2021年高考北師版(理科)數(shù)學一輪復習講義：第4章第1節(jié)平面向量的概念及線性運算

1、第四章平面向量、數(shù)系的擴大與復數(shù)的引入深研高考 備考導航為教師備課、授課提供豐富教學資源五年考情考點2021 年2021 年2021 年2021 年2021 年平間向量的線性運算一全國卷I T7全國卷 H T13全國卷I T10一一平而向量根本定理及坐標運算一全國卷I T7一一一平間向量的數(shù)量積及其應用全國卷I T13 全國卷H T3全國卷m T3全國卷I T5全國卷I T15全國卷H T3全國卷I T13全國卷 H T13全國卷T13復數(shù)的相關(guān)概念及其運算全國卷I T2全國卷H T1全全國卷I T1全國卷H T2全國卷I T2全國卷H T2全國卷I T2全國卷H T2全國卷T3國卷m T2重

2、點關(guān)注.從近五年全國卷高考試題來看，平面向量與復數(shù)是每年的必考內(nèi)容，主 要考察平面向量的線性運算，平面向量共線與垂直的充要條件，平面向量的數(shù)量 積及其應用，復數(shù)的有關(guān)概念及復數(shù)代數(shù)形式的四那么運算，多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，難度較小.平面向量雖然有時也與其他知識滲透交匯命題，但平面向量僅起到穿針 引線的載體作用.本章內(nèi)容要注意數(shù)形結(jié)合思想的應用，向量具有“形與”數(shù)的兩個 特點，這就使得向量成了數(shù)形結(jié)合的橋梁.導學心語.透徹理解平面向量的有關(guān)概念及相應的運算法那么是學好本章的根底.（1）向量的幾何運算側(cè)重于“形，坐標運算側(cè)重于“數(shù)，要善于將二者有機結(jié)合 和轉(zhuǎn)化.（2）平面向量的數(shù)量積是高考的

3、重點，要熟練掌握和運用.平面向量與其他知識的綜合滲透充分表達了平面向量的載體作用.平面 向量的復習應做到：立足根底知識和根本技能，強化應用.復數(shù)內(nèi)容獨立性較強，一般會以選擇題形式單獨命題，重點是代數(shù)運算， 屬容易題，因此切忌盲目拔高要求；重視“化虛為實的思想方法.第一節(jié)平面向量的概念及線性運算考綱 1.了解向量的實際背景，理解平面向量的概念和兩個向量相等的含義，理解向量的幾何表示.2.掌握向量加法、減法的運算，理解其幾何意義.3.掌握向量數(shù)乘的運算及其幾何意義，理解兩個向量共線的含義.4.了解向量線性運 算的性質(zhì)及其幾何意義.抓基礎(chǔ)自主學習I知識梳理.向量的有關(guān)概念(1)向量：既有大小又有方向

4、的量叫作向量,向量的大小叫作向量的長度(或也.零向量：長度為零的向量,其方向是任意的.(3)單位向量：長度為單位1的向量.(4)向量平行(或共線)：表示兩個向量的有向線段所在的直線平行或重合、那 么稱這兩個向量平行或共線，規(guī)定零向量與任一向量平行.(5)相等向量：長度相等且方向一樣的向量.(6)相反向量：長度相等且方向相反的向量.向量的加法和減法(1)加法法那么：服從三角形法那么，平行四邊形法那么.運算律：交換律a+b= b+ a;結(jié)合律(a+ b) + c= a+(b+c).(2)減法法那么：減法與加法互為逆運算；服從三角形運算法那么.實數(shù)與向量的積實數(shù)人與向量a的積是一個向量，記作 詞 規(guī)

5、定：長度：|同=曲；方向：當 紅時，啟與a的方向一樣；當 0時,a與a的方向相反； 當人=0時，冶=0,方向任意.(2)運算律：設(shè)入戶R,那么 XM=ma；(狂j)a電+; Xa+ b)= B+ 2b.向量共線的判定定理和性質(zhì)定理(1)判定定理：a是一個非零向量，假設(shè)存在一個實數(shù)入使得b=(,那么向量b與非零向量a共線.(2)性質(zhì)定理：假設(shè)向量b與非零向量a共線，那么存在一個實數(shù) 使得上 =啟.學情自測 TOC o 1-5 h z .(思考辨析)判斷以下結(jié)論的正誤.(正確的打“，錯誤的打x)(1)向量與有向線段是一樣的，因此可以用有向線段來表示向量.()(2)彳貿(mào)設(shè) a / b, b / c,

