PH點(diǎn)N ,則四邊形OMHN為矩形，連接OB , 設(shè)四面體PABC的外接球的半徑為R，OM = d.在 aABC中，MH=-AC = 3, AB = S， 2所以 MB = 4，BC7AB2 -AC。=2.在OMB 中，d = OM ZoB，- MB，=依-4? = Jr. _6 ,所以店=/+16，在 aP

28、BC 中,PH = yJPC2-CH2 =429丫 一（2 = 7，在直角梯形。護(hù)中，ON = MH = 3、NH = OM=d , PN = 1-d.在PON 中，OP2=ON2 + NP2 ,即/?2=32+（7 .解組成的方程組，得d = 3，所以相=3? +16 = 25，解得R = 5 （負(fù)值舍去）.所以四面體Q48。的外接球的表面積5 = 4乃/?2 =4%x52 =100t.故選：C（2021 江西撫州市高三其他模擬（文）在三棱錐。 ABC中，平面A6C_L平面AB1AD，AB = AD4, ZACB = ,若三棱錐O-A8C的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則該球的表面積為【答案】8

29、0乃【解析】設(shè)AAbC的外心為。 ,半徑小 三棱錐O A5C的外接球球心0，半徑R, 過。作AD的平行線，過。作AQ的平行線，兩條直線交于E .面 ABCJ_ 面 A3，面 A6CD面 ABD=AB，AB1AD, ADu面/. AD 1平面ABC，又,平面ABC,：.OOJ/AD,則四邊形AOEQ為矩形，而0。=。4，即。為EQ中點(diǎn)，即?？?2, c4/ r X在aABC中，由正弦定理得：sinZACB . n ,所以=4,sin 6 R2 =AO2 =r2+OO； =16 + 4 = 20,二 S = 4iR2 =807（2021 遼寧沈陽市高三三模）在四面體4及力中，BC。是邊長為2的等邊

30、三角形，是以 為斜邊的等腰宜角三角形，平面A6D_L平面A6G則四面體4四的外接球的表面積為.【答案】6萬【解析】因?yàn)锳BD是以BO為斜邊的等腰直角一角形，所以ZM_LAB，又因?yàn)槠矫鍭B）_L平面ABC，平面ABDc平面A8C = A8，八4u平面ABD，所以94,平面ABC, ACu平面A8C，,所以D4_LAC，所以DA = BA = CA =旦義2 =正，于是ABLAC，即D4, AB, AC兩兩垂直， 2以D4,AB,AC為棱構(gòu)造正方體，正方體的外接球就是四面體ABC。的外接球，可得四面體ABC。的外接球半價(jià)R = g J（&）2+（& + （如 =乎，所以表面積為4乃收=6兀.故答

31、案為：67V.【題組五 矩形模型】 TOC o 1-5 h z 7T27r（2021 安徽合肥市高三三模（文）在三棱錐s ABC中，NSAC = 4SBC = , NACB = , 23AC=8C = 1.若三棱錐S-ABC的體積為1,則該三棱錐外接球的表面積為（）377rA. 13%B.C. 491D. 52萬3【答案】D7T【解析】因?yàn)镹SAC = 2SBC =不，所以 ASC和&BSC為以SC為斜邊的宜角三角形，則SC的中點(diǎn)02到各個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等，則O為外接球的球心.即SC為直徑.過S做SJ_平面ABC，垂足為H，連結(jié)”8，HA,則 Vs-ABC =xSxxlxlx乎=1，解得：SH

32、 = 4/3 .71V AC=BC = ，NSAC = NSBC = , SC = SC，. NSACSBC,則 S4 = SB2A”, 3H分別為S4, SB在平面ABC內(nèi)的射影，所以有A7/ =，又AC = BC，HC為公共邊,所以VACmVBC，則N/C4 = /HC6,所以，在NABC的角平分線 上，ZHCA = 60，ACSA. AC1SH . SAHSH = S,所以有 AC_L 平面 S4 , Au 平面 S7M，則有 ACJ.H4， 因?yàn)?AC = 1，Z.HCA = 60 所以 CH=2,則 SC = dSH。+ CH? = 2萬， 則/?=拒故外接球的表面枳為S = 4兀改

33、=521.故選：D.（2021 甘肅酒泉市高三三模（文）已知三棱錐A 8CD,A8 = 3,AO = L8C = 4,BO = 2j,當(dāng)三棱錐A - 88的體積最大時(shí)，則外接球的表面積為.【答案】25乃【解析】A如圖，在/XAB。中,J AB = 3,AD = 1, BD = 272 ,可得：AD2 + BD，= AB2，所以ABO為ri角三角形，由BC = 4，若要三棱錐A88的體積最大，則8C_L平面時(shí)：.棱鐳A-8CZ）的體積最大，由A3。為直角三角形，所以ABO外接圓直徑為AB，所以外接球直徑2R = Jab2 + 8C2 =5, R = g，所以外接球的表面積5 = 4兀K= 257

