2021-2022學(xué)年湖南省衡陽(yáng)市衡南縣高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（A卷）【含答案】

1、2021-2022學(xué)年湖南省衡陽(yáng)市衡南縣高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（A卷）一、單選題1已知集合，則下列判斷正確的是（）ABCDD【分析】用列舉法寫(xiě)出集合，再根據(jù)集合間的關(guān)系與集合的交集運(yùn)算求解即可【詳解】解：，故選：D2從裝有2個(gè)紅球，3個(gè)白球的不透明袋子中任取3個(gè)球，若事件“所取的3個(gè)球中至少有1個(gè)紅球”，則事件的對(duì)立事件是（）A1個(gè)白球2個(gè)紅球B3個(gè)都是白球C2個(gè)白球1個(gè)紅球D至少有一個(gè)紅球B【分析】至少有一個(gè)的反面是至多有0個(gè)，即全不是，由此可得對(duì)立事件【詳解】3個(gè)球中至少有1個(gè)紅球的對(duì)立事件是3個(gè)球中至多有0個(gè)紅球，即沒(méi)有紅球或全是白球故選：B3若，和的夾角為，則在的方向上的投影向量的模長(zhǎng)

2、為（）ABC2D4C【分析】利用在的方向上的投影即可求得在的方向上的投影向量的模長(zhǎng)【詳解】，和的夾角為，則在的方向上的投影向量的模長(zhǎng)為故選：C4在中，“A=B”是“sin2A=sin2B”的（）A必要不充分條件B充分不必要條件C充要條件D既不充分也不必要條件B【分析】根據(jù)充分必要條件的定義判斷【詳解】時(shí)，充分性滿足，當(dāng)時(shí)，不必要所以應(yīng)為充分不必要條件故選：B5為了得到函數(shù)的圖象，只需把余弦曲線上所有的點(diǎn)（）A橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的5倍，縱坐標(biāo)不變B橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變C縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的5倍，橫坐標(biāo)不變D縱坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，橫坐標(biāo)不變A【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象變換規(guī)律，橫坐標(biāo)伸縮變換，可得

3、結(jié)論【詳解】將函數(shù)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的5倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象故選：6設(shè)，為兩條不同的直線，為兩個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論正確的是（）A若，則B若，則C若，則D若，則D【分析】根據(jù)線面平行的判定定理和性質(zhì)，結(jié)合面面平行、垂直的判定定理逐一判斷即可【詳解】解：對(duì)于A：若，則或，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：若，則或，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：若，則或或與相交（不垂直），故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：由線面垂直的性質(zhì)定理可知，若，則，故D正確；故選：D7某學(xué)校開(kāi)展“學(xué)黨史，頌黨恩，跟黨走”學(xué)習(xí)活動(dòng)，劉老師去購(gòu)書(shū)中心購(gòu)買了一批書(shū)籍作為閱讀學(xué)習(xí)之用，其中一類是4本不同的紅色經(jīng)典小說(shuō)類書(shū)籍，另一類是2本不同的黨史類書(shū)籍

4、，兩類書(shū)籍合計(jì)共6本.現(xiàn)劉老師從這6本書(shū)中隨機(jī)抽取2本閱讀，則這兩本書(shū)恰好來(lái)自同一類書(shū)籍的概率是（）ABCDC【分析】先求出從6本書(shū)中隨機(jī)抽取2本的總?cè)》ǎ偾蟪鰞杀緯?shū)來(lái)自同一類書(shū)籍的取法，再根據(jù)古典概型公式即可求出答案.【詳解】解：從6本書(shū)中隨機(jī)抽取2本，共有種取法，若兩本書(shū)來(lái)自同一類書(shū)籍則有種取法，所以兩本書(shū)恰好來(lái)自同一類書(shū)籍的概率是.故選：C.8在中，AD，BC的交點(diǎn)為M，過(guò)M作動(dòng)直線l分別交線段AC，BD于E，F(xiàn)兩點(diǎn).若，()，則的最小值為（）ABCDD【分析】利用平面向量共線定理的推論得到的關(guān)系，進(jìn)而利用均值定理即可求得的最小值【詳解】由三點(diǎn)共線，可得存在實(shí)數(shù)t，使又由三點(diǎn)共線，可得