6、那么 a / c.()(3)a / b是a= ?b(入C R)的充要條件.(), 一 一，-1 Y(4)zABC 中，D 是 BC 的中點，那么 AD=2(AC + AB).()答案(1)X (2)X (3)X ， .一一 、一 一 一一，一_. . . 一一. (2021全國卷I)設(shè)D為4ABC所在平面內(nèi)一點，BC = 3CD,那么()1 4 A.AD = -oAB + zAC 331 4 B.AD = 3AB3AC 4-1之C.AD = aAB+” 33 4 1 D.AD、AB ” 33A AD= AC+CD = AC+1BC = AC + 1(AC-AB) = 4AC-1AB = -1A

7、B + j4 333333AC.應選A. 一. . 一，. 、一. 一 一一，一_. . ,一 一 (2021銀川質(zhì)檢)設(shè)點P是4ABC所在平面內(nèi)一點，且BC+BA=2BP,那. 一么 pc+pa=.一 ._. 一一一. ， 一. ，,0 因為BC + BA=2BP,由平行四邊形法那么知，點P為AC的中點，故PC一+ PA=0. .、 . (教材改編)?ABCD的對角線AC和BD相父于點O,且OA=a, OB=b, 一 .一那么DC =, BC=州a, b表小).b-a -a-b 如圖，DC = AB = OB OA=b a, BC = OC OB= OAOB= ab.a與b是兩個不共線向量，

8、且向量 a+ b與一（b3a）共線，那么 上【導學號：57962190 TOC o 1-5 h z _11七-k, 上3,3 由得 a+ 七=一k(b 3a),._ 得 13k=1，k= 3.明考向題型突破|考向11n平面向量的有關(guān)概念卜例給出以下六個命題：假設(shè)|a|= |b|,那么a= b或a= b；假設(shè)AB= DC,那么ABCD為平行四邊形；假設(shè)a與b同向，且|a|b|,那么ab；入以為實數(shù),假設(shè)治=肉，那么a與b共線；電=0（人為實數(shù)），那么人必為零；a, b為非零向量，a=b的充要條件是|a|=|b|且a/b.其中假命題的序號為.【導學號:57962191不正確.|a|=|b|.但a,

9、 b的方向不確定，故a, b不一定是相等或相反向量;不正確.因為AB=DC, A, B, C, D可能在同一直線上，所以 ABCD不定是平行四邊形.不正確.兩向量不能比擬大小.不正確.當壯尸0時，a與b可以為任意向量，滿足電=由，但a與b 不一定共線.不正確.當 人=1, a = 0時，Oi = 0.不正確.對于非零向量a, b, a=b的充要條件是冏= |b|且a, b同向.規(guī)律方法1.（1）易無視零向量這一特殊向量，誤認為 是正確的；（2）充分 利用反例進展否認是對向量的有關(guān)概念題進展判定的行之有效的方法. （1）相等向量具有傳遞性，非零向量平行也具有傳遞性.（2）共線向量（平行向量）和相

10、等向量均與向量的起點無關(guān).假設(shè)a為非零向量，那么己是與a同向的單位向量，一昌是與a反向的|a| |a|單位向量. TOC o 1-5 h z 變式訓練1設(shè)ao為單位向量，假設(shè)a為平面內(nèi)的某個向量，那么a= |a|ao；假設(shè)a與ao平行，那么a=|a|ao;假設(shè)a與ao平行且|a|=1,那么a = ao.上述命題中，假命題的個數(shù)是（）A. oB. 1C. 2D. 3D 向量是既有大小又有方向的量，a與|a|ao的模一樣，但方向不一定一樣， 故是假命題；假設(shè)a與ao平行，那么a與ao的方向有兩種情況：一是同向， 二是反向，反向時a=|a|ao,故也是假命題.綜上所述，假命題的個數(shù)是 3.L藝2d

