高中數(shù)學(xué)選修第一冊：選擇性必修第一冊第二章 2.4.2 圓的一般方程

1、24.2圓的一般方程學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握圓的一般方程及其特點(diǎn).2.會將圓的一般方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并能熟練地指出圓心的坐標(biāo)和半徑的大小.3.能根據(jù)某些具體條件，運(yùn)用待定系數(shù)法確定圓的方程知識點(diǎn)圓的一般方程1圓的一般方程當(dāng)D2E24F0時(shí)，二元二次方程x2y2DxEyF0稱為圓的一般方程2方程x2y2DxEyF0表示的圖形條件圖形D2E24F0表示以eq blc(rc)(avs4alco1(f(D,2)，f(E,2)為圓心，以eq f(r(D2E24F),2)為半徑的圓1方程x2y2x10表示一個(gè)圓()2二元二次方程x2y2DxEyF0一定是某個(gè)圓的方程()3若方程x2y22xEy10表示圓，則E

2、0.()4任何一個(gè)圓的方程都能寫成一個(gè)二元二次方程()一、圓的一般方程的辨析例1若方程x2y22mx2ym25m0表示圓(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)寫出圓心坐標(biāo)和半徑解(1)由表示圓的條件，得(2m)2(2)24(m25m)0，解得m0成立，則表示圓，否則不表示圓(2)將方程配方后，根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征求解跟蹤訓(xùn)練1(1)圓x2y24x2y40的半徑和圓心坐標(biāo)分別為()Ar1，(2,1) Br2，(2,1)Cr2，(2，1) Dr1，(2，1)答案D解析x2y24x2y40可化為(x2)2(y1)21，所以半徑和圓心分別為r1，(2，1)(2)若方程x2y2xym0表示圓，則實(shí)數(shù)m的取值

3、范圍是()Ameq f(1,2)Cm0，所以m0，即k1時(shí)才能表示圓5若點(diǎn)M(3,0)是圓x2y28x4y100內(nèi)一點(diǎn)，則過點(diǎn)M(3,0)的最長的弦所在的直線方程是_答案2xy60解析圓x2y28x4y100的圓心坐標(biāo)為(4,2)，則過點(diǎn)M(3,0)且過圓心(4,2)的弦最長由keq f(20,43)2，得直線方程為y2(x3)，即2xy60.1知識清單：(1)圓的一般方程(2)求動點(diǎn)的軌跡方程2方法歸納：待定系數(shù)法、幾何法、定義法、代入法3常見誤區(qū)：忽視圓的一般方程表示圓的條件1已知圓C：x2y22x2y0，則點(diǎn)P(3,1)在()A圓內(nèi) B圓上C圓外 D無法確定答案C2圓的方程為(x1)(x

4、2)(y2)(y4)0，則圓心坐標(biāo)為()A(1，1) B.eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，1) C(1,2) D.eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，1)答案D解析將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得eq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,2)2(y1)2eq f(45,4)，所以圓心為eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，1).3方程x2y24x2y5m0表示圓的條件是()Am1Cmeq f(1,4) D.eq f(1,4)m0，解得m0)關(guān)于直線yx對稱，則有()ADE0 BDECDF DEF答案B解析由圓的對稱性知，圓心在直

5、線yx上，故有eq f(E,2)eq f(D,2)，即DE.6如果x2y22xyk0是圓的方程，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_答案eq blc(rc)(avs4alco1(，f(5,4)解析由(2)2124k0得keq f(5,4).7若點(diǎn)(a1，a1)在圓x2y22ay40的內(nèi)部(不包括邊界)，則a的取值范圍是_答案(，1)解析點(diǎn)(a1，a1)在圓x2y22ay40的內(nèi)部且不包括邊界，則(a1)2(a1)22a(a1)40，解得a1.8已知直線與圓x2y22x4ya0(a0)的圓，則該圓的圓心在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案D解析因?yàn)榉匠蘹2y2ax2ay2a23a0表示的圖形

6、是圓，又方程可化為eq blc(rc)(avs4alco1(xf(a,2)2(ya)2eq f(3,4)a23a，故圓心坐標(biāo)為eq blc(rc)(avs4alco1(f(a,2)，a)，r2eq f(3,4)a23a.又r20，即eq f(3,4)a23a0，解得4a0，故該圓的圓心在第四象限12當(dāng)點(diǎn)P在圓x2y21上變動時(shí)，它與定點(diǎn)Q(3,0)的連線PQ的中點(diǎn)的軌跡方程是()A(x3)2y24 B(x3)2y21C(2x3)24y21 D(2x3)24y21答案C解析設(shè)P(x1，y1)，PQ的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，Q(3,0)，eq blcrc (avs4alco1(xf(x13,2)

7、，,yf(y10,2)，)x12x3，y12y.又點(diǎn)P在圓x2y21上，(2x3)24y21，故選C.13已知圓x2y24x6ya0關(guān)于直線yxb成軸對稱圖形，則ab的取值范圍是_答案(，8)解析由題意知，直線yxb過圓心，而圓心坐標(biāo)為(2,3)，代入直線方程，得b5，所以圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x2)2(y3)213a，所以a13，由此得ab8.14如果圓的方程為x2y2kx2yk20，那么當(dāng)圓的面積最大時(shí)，圓心坐標(biāo)為_答案(0，1)解析req f(1,2)eq r(k244k2)eq f(1,2)eq r(43k2)，當(dāng)k0時(shí)，r最大，此時(shí)圓的面積最大，圓的方程可化為x2y22y0，即x2

8、(y1)21，圓心坐標(biāo)為(0，1)15已知定點(diǎn)P1(1,0)，P2(1,0)，動點(diǎn)M滿足|MP1|eq r(2)|MP2|，則構(gòu)成MP1P2面積的最大值是()A.eq r(2) B2eq r(2) C.eq f(2r(3),3) D2eq r(3)答案B解析設(shè)M(x，y)，由|MP1|eq r(2)|MP2|，可得eq r(x12y2)eq r(2)eq r(x12y2)，化簡得(x3)2y28，即M在以(3,0)為圓心，2eq r(2)為半徑的圓上運(yùn)動，又eq f(1,2)|P1P2|yM|yM|2eq r(2).故選B.16設(shè)定點(diǎn)M(3,4)，動點(diǎn)N在圓x2y24上運(yùn)動，以O(shè)M，ON為兩邊作平行四邊形MONP，求點(diǎn)P的軌跡解如圖所示，設(shè)P(x，y)，N(x0，y0)，則線段OP的中點(diǎn)坐標(biāo)為eq blc(rc)(avs4alco1(f(x,2)，f(y,2)，線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為eq blc(rc)(avs4alco1(f(x03,2)，f(y04,2).由于平行四邊形的對角線互相平分，故eq f(x,2)eq f(x03,2)，eq f(y,2)eq f(y04,2)，從而eq blcrc (avs4alco1(x0 x3，,y0y4.)又點(diǎn)N(x3，y4)在圓上，故(x3)2(y4)24.當(dāng)點(diǎn)P在直線OM上時(shí)，有xeq f(9,