5、存在實(shí)數(shù)m，使得則，解之得，則又，()，則，由三點(diǎn)共線，可得則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）則的最小值為故選：D二、多選題9下列命題為真命題的是（）A復(fù)數(shù)的虛部為B在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限C若i為虛數(shù)單位，n為正整數(shù)，則D復(fù)數(shù)z是方程的一個(gè)根，則ACD【分析】求得復(fù)數(shù)的虛部判斷選項(xiàng)A；求得復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在象限判斷選項(xiàng)B；求得的值判斷選項(xiàng)C；求得復(fù)數(shù)z的模的值判斷選項(xiàng)D.【詳解】選項(xiàng)A：復(fù)數(shù)的虛部為.判斷正確；選項(xiàng)B：在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第二象限.判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)C.判斷正確；選項(xiàng)D：復(fù)數(shù)z是方程的一個(gè)根，則，或，則.判斷正確.故選：ACD10

6、已知，給出下列不等式正確的是（）ABCDBD【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合作差法和特殊值依次判斷，即可求解【詳解】解：對(duì)于A：，因?yàn)?，所以，所以，即，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B：，因?yàn)?，所以，所以，即，故B正確，對(duì)于C：當(dāng)，時(shí)，所以，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D：，因?yàn)?，所以，所以，即，故D正確，故選：BD11已知函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（）A的最大值為1B2是的周期C關(guān)于，對(duì)稱D在上單調(diào)遞增ABD【分析】求得的最大值判斷選項(xiàng)A；依據(jù)周期定義判斷選項(xiàng)B；舉反例否定選項(xiàng)C；依據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判定規(guī)則判斷選項(xiàng)D.【詳解】定義域?yàn)椋x項(xiàng)A：的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，則在，時(shí)取得最大值.判斷正確；選項(xiàng)B：由可得2是的周期

7、.判斷正確；選項(xiàng)C：由定義域?yàn)榭傻命c(diǎn)在圖象上，但關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)不在圖象上，則不關(guān)于，對(duì)稱.判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，且，則單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.判斷正確.故選：ABD12如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為菱形，DAB=60，AB=2，PB=，側(cè)面PAD為正三角形，則下列說(shuō)法正確的是（）A平面PAD平面ABCDB異面直線AD與PB所成的角為60C二面角PBCA的大小為45D三棱錐PABD外接球的表面積為ACD【分析】取中點(diǎn)，連接，可得是二面角的平面角，再求得此角為直角，得直二面角，從而得面面垂直，判斷A，說(shuō)明是異面直線AD與PB所成的角或其補(bǔ)角，求出此角后判斷B，證明是二面角

8、的平面角，并求得此角判斷C，設(shè)分別是和的中心，如圖，作，與交于點(diǎn)，得是三棱錐外接球的外心，求出球半徑后得球表面積判斷D【詳解】取中點(diǎn)，連接，和都是等邊三角形，則，是二面角的平面角，又，所以，即，所以二面角是直二面角，所以平面PAD平面ABCD，A正確；，所以是異面直線AD與PB所成的角或其補(bǔ)角，由此可得平面，而平面，所以，所以，B錯(cuò)；由知，所以是二面角的平面角，在中，可得，C正確；以上證明有平面，同理平面，設(shè)分別是和的中心，如圖，作，與交于點(diǎn)，則平面，平面，所以是三棱錐外接球的外心，由于，是正方形，而，所以即為外接球半徑，三棱錐PABD外接球的表面積為D正確故選：ACD三、填空題13有10種不