11、_一_面向量的線性運算1例（2。21全國卷I ）設(shè)D, E, F分別為 ABC的三邊 BC, CA, AB 的中點，那么EB+FC =（）A.BC-1心B.2 A DC.ADr 1 fDB C(2)(2021廣東廣少M模擬)在梯形ABCD中，AD / BC, AD = 4, BC=6,假設(shè)CD= mBA+ nBC(mnCR),那么三=()【導學號:5796219231C.3D.C (2)A(1)如圖，EB+FC = EC+CB+FB + BC= EC+FB =1 2(AC + AB) TOC o 1-5 h z 1 =5 2AD = AD.一、，一 廣 31 (2)如圖，過 D 作 DE/AB

12、, CD = mBA+ nBC= CE+ED = BC+BA,所以n= m=1,所以m= 3.應選A.3n規(guī)律方法向量的線性運算的求解方法(1)進展向量運算時，要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，選用從同一頂點出發(fā)的根本向量或首尾相接的向量， 運用向量加、減法運算及數(shù)乘運算來求 解.(2)除了充分利用相等向量、相反向量和線段的比例關(guān)系外，有時還需要利用三角形中位線、相似三角形對應邊成比例等平面幾何的性質(zhì)，把未知向量轉(zhuǎn)化為與向量有直接關(guān)系的向量來求解.變式訓練2 (1)設(shè)M為平行四邊形ABCD對角線的交點，O為平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)任意一點，那么 OA+OB+OC+OD等于()【導學號：5

13、7962193】A.OMB. 2OMC. 3OMD. 4OM一 一. 一一 二 Y 一(2)D為三角形ABC邊BC的中點，點P潴足PA+BP+CP = 0, AP=?PD, 那么實數(shù)人的值為.一一 一 一 一. ,一 .一 .一一一. (1)D (2)-2 (1)因為M是AC和BD的中點，由平行四邊形法那么，得OA因止匕AP = AB + AC+ OC=2OM, OB+OD = 2OM,所以 OA+ OB+OC+OD = 4OM.應選 D.(2)因為D是BC的中點，那么AB + AC = 2AD., 由PA+BP+CP = 0,得BA=PC. 又 AP= PD,所以點P是以AB,AC為鄰邊的平

14、行四邊形的第四個頂點,= 2AD= 2PD,所以上-2.考奧工1 共線向量定理的應用，例盯 設(shè)兩個非零向量a與b不共線，(1)假設(shè)AB = a+b, BC = 2a+8b, CD = 3(ab),求證：A, B, D 三點共線;(2)試確定實數(shù)k,使ka+b和a+kb共線.解(1)證明：. AB=a+b, BC = 2a+8b, CD = 3(ab),2分 .BD=BC + CD = 2a+8b+3(a b)=2a + 8b+ 3a 3b= 5(a+ b) = 5AB.AB, bD共線,又丁它們有公共點B, TOC o 1-5 h z .A, B, D三點共線.5分(2)ka+b 和 a+kb

15、 共線,存在實數(shù) 小使ka+b= Xa+kb),即 ka+b=2a+ 入氏. .(k2)a=(入 b 1)b.9分. a, b是兩個不共線的非零向量，.k入=入 b1 = 0,k21=0,.k=土.12 分規(guī)律方法共線向量定理的應用(1)證明向量共線：對于向量a, b,假設(shè)存在實數(shù)%使a=七，那么a與b 共線. . (2)證明三點共線：假設(shè)存在實數(shù)入使AB= :AC,那么A, B, C三點共線.(3)求參數(shù)的值：利用共線向量定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的化易錯警示：證明三點共線時，需說明共線的兩向量有公共點.變式訓練 3 向量AB = a+3b, BC=5a+3b, CD = 3a+

16、3b,那么()【導學號:57962194】A, B, C三點共線A, B, D三點共線A, C, D三點共線B, C, D三點共線(2)(2021全國卷H)設(shè)向量a, b不平行，向量 均+b與a +2b平行，那么實 數(shù)上.1 一 一 一一(1)B (2)2 (1) BD = BC+CD = 2a +6b=2(a+3b) = 2AB,BD, AB共線，又有公共點B,.A, B, D三點共線.應選B.(2)啟+b 與 a +2b 平行，. . B+b = t(a+2b)即為+b=ta + 2tb,1=2t名姬微博。思想與方法.向量加法的三角形法那么應注意 “首尾相接，指向終點；向量減法的三角形法那么應注意“起點重合，指向被減向量；平行四邊形法那么應注意起點重合.證明三點共線問題，可用向量共線來解決，但應注意向量共線與三點共線的