34、，故答案為：25萬（2021 江西南昌市高三二模（文）四面體 ABCD中，ZABC = ZBCD = 90, AB = BC = CD = 2, AD = 2yf3則該四面體的外接球表面積為.【答案】12?！窘馕觥坑深}意 ZABC = N8C）= 90。，AB = BC = CD = 2, ad = 2 日則 AC = 6O = 20，所以 452= 4。2, ABLBD-同理 AC_LCQ，取AO5點(diǎn)O，則。到AB,C。四點(diǎn)的距離相等，。即為ABC。外接球的球心，4 n l所以球半徑為r = = 73,球表面積為S = 4乃r=12萬.2故答案為：12萬.【題組六懷表模型】（2021 江西贛

35、州市高三二模（文）如圖，菱形ABCD的邊長為6, BAD = ,將其沿著對角線8。折疊至直二面角A-8OC，連接AC,得到四面體ABC。，則此四面體的外接球的表面積為（【答案】D【解析】取BD的中點(diǎn)E，連接A、CE.CELBD.因?yàn)锳3。、aCBO都是邊長為6的等邊三角形，且E為5。的中點(diǎn)，則AJ_BD，7T所以，二面角A80C的平面角為NAEC，且NAEC = 一, 2設(shè)尸、G分別為AB。、aCB。的外心，過點(diǎn)F作平面的垂線F0,過點(diǎn)G作平面。8。的垂線GO,設(shè)FOGO = O.易知 EF AE = x6sin = -J3，同理可得EG = /3 333-. AEVRD, AE1CE,。后0

36、8。=6，.A_L平面 CBO,.60_1平面。8。，；.4E60,同理可得0F7/CE,所以，四邊形OGEF是邊長為、回的正方形，BG =由正弦定理可得一裝:三一-/.OB = y/OG2 + BG2 = V15 -.3因此，四面體ABC。的外接球的表面積為4ix（厲丫 =60萬.故選：D.（2021 安徽高三月考（理）已知菱形ABC。的邊長為4,對角線6。= 4,將A3。沿著8。折疊,使得二面角A8D-C為120。，則三棱錐A 8CO的外接球的表面積為.【答案】112萬3【解析】如圖所示;將ABO沿3D折起后，取中點(diǎn)為E，連接AE，CE，則A_L8D，CELBD，所以NAEC即為二面角A%

37、）一C的平面角，所以NAEC = 120：A5D j ABCD是邊長為4的等邊.角形.分別記三角形48。與BCD的用心為G、F ,則 EG =，EA =亞，EF = -EC = ;即 EF = G； 3333因?yàn)?XABD與4BCD都是邊長為4的等邊:角形，所以點(diǎn)G是ABD的外心，點(diǎn)F是4BCD的外心；記該幾何體A8CD的外接球球心為。，連接OF，OG，根據(jù)球的性質(zhì)，可得OF_L平面BCD，OG1平面曲，所以aOGE與OF都是直角:角形，為公共邊，所以 RAOGE 與 RtOFE 全等，因此 NOEG = AOEF = -ZAEC = 60 ,2所以。 =生5：3因?yàn)锳ELBD，CE1BD,

38、AEI CE = E,且4u平面AEC, CEu平面AEC,所以8D_L平面AC；又OEu平面AC,所以BD上OE.連接OB.則外接球半徑OB = JOE2 + BE2IIO TT所以外接球表面積為.故答案為：.33【題組七其他模型外接球】（2021 全國高三其他模擬）在四面體ABC。中，AC=BD = 2, AD= BC = 5 AB = CD =, 則其外接球的表面積為.【答案】8%【解析】如圖所示，將該四面體補(bǔ)成長方體，設(shè)該長方體的長、寬、高分別為b，c,c2 + a2 =7,ja2 +b2 =2,則“戶+。2 =卮解得a1 +b2 =4,b2 +c2 = 5,所以 a? + /? +

39、/ = 8，即 a2 +b2 +c2 = 2JE 1從而其外接球的半徑為& .其外接球的衣面積為4/rx（&=8）.故答案為：8萬.（2021 貴州高三期末（理）在三棱錐S-A8C中，NSBA = NSC4 = 90,底面ABC是等邊三角形,三棱錐S-ABC的體積為力，則三棱錐S-ABC的外接球表面積的最小值是（）A. 121B. 24乃C. 6兀D. 10乃【答案】A【解析】設(shè)三棱錐外接球的球心為0,三棱錐底面邊上和島分別為。，/i.底面ABC的外接圓半徑為r,則 r = a -3由題意可知SA是二棱錐S ABC的外接球的一條直徑，則匕abc=1x曰/力=百，即/% = i2.設(shè)三棱錐S -

