高中數(shù)學(xué)選修第一冊：1.4.2 空間向量的應(yīng)用（二）（精講）（原卷版）

1、 1.4.2 空間向量應(yīng)用（二）思維導(dǎo)圖常見考法考點(diǎn)一 空間向量求線線角【例1】（2020全國高三一模（文）如圖，四棱錐中，底面是矩形，是等腰三角形，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是（ ）ABCD向量法求異面直線所成角的一般步驟(1)選擇三條兩兩垂直的直線建立空間直角坐標(biāo)系；(2)確定異面直線上兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而確定異面直線的方向向量；(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值；(4)兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角余弦值的絕對值【一隅三反】1（2020河南高二）已知在正方體中，P為線段上的動點(diǎn)，則直線與直線所成角余弦值的范圍是（ ）ABCD2.三棱柱ABCA1B1C1中，A

2、BC為等邊三角形，AA1平面ABC，AA1AB，N，M分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，則AM與BN所成角的余弦值為()A.eq f(1,10) B.eq f(3,5) C.eq f(7,10) D.eq f(4,5)3已知四棱錐SABCD的底面是正方形且側(cè)棱長與底面邊長都相等，E是SB的中點(diǎn)，則AE，SD所成的角的余弦值為()Aeq f(1,3) Beq f(r(2),3)Ceq f(r(3),3)Deq f(2,3)考點(diǎn)二 空間向量求線面角【例2】（2020全國高二）如圖所示，是四棱錐的高，四邊形為正方形，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，.（1）求證：；（2）若點(diǎn)是線段上靠近的四等分點(diǎn)，求直線與平面所成角的

3、正弦值.若直線l與平面的夾角為，直線l的方向向量l與平面的法向量n的夾角為，則eq f(,2)或eq f(,2)，故有sin |cos |eq f(|ln|,|l|n|).【一隅三反】1（2020浙江高三開學(xué)考試）如圖，四棱錐中， （1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值2（2020天津河西.高三二模）在正四棱柱中，為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）若為上的動點(diǎn)，使直線與平面所成角的正弦值是，求的長.3（2020江蘇）如圖，在三棱錐P-ABC中，ACBC，且，AC=BC=2，D，E分別為AB，PB中點(diǎn)，PD平面ABC，PD=3.(1)求直線CE與直線PA夾角的余弦值；(

4、2)求直線PC與平面DEC夾角的正弦值.考點(diǎn)三 空間向量求二面角【例3】（2020河南高三其他（理）如圖，在三棱錐中，（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值利用向量法求二面角的大小的關(guān)鍵是確定平面的法向量，求法向量的方法主要有兩種：求平面的垂線的方向向量；利用法向量與平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量的數(shù)量積為零，列方程組求解【一隅三反】1（2020全國）如圖，圓的直徑，為圓周上不與點(diǎn)、重合的點(diǎn)，垂直于圓所在平面，.（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值.2（2020全國）如圖，已知四棱錐中，是平行四邊形，平面平面，分別是，的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若，求二面角的余弦值.3（2020全國）如圖，在

5、四棱錐中，底面，是直角梯形，是的中點(diǎn).（1）求證：平面平面；（2）若二面角的余弦值為，求直線與平面所成角的正弦值.考點(diǎn)四 空間向量求距離【例4】（2020全國高二課時(shí)練習(xí)）如圖，棱長為1的正方體，是底面的中心，則到平面的距離是（ ） ABCD求點(diǎn)到平面的距離的步驟可簡化為：求平面的法向量；求斜線段對應(yīng)的向量在法向量上的投影的絕對值，即為點(diǎn)到平面的距離空間中其他距離問題一般都可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離求解【一隅三反】1（2019湖南高二期末）已知平面的一個(gè)法向量為，點(diǎn)在平面內(nèi)，則點(diǎn)到平面的距離為（ ）ABC1D2（2020黑龍江道里 哈爾濱三中高三二模（理）已知四面體中，兩兩垂直，與平面所成角的正切值為，則點(diǎn)到平面