9、同的零食，每100克可食部分包含的能量(單位：J)如下：100，120，125，165，430，186，175，234，425，310.這10種零食每100克可食部分的能量的第60百分位數(shù)為_(kāi).210【分析】10個(gè)數(shù)從小到大順序排列，計(jì)算出，求出第6個(gè)和第7個(gè)數(shù)的平均值即得【詳解】10個(gè)數(shù)據(jù)從小到大順序排列為：，而第6個(gè)數(shù)據(jù)為186，第7個(gè)數(shù)據(jù)為234，所以第60百分位數(shù)為210故21014已知向量=(1，0)，=(2，2)，=(1，)，若，則=_.0.5【分析】由向量平行的坐標(biāo)表示計(jì)算【詳解】由已知，因?yàn)?，所以，?5已知點(diǎn)P到平面的距離為2，過(guò)點(diǎn)P的動(dòng)直線l與所成夾角為60，則l與交點(diǎn)的軌

10、跡長(zhǎng)度為_(kāi).【分析】先確定交點(diǎn)的軌跡為圓，由已知計(jì)算圓的半徑，算出圓周長(zhǎng)即為軌跡長(zhǎng)度.【詳解】由題知：則l與交點(diǎn)的軌跡為圓，圓的半徑為 則l與交點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為.故 .16已知函數(shù)定義城為，恒有，時(shí)；若函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)，則t的取值范圍為_(kāi).【分析】先化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，再利用兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)去判斷函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)時(shí)t的取值范圍.【詳解】設(shè)，則，則設(shè)，則則則，則函數(shù)圖象如下：由，可得，或由，可得，或，或則僅有一根，又，則，解之得故四、解答題17如圖，在中，與相交于點(diǎn)，設(shè)，.(1)用向量，表示，；(2)求.(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)平面向量線性運(yùn)算法則計(jì)算可得；（2）根據(jù)數(shù)量積的定義求出，再根據(jù)數(shù)量

11、積的運(yùn)算律求出，即可得解.【詳解】(1)解：依題意，.(2)解：因?yàn)椋运约矗?18如圖：正方體ABCDA1B1C1D1棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)分別為DD1，BB1的中點(diǎn).(1)求證：CF/平面A1EC1；(2)過(guò)點(diǎn)D做正方體截面使其與平面A1EC1平行，請(qǐng)給以證明并求出該截面的面積.(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析， 【分析】（1）利用線面平行判定定理去證明CF/平面A1EC1；（2）先利用面面平行判定定理作出截面，再去求其面積即可.【詳解】(1)取中點(diǎn)M，連接由，可得四邊形為平行四邊形，則由，可得四邊形為平行四邊形，則則，又平面，平面，則平面；(2)取AA1，CC1中點(diǎn)G，H，連接DG，C

12、B1，B1H，HD，因?yàn)樗倪呅蜛DHF為平行四邊形，所以AF/DH因?yàn)樗倪呅蜛FB1G為平行四邊形，所以GB1/AF，所以GB1 /DH所以GDHB1即為過(guò)點(diǎn)D長(zhǎng)方體截面，DG/A1E，平面AEC1，平面AEC1，DG/平面AEC1DH/ C1E，平面AEC1，平面AEC1，DH/平面AEC1又，平面DHB1G/平面AEC1.19在中，a、b、c分別是角A、B、C所對(duì)的邊，已知在，且.(1)求角A大小；(2)若面積為，求的長(zhǎng).(1)(2)【分析】（1）利用向量垂直充要條件及兩角和的正弦公式即可求得的值，進(jìn)而求得角A大??；（2）先利用題給條件求得的值，再利用向量的數(shù)量積求得，進(jìn)而得到的長(zhǎng)【詳解】

13、(1)，且，則，則，則又， ，又，.(2)由，可得又由，可得聯(lián)立，解之得或又，則因?yàn)?，所以所以所以，?0某公司為了了解顧客對(duì)其旗下產(chǎn)品的滿意程度，隨機(jī)抽取n名顧客進(jìn)行滿意度問(wèn)卷調(diào)查，按所得評(píng)分(滿分100分)從低到高將滿意度分為四個(gè)等級(jí)：調(diào)查評(píng)分40，50)50，60)60，70)70，80)80，90)90，100滿意度等級(jí)不滿意一般良好滿意并繪制如圖所示的頻率分布直方圖.已知調(diào)查評(píng)分在70，80)的顧客為40人.(1)求n的值及頻率分布直方圖中t的值；(2)據(jù)以往數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，調(diào)查評(píng)分在60，70)的顧客購(gòu)買該公司新品的概率為，調(diào)查評(píng)分在(70，80)的顧客購(gòu)買該公司新品的概率為，若每個(gè)顧客