40、 ABC的外接球半徑為R .球心到底面ABC的距離為d = .則2/?2 = r2+6/2=-a2+l/l2=- + - = - + - + -3. 34 h 4 h h 4故：.棱錐S-ABC的外接球表面積為4乃收212乃.故選:A.（2021 安徽安慶市安慶一中高三三模（文）已知球。的半徑為此A, B, C三點(diǎn)在球。的球面上，球心。到平面ABC的距離為AB = AC = 3, ZBAC = 120.則球。的表面積為（）2A. 48萬B. 16萬C. 647rD. 36%【答案】A【解析】ABC中，AB = AC = 3, N8AC = 120。，二平面A8C截球所得圓的半徑（即aABC的外

41、接圓半徑）為r = 3乂 球心到平面ABC的距離d =A，2球 0的半徑 1 = ,9 + ；/?2 ,解得r2=12，故球。的表面枳S = 4%改=48萬.故選：A.（2021 黑龍江大慶市鐵人中學(xué)高三一模（文）已知四面體A8CO中，ZaW = 60, ZBCD = 90，AB = AD = 2,，是B的中點(diǎn)，CH 1BD, NAHC = 120。，則四面體的外接球的表面積為（）如圖，四面體A8CQ的外接球?yàn)榍?,連接O”. 0A.因?yàn)閆BC）= 90，則BD為6DC所在小圓的直彳仝.又因?yàn)?44 = 60。，且 AB = AO = 2,則 3） = 2.又”是5。的中點(diǎn)，所以A”=百.又因

42、為 NAHC = 120，則 NA/7O = 150 或 30 .設(shè)球的半徑為R，則R2 = 1 .在aAHO中.由余弦定理知,cos 150 = -& OW2+(a/3)2-/?22 - 2xOHxj32則OH = 一一（不合題意*舍去）. 3,、h OH2+(G)2-r2“。手2小則夫2一3 = 1,解得R=恒，則球的表面積為“乃. 939故選：D（2021 云南紅河哈尼族彝族自治州高三三模（理）在棱長為8的正方體ABC。-A,gG。中，p為棱。上一點(diǎn)，且P到GA的距離與到AC的距離相等，則四面體PAC。的外接球的表面積為（）A. 1284B. 132 1C. 133 1D. 164 乃【

43、答案】B【解析】連接BD交AC于點(diǎn)。，連接如、PC、PO、PB.如卜一圖所示，在正方體ABC。AqG。中，四邊形488為正方形，且則。為AC的中點(diǎn)，因?yàn)?4 =尸。，所以POJ_AC.設(shè)尸）= x,則 P=8-X,易知OO = ；AC = 40 , PO = yjpD2 +OD2 = Vx2 +32 （/ PDt 1 qo,由已知可得尸。=尸。，可得8% =+32,解得尤=2，將三棱錐?一 AC。補(bǔ)成長方體QMNP-ABCD,設(shè)三棱錐PAC。的外接球半徑為火，則2R = PB =五+8? +8? = 2而，則/?=庖，因此，三棱錐PAC。的外接球的表面積為S = 4i/?2 =132人故選：B

44、.（2021 遼寧丹東市高三二模）球。的兩個(gè)相互垂直的截面圓。與。2的公共弦A3的長度為2,若QA8是直角三角形，。248是等邊三角形，則球。的表面積為（）A.B. 12兀C. 16兀D. 20n【答案】D解析】如圖，過。2作直線12 -1平面AO2B，過。1作直線4 -L平面，則與12相交J 0，。即為球心，連接AO，則A。為該球的半徑，取AB的中點(diǎn)C ,連接。,。夕，因?yàn)?48是直角三角形，AB = 2.所以 qC =（AB = l,因?yàn)镺zAB是等邊三角形，所以。2。2.4氏。24 = 45 = 2,因?yàn)槠矫?2AB JL平面O.AB ,平面O2AB Q平面OtAB = AB ,所以。2

45、。，平面QAB,所以O(shè)zCLQC,因?yàn)镼。，平面GAB,所以。2。，同理O?OO|C,所以四邊形。2為矩形， 所以。2=0。= 1, 因?yàn)?。O2 J_平面,所以O(shè)O2 1 O2A , 所以。4 = OO； +0收=Vl2+22 =石, 所以球的表面積為4lx（石=207，故選：DO2Q（2021 山東高三其他模擬）如圖是一個(gè)由6個(gè)正方形和8個(gè)正三角形圍成的十四面體，其所有頂點(diǎn)都 在球。的球面上，若十四面體的棱長為1,則球。的表面積為（）A. 2萬B. 47rC. 6兀D. 8%【答案】B【解析】根據(jù)圖形可知，該十四面體是由一個(gè)正方體切去八個(gè)角得到的，如圖所示,十四面體的外接球球心與正方體的外接

