5.1.2 導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義 課件-山東省滕州市第一中學(xué)高中數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第二冊(cè)

1、5.1.2導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義 OABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=xf(x2)-f(x1)=y新知引入定義:函數(shù) y = f (x) 在 x = x0 處的瞬時(shí)變化率是稱為函數(shù) y = f (x) 在 x = x0 處的導(dǎo)數(shù), 記作或 , 即學(xué)習(xí)新知由導(dǎo)數(shù)的定義可知, 求函數(shù) y = f (x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)的一般方法:求函數(shù)的增量2. 求平均變化率3. 取極限得導(dǎo)數(shù)值一差、二比、三極限學(xué)習(xí)新知練習(xí)：(1)求函數(shù)f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均變化率，并求出在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù) (2)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律為s=t2+3，求質(zhì)點(diǎn)在t=3的瞬時(shí)速度.36典型例題分析：先

2、求f=y=f(1x)-f(1) =6x+(x)2典型例題典型例題例3一輛汽車在公路上沿直線變速行駛，假設(shè)ts時(shí)汽車的速度(單位:m/s)為y=v(t)=-t2+6t+60,求汽車在第2s與第6s時(shí)的瞬時(shí)加速度，并說明它們的意義.分析：瞬時(shí)加速度是速度關(guān)于時(shí)間的瞬時(shí)變化率，因此，在第2s與第6s時(shí)，汽車的瞬時(shí)加速度分別為v(2),v(6).在第2s與第6s時(shí)，汽車的瞬時(shí)加速度分別是2m/s2與-6m/s2.說明在第2s附近，汽車的速度每秒大約增加2m/s; 在第6s附近，汽車的速度每秒大約減少6m/s.平均變化率 表示割線P0P的斜率學(xué)習(xí)新知P0Poxyy=f(x)割線切線T導(dǎo)數(shù)的幾何意義: 在

3、曲線y=f(x)上任取一點(diǎn)P(x, f(x),如果當(dāng)點(diǎn)P(x,f(x)沿著曲線y=f(x)無限趨近于點(diǎn)P0,即x0時(shí),割線P0P無限趨近于一個(gè)確定的位置，這個(gè)確定位置的直線P0T稱為曲線y=f(x)在點(diǎn)P0處的切線. (tangent line).學(xué)習(xí)新知即:這個(gè)幾何意義: 提供了求曲線上某點(diǎn)切線的斜率的一種方法; 切線斜率的本質(zhì)函數(shù)在x=x0處的導(dǎo)數(shù). 要注意,曲線在某點(diǎn)處的切線:1)與該點(diǎn)的位置有關(guān);2)要根據(jù)割線是否有極限位置來判斷與求解.如有極限,則在此點(diǎn)有切線,且切線是唯一的;如不存在,則在此點(diǎn)處無切線;3)曲線的切線,并不一定與曲線只有一個(gè)交點(diǎn),可以有多個(gè),甚至可以無窮多個(gè).P0P

4、oxyy=f(x)割線切線T這就是導(dǎo)數(shù)的幾何意義學(xué)習(xí)新知解：我們用曲線h(t)在t=t0, t1,t2處的切線斜率，刻畫曲線h(t)在上述三個(gè)時(shí)刻附近的變化情況.(1)當(dāng)t=t0時(shí)，曲線h(t)在t=t0處的切線l0平行于t軸，h(t0)=0.這時(shí),在t=t0附近曲線比較平坦，幾乎沒有升降.(2)當(dāng)t=t1時(shí)，曲線h(t)在t=t1處的切線l1的斜率h(t1)0.這時(shí)，在t=t1附近曲線下降，即函數(shù)h(t)在t=t1附近單調(diào)遞減.(3)當(dāng)t=t2時(shí)，曲線h(t)在t=t2處的切線l2的斜率h(t2)0.這時(shí)，在t=t2附近曲線下降，即函數(shù)h(t)在t=t2附近也單調(diào)遞減.從圖可以看出，直線l1

5、的傾斜程度小于直線l2的傾斜程度，這說明曲線h(t)在t=t1附近比在t=t2附近下降得緩慢.典型例題由函數(shù)f(x)在x=x0處求導(dǎo)數(shù)的過程可以看到,當(dāng)x=x0時(shí),f (x0) 是一個(gè)確定的數(shù).那么,當(dāng)x變化時(shí), f (x)便是x的一個(gè)函數(shù),我們叫它為f(x)的導(dǎo)函數(shù)(derived function)(簡稱導(dǎo)數(shù)), y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)有時(shí)也記作y即:學(xué)習(xí)新知例6:求曲線y=f(x)=x2+1在點(diǎn)P(1,2)處的切線方程.QPy=x2+1xy-111OjMDyDx因此,切線方程為y-2=2(x-1),即y=2x.求曲線在某點(diǎn)處的切線方程的基本步驟:求出P點(diǎn)的坐標(biāo);利用切線斜率的定義求出切線的

6、斜率;利用點(diǎn)斜式求切線方程.典型例題練習(xí):如圖已知曲線 ,求:(1)點(diǎn)P處的切線的斜率; (2)點(diǎn)P處的切線方程. yx-2-112-2-11234OP即點(diǎn)P處的切線的斜率等于4. (2)在點(diǎn)P處的切線方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.鞏固練習(xí)例7:在曲線yx2上求分別滿足下列條件的切線方程：(1)平行于直線y4x5；(2)垂直于直線2x6y50；(3)傾斜角為135.分析:解此類題的步驟為：先設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)(x0，y0)；求導(dǎo)函數(shù)f (x)；求切線的斜率f (x0)；由斜率間的關(guān)系列出關(guān)于x0的方程,解方程求x0;由于點(diǎn)(x0，y0)在曲線yf(x)上，將x0代入求y0，得切點(diǎn)坐標(biāo)典型例題例7:在曲線yx2上求分別滿足下列條件的切線方程,(1)平行于直線y4x5；(2)垂直于直線2x6y50；(3)傾斜角為135.點(diǎn)評(píng):此類題的易錯(cuò)之處是將切點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入導(dǎo)函數(shù)來求切點(diǎn)坐標(biāo).1求物體運(yùn)動(dòng)的瞬