數(shù)學(xué)課件第三章不定積分

1、不定積分與基本積分表2012年12月航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系1一、原函數(shù)與不定積分的概念定義： 如果在區(qū)間I 內(nèi)，可導(dǎo)函數(shù)F ( x)的導(dǎo)函數(shù)為 f ( x)，即x I ，都有F ( x) f ( x)或dF ( x) f ( x)dx，那么函數(shù)F ( x)就稱(chēng)為 f ( x)或 f ( x)dx 在區(qū)間I 內(nèi)原函數(shù).sin x cos xlnsin x 是cos x 的原函數(shù).0)例ln x是1 在區(qū)間(0,)內(nèi)的原函數(shù).x2012年12月航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系2原函數(shù)存在定理：如果函數(shù) f ( x)在區(qū)間I 內(nèi)連續(xù)，那么在區(qū)間I 內(nèi)存在可導(dǎo)函數(shù)F (x)，使x I ，都有F (

2、x) f ( x).簡(jiǎn)言之：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).問(wèn)題：(1) 原函數(shù)是否唯一？(2) 若不唯一它們之間聯(lián)系？sin x cos xsin x C cos x（C為任意常數(shù)）例2012年12月航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系3關(guān)于原函數(shù)的說(shuō)明：（1）若F ( x) f ( x) ，則對(duì)于任意常數(shù) C ，F(xiàn) ( x) C 都是 f ( x)的原函數(shù).f ( x) 的原函數(shù)，（2）若F ( x)和G( x) 都是F ( x) G( x) C（C為任意常數(shù)）則F ( x) G( x) F ( x) G( x)證f ( x) f ( x) 0F ( x) G( x) C（C為任意常數(shù)）2012年12月航空

3、航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系4不定積分的定義：在區(qū)間I 內(nèi)，函數(shù) f (x)的帶有任意常數(shù)項(xiàng)的原函數(shù) 稱(chēng)為 f ( x)在區(qū)間I 內(nèi)的不定積分，記為 f ( x)dx . f ( x)dx F ( x) 被積表達(dá)式被積函數(shù)任意常數(shù)積分號(hào)積分變量2012年12月航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系5C例1求 x5dx. x6x6 x dx 6 x ,5C .5解61求 dx.例21 x2arctan x 1,解1 x21 1 x2dx arctan x C .2012年12月航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系6例3設(shè)曲線通過(guò)點(diǎn)（1，2），且其上任一點(diǎn)處的切線斜率等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍，求此曲線方程.設(shè)曲線方程為 y

4、 f ( x),解dy 2x,根據(jù)題意知dx即 f ( x)是2 x 的一個(gè)原函數(shù). 2 xdx x2 C , f ( x) x2C ,由曲線通過(guò)點(diǎn)（1，2） C 1,所求曲線方程為 y x2 1.2012年12月航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系71 x x2求積分 x(1 x2 )dx.例422 1 x解111dx 1 1 x2 xdx arctan x ln x C .2012年12月航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系81 2 x2求積分 x2 (1 x )dx.例52222 1解 1 dx 11 x2dxx2 1 arctan x C .x2012年12月航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系91例6求積分

5、 dx.1 cos 2 x111 2cos2 x 1dx dx解1 cos 2 x 1 1dx 1 tan x C .2cos2 x2說(shuō)明： 以上幾例中的被積函數(shù)都需要進(jìn)行恒等變形，才能使用基本積分表.2012年12月航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系10已知一曲線 y f ( x)在點(diǎn)( x, f ( x)處的例 7切線斜率為sec2 x sin x ，且此曲線與 y 軸的交點(diǎn)為(0,5)，求此曲線的方程.dy sec2 x sin x,解dxy sec2 x sin xdx tan x cos x C ,C 6,y(0) 5,所求曲線方程為 y tan x cos x 6.2012年12月航空航