46、球球心相同, 建立空間直角坐標(biāo)系，.該十四面體的棱長為1,故正方體的棱長為J5,.該正方體的外接球球心的坐標(biāo)為oT,V,V設(shè)十四面體上一點(diǎn)為。，則所以十四面體的外接球半徑r = 0D =+ u2 J22)2)故外接球的表面積為S = 4/rR2 4%.故選：B.7T8.（2021 湖南高三月考）已知三棱錐產(chǎn)一ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為H的球面上，且NBAC = 1, BC = 2,若三棱錐P-ABC體積的最大值為立R,則該球的表面積為（）2647rA.9321八6416兀B.C.D.9279【答案】A【解析】如圖,ABC外接圓的半徑為=氈，當(dāng)aABC為正三角形（aAbC的面積最大） 2 sin

47、 ZBAC 3ILP.。，。1 ：點(diǎn)共線時(shí)，三棱錐的體積最大.因?yàn)檎?cqs3c（r+ooJ = （r+ooJ = r,所以O(shè)Q|=.Z 廠、/在放OQA中，由/?2=oo：+ 2 ，得犬2=匹 故該球的表面積為隨 （ 3 J99故選：A.p【題組八內(nèi)切球】（2021 河南高三（文）已知球。是棱長為24的正四面體A8CD的內(nèi)切球，球。與球。外切且與正四面體的三個(gè)側(cè)面都相切，則球。1的表面積為（）A. 24兀【答案】AB. 12718兀6?！窘馕觥咳鐖D，設(shè)球。的半森為R，球。半:徑為，由正四面體的性質(zhì)，取CO中點(diǎn)E，連接AG 是棱錐的高，且與兩球分別切于點(diǎn)打,尸，AO交BE于G，則AG與底面垂直

48、,G是底面中心.與正四面體棱長為。，則GE =, AE = -a 3 262 7在AABE中，AG = yjAE2-GE2 = .3由 AAOF AAEGx/6V6a CO, = x - =a”61 2 sin 6003所以 OC2 = R： =+,45 2A o 247rxa4萬619 尸.，外接球與內(nèi)切球衣面積之比為至聲=螢一= 5:1,故選：（,14 乃 x（ a）2（2021 廣東高二月考）設(shè)球。內(nèi)切于正三棱柱ABC A用G，則球。的體積與正三棱柱 的體積的比值為.【答案】27 TOC o 1-5 h z （解析設(shè)球半彳仝為4,正二棱柱ABC一 A耳G的底面邊長為a,則/上立X q =

49、立a,即2 0凡 3 26又正三棱柱ABC -48cl的高為2彳，士兀R3士乃於所以球。的體積與正三棱柱ABC-A81G的體積的比值為-7/= 丁1= 2” HYPERLINK l bookmark48 o Current Document a2x2R x2R2x2R2744故答案為：2叵27（2021 廣東）已知球。是棱長為2的正方體ABCQ-AqGQ的內(nèi)切球，球。2 （在正方體ABCQ-ABCiR內(nèi)部）與平面A8CD,平面和平面AOAA都相切，并且與球。相切，則球。i 與球。2的半徑之比為.【答案】2 +百（解析】球O,的半彳仝為1,設(shè)球02的半彳仝為r,則有（1 + r）2-（l- r）

50、2 =（V2-x/2r）2,解得r = 2-石，所以球。|與球。2的半徑之比為武石= 2 + 6.故答案為：2 + 6（2021 重慶一中高三月考）已知有兩個(gè)半徑為2的球記為。 , 02,兩個(gè)半徑為3的球記為。3,。這四個(gè)球彼此相外切，現(xiàn)有一個(gè)球。與這四個(gè)球。1,。2，。3，?？诙枷鄡?nèi)切，則球。的表面積為【答案】144不【解析】如圖，由題可得。2 =4,。|。3 =。4 =。2。3 =。2。4 =5,。34=6,取。2 中點(diǎn) M，。3。4 中點(diǎn) N，連接MN,ON,O2N,OM,.N ,則 go? ! O3M,O,O2 04M ,O.M c 0*M =M , qq 1 中面 M0.04 , 同理可證qoj乎mno., 又平面MQQ n平面NO02 =MN ,球心。在MN I二，設(shè)球半徑為R，則 oq =/?-2。4 = R 3,. O2O4 = 5,0&N = 3 , O2N = 4 ,MN = ylO2N2-O2M2 =26 M0 = J* -mo： = R_2)2-22 ,NO = JOO： -NO： = yl(R-3)2-32，J(J-2)2-4 + J(J-3)2-9 = 2G，解得R = 6,則球。的表面積為4萬x6? =144萬.故答案為：144%.（2021 贛州市第一中學(xué)高二開學(xué)考試）正方體