基本不等式教學(xué)課件

1、基本不等式課件第1頁，共24頁。第24屆國際數(shù)學(xué)家大會 會標(biāo)是根據(jù)中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，顏色的明暗使它看上去像一個(gè)風(fēng)車，代表中國人民熱情好客第2頁，共24頁。 中國古代的數(shù)學(xué)家們不僅很早就發(fā)現(xiàn)并應(yīng)用勾股定理，而且很早就嘗試對勾股定理作理論的證明。最早對勾股定理進(jìn)行證明的，是三國時(shí)期吳國的數(shù)學(xué)家趙爽。趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，用形數(shù)結(jié)合得到方法，給出了勾股定理的詳細(xì)證明。趙爽：弦圖2022/8/3第3頁，共24頁。1.你能在這個(gè)圖案中找出面積間的一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎？BACDEFGH探究點(diǎn)1 探究基本不等式第4頁，共24頁。BACDEFGH則正方形ABCD的面積是_，這4個(gè)直角

2、三角形的面積之和是_，設(shè)AE=a,BE=b,a2+b22ab Z.x.x. K 有可能相等嗎？又什么時(shí)候取等于號呢？第5頁，共24頁。ADBCEFGHba重要不等式： 一般地，對于任意實(shí)數(shù)a、b，我們有當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號成立。ABCDE(FGH)ab2022/8/3第6頁，共24頁。一般地，對于任意實(shí)數(shù)a，b，我們有當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號成立.2.你能給出它的證明嗎？特別地，我們用,分別代替可得第7頁，共24頁?？梢詳⑹鰹?兩個(gè)正數(shù)的幾何平均數(shù)不大于它們的算術(shù)平均數(shù). 叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)， 叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù).基本不等式第8頁，共24頁。DABCE如圖,AB是圓的直徑，C是

3、AB上任一點(diǎn)，AC=a,CB=b,過點(diǎn)C作垂直于AB的弦DE，連接AD,BD,則CD=,半徑為.CD小于或等于圓的半徑上述不等式當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C與圓心重合，即當(dāng)a=b時(shí)，等號成立.幾何意義：半徑不小于半弦o3、幾何解釋ab第9頁，共24頁。適用范圍文字?jǐn)⑹觥?”成立條件a=ba=b兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)兩數(shù)的平方和不小于它們積的2倍 a,bRa0,b0填表比較：注意從不同角度認(rèn)識基本不等式2022/8/3第10頁，共24頁。構(gòu)造條件二、應(yīng)用例1、若 ,求 的最小值.變3:若 ,求 的最小值.變1:若 求 的最小值變2:若 ,求 的最小值.發(fā)現(xiàn)運(yùn)算結(jié)構(gòu)，應(yīng)用不等式問:在結(jié)論成立的

4、基礎(chǔ)上,條件“a0,b0”可以變化嗎？2022/8/3第11頁，共24頁。三、應(yīng)用例2、已知 ,求函數(shù) 的最大值.變式:已知 ,求函數(shù) 的最大值.發(fā)現(xiàn)運(yùn)算結(jié)構(gòu)，應(yīng)用不等式2022/8/3第12頁，共24頁。均值定理：已知x,y都是正數(shù)，（1）如果積xy是定值P，那么當(dāng)x=y時(shí)，和x+y有最小值 ；（2）如果和x+y是定值S，那么當(dāng)x=y時(shí)，積xy有最大值條件說明：1、函數(shù)式中各項(xiàng)必須都是正數(shù).2、函數(shù)式中含變數(shù)的各項(xiàng)的和或積必須都是常值（定值）.3、等號成立條件必須存在.“一正二定三等”，這三個(gè)條件缺一不可.2022/8/3第13頁，共24頁。應(yīng)用基本不等式求最值的條件： a與b為正實(shí)數(shù)若等號

5、成立，a與b必須能夠相等一正二定三相等積定和最小和定積最大（ a0，b0）2022/8/3第14頁，共24頁。分析：設(shè)矩形菜園的長為x m，寬為y m， 面積確定，則xy=100，籬笆的長為2（x+y）m.即求（x+y）的最小值.例1 (1)用籬笆圍一個(gè)面積為100 m2的矩形菜園，問這個(gè)矩形的長、寬各為多少時(shí)，所用籬笆最短.最短的籬笆是多少？第15頁，共24頁。解：設(shè)矩形菜園的長為x m，寬為y m， 則xy=100，籬笆的長為2（x+y）m. 等號當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)成立，此時(shí)x=y=10. 因此，這個(gè)矩形的長、寬都為10 m時(shí)，所用籬笆最短，最短籬笆是40 m. 第16頁，共24頁。分析：設(shè)

6、矩形菜園的長為x m，寬為y m， 周長確定，則2（x+y）=36，籬笆的面積為xy m2.即求xy的最大值.例1 (2)一段長為36 m的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園,問這個(gè)矩形的長、寬各為多少時(shí)，菜園的面積最大.最大面積是多少？第17頁，共24頁。解：設(shè)矩形菜園的長為x m，寬為y m， 則 2(x + y)= 36, x+ y=18，矩形菜園的面積為xy m2 .當(dāng)且僅當(dāng)x=y,即x=y=9時(shí)，等號成立.因此，這個(gè)矩形的長、寬都為9 m時(shí)，菜園的面積最大，最大面積是81 m2 .第18頁，共24頁。練習(xí)2022/8/3第19頁，共24頁。課堂鞏固第20頁，共24頁。4. 已知x0,y0,且2x+

7、y=1,求 的最小值？ 第21頁，共24頁。2、(04重慶）已知則x y 的最大值是 。高考方向標(biāo)：1、當(dāng)x0時(shí)， 的最小值為 ，此時(shí)x= 。21 3、若實(shí)數(shù) ，且 ，則 的最小值是（ ）A、10 B、 C、 D、4、在下列函數(shù)中，最小值為2的是（ ）A、 B、C、 D、DC2022/8/3第22頁，共24頁?！纠?】某工廠要建造一個(gè)長方體無蓋貯水池，其容積為4800m3,深為3m，如果池底每1m2的造價(jià)為150元，池壁每1m2的造價(jià)為120元，問怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造價(jià)最低，最低總造價(jià)是多少元？ 分析：此題首先需要由實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化，即建立函數(shù)關(guān)系式，然后求函數(shù)的最值，其中用到了均值不等式定理。2022/8/3第23頁，共24頁。解：