6、天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系11二、基本積分表 x 1x1 x xdx C .實(shí)例 1 1( 1)能否根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式？啟示既然積分運(yùn)算和微分運(yùn)算是互逆的，因此可以根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式.結(jié)論2012年12月航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系12 kdx kx C(1)(2)(k是常數(shù));x1 x dx 1 C( 1); dx ln x C;(3)x說(shuō)明：dx ln x C ,x 0,x1x 0, ln( x) , dx ln( x) C , dx ln | x | C ,x簡(jiǎn)寫(xiě)為 xdx ln x C .x2012年12月航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系13基本積分表1dx arctan x C;

7、(4)1 x21dx arcsin x C;(5)1 x2 cos xdx sin x C; sin xdx cos x C;(6)(7)(8)dx sec2 xdx tan x C;cos2dxxxdx cot x C;csc2(9)sin2x2012年12月航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系14 sec x tan xdx sec x C; csc x cot xdx csc x C; e xdx e x C;(10)(11)(12)a x adx C; ln ax(13) sinh xdx cosh x C; cosh xdx sinh x C;(14)(15)2012年12月航空航天大學(xué) 理

8、學(xué)院 數(shù)學(xué)系15求積分 x2xdx.例85xdx x 2dx x2解x 1根據(jù)積分公式（2） xdx 1 C51x 27x 2 2C .C527 12012年12月航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系16思考題x 01,f ( x) sgn x 0,x 0符號(hào)函數(shù) 1, x 0在 (, ) 內(nèi)是否存在原函數(shù)？為什么？2012年12月航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系17思考題解答不存在.假設(shè)有原函數(shù)F ( x) x C ,x 0F ( x) C ,x 0 x C , x 0故假設(shè)錯(cuò)誤但F ( x )在x 0處不可微，f ( x)在 (, ) 內(nèi)不存在原函數(shù).所以每一個(gè)含有第一類(lèi)間斷點(diǎn)的函數(shù)都沒(méi)有原函數(shù).20

9、12年12月航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系18結(jié)論練習(xí)題一、填空題：1、一個(gè)已知的函數(shù)，有個(gè)原函數(shù)，其中任意兩個(gè)的差是一個(gè)；2、 f ( x)的稱(chēng)為 f ( x) 的不定積分；3、把 f ( x) 的一個(gè)原函數(shù)F ( x) 的圖形叫做函數(shù) f ( x)的，它的方程是 y F (x ) ，這樣不定積f ( x)dx 在幾何上就表示，它的方程是y F ( x) C ；4、由 F ( x) f ( x)可知，在積分曲線族 F (x) (CC是任意常數(shù) ) 上橫坐標(biāo)相同的點(diǎn)y處作切線，這些切線彼此是的；5、若 f ( x)在某區(qū)間上，則在該區(qū)間上 f (x) 的原函數(shù)一定存在；2012年12月航空航天大

10、學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系196、 xxdx ；dx7、 ；x 2x8、( x 2 3 x 2)dx ；9、(x 1)( 1)dx ；x 3(1 x)2dx = .10、x二、求下列不定積分：2 3 x 5 2 x2x1、 1 2、dxdx2x3 x2012年12月航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系20cocos 2 x dx4、3、cos221 )5、 (1 xxxdxx 2sin 2x 26、2secxdx 1x 2三、一曲線通過(guò)點(diǎn)( e 2 , 3 )，且在任一點(diǎn)處的切線的斜率等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)的倒數(shù)，求該曲線的方程 .e xcosh x sinh x12四、證明函數(shù)ecosh x都是2的原函數(shù) .2012年12月航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系21練習(xí)題一、1、無(wú)窮多, 常數(shù)；2、全體原函數(shù)；3、積分曲線, 積分曲線族； 4、平行；5、連續(xù)；5x 2 3222C ； 7、 x C ；6、53 2 x C ；3x 33225x 258、3x 3C 、9、3352C .10、22012年12月航空航天