法向量求二面角精編版課件

1、3.2立體幾何中的向量方法第1頁，共19頁。A平面的法向量：如果表示向量 的有向線段所在直線垂直于平面 ，則稱這個向量垂直于平面 ,記作 ，如果 ，那 么 向 量 叫做平面 的法向量. 給定一點(diǎn)A和一個向量 ,那么過點(diǎn)A,以向量 為法向量的平面是完全確定的.l第2頁，共19頁。平面的法向量：注意：1.法向量一定是非零向量;2.一個平面的所有法向量都互相平行;l第3頁，共19頁。求法向量的步驟：第4頁，共19頁。5第5頁，共19頁。 例1、在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.解：以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz（如圖），則O（1，1，0

2、），A1（0，0，2），D1（0，2，2），設(shè)平面OA1D1的法向量的法向量為n=(x,y,z), 由 =（-1，-1，2）， =（-1，1，2）得 解得取z =1得平面OA1D1的法向量的坐標(biāo)n=(2,0,1)AA BOzyA1C1B1AxCDD1第6頁，共19頁。二面角的平面角二面角的平面角以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角.O復(fù)習(xí)：二面角的范圍：第7頁，共19頁。ll法向量法求二面角的大小可轉(zhuǎn)化為求兩個平面法向量的夾角.二面角的大小與法向量n1 、n2夾角相等或互補(bǔ)。第8頁，共19頁。四、教學(xué)過程的設(shè)計(jì)與實(shí)施總結(jié)出利用法

3、向量求二面角大小的一般步驟：1）建立坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)與向量的坐標(biāo)；2）求出平面的法向量，進(jìn)行向量運(yùn)算求出法向量的夾角；3）通過圖形特征或已知要求，確定二面角是銳角或鈍角，得出問題的結(jié)果第9頁，共19頁。例2：如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，M，N分別是A1B1，BC，C1D1，B1C1的中點(diǎn)，求二面角M-EF-N的大小AD1C1B1A1NMFEDCB(2)第10頁，共19頁。AD1C1B1A1NMFEDCBxyz解：（1）建系如圖所示，設(shè)正方體棱長為2,則M（0，1，2）F（1，2，0） E（2，1，2） N（1，2，2） 則MF=（1,1，-2） NF=（0，0，-2） EF

4、=（-1，1，-2），設(shè)平面ENF的法向量為n=(x,y,z),EFn=0NFn=0-x+y-2z=0-2z=0則x=yz=0令x=y=1,則n=(1,1,0)2第11頁，共19頁。AD1C1B1A1NMFEDCBxyz解：（2）建系如圖，由（1）得：面ENF的法向量為 n=（1，1，0），又MF=（1，1，-2）EF=（-1，1，-2） 設(shè)面EMF的法向量為m=（x,y,z) ，則MF.m=0EFm=0 x+y-2z=0-x+y-2z=0 x=0y=2z令z=1,則m=(0,2,1) cos=10/5 由題意可知，所求二面角為銳角，故所求二面角的大小為arccos(10/5)第12頁，共19

5、頁。AzyxDCBS圖5例3 如圖5，在底面是直角梯形的四棱錐SABCD中，AD/BC，ABC=900，SA面ABCD，AB=BC=1， 求側(cè)面SCD與面SBA所成的二面角的大小。第13頁，共19頁。解： 以A為原點(diǎn)如圖建立空間直角坐標(biāo)系，AzyxDCBS圖5則11顯然平面SBA的一個法向量為設(shè)平面SCD的一個法向量為則第14頁，共19頁。則根據(jù)題意知，側(cè)面SCD與面SBA所成的二面角的大小的大小為第15頁，共19頁。 練習(xí)：在正方體AC1中，E是BB1中點(diǎn)，求（1）二面角A-DE-B的余弦值；ABCDA1B1C1D1EXYZ第16頁，共19頁。課后作業(yè)：1、如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1棱長為1 ， 試用多種方法求二面角A1BDC1的余弦值四、教學(xué)過程的設(shè)計(jì)與實(shí)施第17頁，共19頁。謝謝！第18頁，共19頁。 已知正方形ABCD的邊長為1，PD 平面ABCD，且PD=1，E、F分別為AB、BC的中點(diǎn)。求證：PE AF；求點(diǎn)D到平面PEF的距離；求直線A