14、是否購(gòu)買該公司新品相互獨(dú)立，在抽取的滿意度等級(jí)為“一般”的顧客中，按照調(diào)查評(píng)分分層抽取3人，試問(wèn)在抽取的3人中，至少有一人購(gòu)買該公司新品的概率為多少?(3)該公司設(shè)定的預(yù)案是：以抽取的樣本作為參考，若顧客滿意度評(píng)分的均值低于80分，則需要對(duì)該公司旗下產(chǎn)品進(jìn)行調(diào)整，否則不需要調(diào)整、根據(jù)你所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)，判斷該公司是否雷要對(duì)旗下產(chǎn)品進(jìn)行調(diào)整，并說(shuō)明理由.(每組數(shù)據(jù)以區(qū)間的中點(diǎn)值代替)(1)n=200，t=0.004(2)(3)不需要對(duì)該公司旗下產(chǎn)品進(jìn)行調(diào)整，理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖各矩形的面積之和為1求得t，再根據(jù)調(diào)查評(píng)分在70，80)的顧客為40人，且評(píng)分在70，80)的頻率為

15、0.0210=0.2求n；（2）由分層抽取3人，得到評(píng)分在60，70)的人數(shù)為1，評(píng)分在70，80)的人數(shù)為2，再利用獨(dú)立事件的概率求解；（3）根據(jù)頻率分布直方圖求得，顧客滿意度評(píng)分的均值即可.【詳解】(1)0.2n=40，10t+0.06+0.1+0.2+0.24+90t=1所以n=200，t=0.004；(2)調(diào)查評(píng)分在60，70)的人數(shù)與評(píng)分在70，80)的人數(shù)之比為1：2，因?yàn)榘凑照{(diào)查評(píng)分分層抽取3人，所以評(píng)分在60，70)的人數(shù)為1，評(píng)分在70，80)的人數(shù)為2，沒(méi)有一人購(gòu)買該公司新品的概率為：，故在抽取的3人中，至少有一人購(gòu)買該公司新品的概率為；(3)由頻率分布直方圖得，顧客滿意度

16、評(píng)分的均值為：450.04+550.06+650.1+750.2+8590.04+950.24=80，由題意知不需要對(duì)該公司旗下產(chǎn)品進(jìn)行調(diào)整.21在四棱維P-ABCD中，點(diǎn)E為PA中點(diǎn)，BEPD，PA=PB=PD，AB=AD=CD=2，DAB=60.(1)求證：PDAB；(2)求BE與平面ABCD所成角的正弦值；(3)若CD/AB，求四棱錐P-ABCD的體積.(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)【分析】（1）先利用線面垂直判定定理證明AB面PFD，進(jìn)而即可證明PDAB；（2）先求得E點(diǎn)到底面ABCD的距離，進(jìn)而求得BE與平面ABCD所成角的正弦值；（3）利用錐體體積公式即可求得四棱錐P-ABCD的體積.【詳解】(1)取AB中點(diǎn)F，連接FD，F(xiàn)P因?yàn)镻A=PB，所以ABPF，因?yàn)锳B=AD，DAB=60，所以AB=AD=BD，所以ABFD又因?yàn)?，所以AB面PFD，又因?yàn)槊鍼FD，所以ABPD；(2)因?yàn)锽EPD，ABPD，所以PD面PAB，因?yàn)槊鍼AB，面PAB，所以PDPB，PDPA，又AB=AD=BD=2，PD=PB=PA所以PD=PB=PA=，所以，設(shè)BE與平面ABCD所成角為，則；(3)22在中，若點(diǎn)分別為上的點(diǎn)，且為等邊三角形.(1)若點(diǎn)為線段中點(diǎn)，求的邊長(zhǎng)；(2)若點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，求面積的取值范圍.(提示：)(1)(2)