高中總復(fù)習(xí)理科數(shù)學(xué)配人教版(老高考舊教材)課后習(xí)題Word題型練7　大題專項(xiàng)(五)　解析幾何綜合問(wèn)題

1、 題型練7大題專項(xiàng)(五)解析幾何綜合問(wèn)題題型練第70頁(yè)一、解答題1.已知橢圓C1:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦點(diǎn)F與拋物線C2的焦點(diǎn)重合,橢圓C1的中心與拋物線C2的頂點(diǎn)重合.過(guò)F且與x軸垂直的直線交橢圓C1于A,B兩點(diǎn),交拋物線C2于C,D兩點(diǎn),且|CD|=43|AB|.(1)求橢圓C1的離心率;(2)設(shè)M是橢圓C1與拋物線C2的公共點(diǎn).若|MF|=5,求橢圓C1與拋物線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程.解:(1)由已知可設(shè)拋物線C2的方程為y2=4cx,其中c=a2-b2.不妨設(shè)A,C在第一象限,由題設(shè)得A,B的縱坐標(biāo)分別為b2a,-b2a;C,D的縱坐標(biāo)分別為2c,-2c,故|AB|=2b2a,

2、|CD|=4c.由|CD|=43|AB|得4c=8b23a,即3ca=2-2ca2,解得ca=-2(舍去),ca=12.所以橢圓C1的離心率為12.(2)由(1)知a=2c,b=3c,故C1:x24c2+y23c2=1.設(shè)M(x0,y0),則x024c2+y023c2=1,y02=4cx0,故x024c2+4x03c=1.由于拋物線C2的準(zhǔn)線為x=-c,所以|MF|=x0+c,而|MF|=5,故x0=5-c,代入得(5-c)24c2+4(5-c)3c=1,即c2-2c-3=0,解得c=-1(舍去),c=3.所以橢圓C1的標(biāo)準(zhǔn)方程為x236+y227=1,拋物線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為y 2=12x.2

3、.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(ab0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)1,32,離心率為32.(1)求橢圓C的方程;(2)不垂直于坐標(biāo)軸的直線l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn),且線段AB的垂直平分線交y軸于點(diǎn)P0,-32,求直線l的方程.解：(1)由題意得ca=32,1a2+34b2=1,a2=b2+c2,解得a=2,b=1.故橢圓C的方程是x24+y2=1.(2)設(shè)直線l的方程為y=kx+t,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立y=kx+t,x24+y2=1,消去y,得(1+4k2)x2+8ktx+4t2-4=0,則有x1+x2=-8kt1+4k2,x1x2=4t2-41+4k2.04k

4、2+1t2,y1+y2=kx1+t+kx2+t=k(x1+x2)+2t=2t1+4k2,y1y2=(kx1+t)(kx2+t)=k2x1x2+kt(x1+x2)+t2=k24t2-41+4k2+kt-8kt1+4k2+t2=t2-4k21+4k2.因?yàn)橐訟B為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),所以O(shè)AOB,x1x2+y1y2=0.因?yàn)閤1x2+y1y2=4t2-41+4k2+t2-4k21+4k2=0,所以5t2=4+4k2.因?yàn)?,所以4k2+1t2,解得t32.又設(shè)A,B的中點(diǎn)為D(m,n),則m=x1+x22=-4kt1+4k2,n=y1+y22=t1+4k2.因?yàn)橹本€PD與直線l垂直,所以kPD=-

5、1k=-32-n-m,得t1+4k2=12.由t1+4k2=12,5t2=4+4k2,解得t1=1,t2=-35.當(dāng)t=-35時(shí),0不成立.當(dāng)t=1時(shí),k=12,所以直線l的方程為y=12x+1或y=-12x+1.3.已知A,B分別為橢圓E:x2a2+y2=1(a1)的左、右頂點(diǎn),G為橢圓E的上頂點(diǎn),AGGB=8.P為直線x=6上的動(dòng)點(diǎn),PA與橢圓E的另一交點(diǎn)為C,PB與橢圓E的另一交點(diǎn)為D.(1)求橢圓E的方程;(2)證明:直線CD過(guò)定點(diǎn).答案:(1)解 由題設(shè)得點(diǎn)A(-a,0),B(a,0),G(0,1),則AG=(a,1),GB=(a,-1).由AGGB=8得a2-1=8,即a=3.所以

6、橢圓E的方程為x29+y2=1.(2)證明設(shè)C(x1,y1),D(x2,y2),P(6,t).若t0,設(shè)直線CD的方程為x=my+n,由題意可知-3n0,解得k0或0kb0)的離心率為12,且圓x2+y2-2x-3y=0的圓心在橢圓C上.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若直線y=mx+n與橢圓C只有一個(gè)公共點(diǎn)M,且與直線x=4相交于點(diǎn)N,問(wèn)x軸上是否存在點(diǎn)P,使得以MN為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)P?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.解：(1)由e=12(其中e為橢圓C的離心率),得a2-b2a2=1-b2a2=12,即3a2=4b2.又圓x2+y2-2x-3y=0的圓心為1,32在橢圓C上,

7、所以1a2+94b2=1.聯(lián)立3a2=4b2,1a2+94b2=1,解得a2=4,b2=3.故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24+y23=1.(2)聯(lián)立y=mx+n,x24+y23=1,消去y,整理得(3+4m2)x2+8mnx+4n2-12=0.因?yàn)橹本€y=mx+n與橢圓C只有一個(gè)公共點(diǎn)M,所以=64m2n2-4(3+4m2)(4n2-12)=0,即n2=3+4m2.設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(xM,yM),則xM=-4mn3+4m2=-4mn,yM=mxM+n=3n,即M-4mn,3n.假設(shè)x軸上存在點(diǎn)P(t,0),使得以MN為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)P.因?yàn)辄c(diǎn)N(4,4m+n),所以PM=-4mn-t,3n,PN=(4-