豎直方向的簡(jiǎn)諧振動(dòng)

1、豎直方向的簡(jiǎn)諧振動(dòng)一、模型介紹如圖1 (a)所示，把一根彈簧上端固定，下端系一個(gè)物體靜止，然后再把物體向下拉 一段距離后松手，物體將在豎直方向振動(dòng)，若不計(jì)彈簧的質(zhì)量及空氣阻力，則此物體的運(yùn)動(dòng) 是簡(jiǎn)諧振動(dòng)(同學(xué)們可結(jié)合簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特點(diǎn)F由-kx加以證明)，簡(jiǎn)諧振動(dòng)的各種規(guī) 律、特點(diǎn)對(duì)其都適用，但和教材中的彈簧振子模型相比較，豎直方向的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的平衡位置 并不是彈簧的原長(zhǎng)位置，而是彈力和振子重力相等的位置，在利用簡(jiǎn)諧振動(dòng)的對(duì)稱性解題時(shí) 應(yīng)格外注意！(a)(b)圖1(b)所示的情境中，若物體和彈簧是固定在一起的，則效果與圖1相同；若物體 和彈簧不是固定在一起的，則當(dāng)振幅A mg / k時(shí)，效果與

2、圖1相同，當(dāng)振幅A mg / k時(shí)，物體在高度較大的部分要脫離彈簧，而接觸彈簧的運(yùn)動(dòng)過程為簡(jiǎn)諧振動(dòng)的一部分，對(duì)此也應(yīng) 引起注意！熟悉豎直方向簡(jiǎn)諧振動(dòng)模型的特點(diǎn)和規(guī)律并加以靈活應(yīng)用、拓展、遷移，會(huì)給我們的解 題帶來極大的方便，下面舉例說明。二、典型例題如圖2所示，質(zhì)量為M的框架置于水平地面上，在其頂部通 過一個(gè)輕彈簧懸掛一個(gè)盤，盤內(nèi)有一砝碼，砝碼與盤質(zhì)量皆為m， 該裝置靜止穩(wěn)定時(shí)，若將盤中砝碼突然取走，盤將開始向上運(yùn)動(dòng)， 則砝碼盤運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，框架對(duì)地面壓力大小是多少？解析盤內(nèi)砝碼被取走后，盤與輕彈簧所組成的彈簧振子 將開始做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng).在取走砝碼的瞬間，盤所受合外力即回復(fù)力 方向向上，大小為m

3、g，由簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力大小和方向關(guān)于平衡 位置的對(duì)稱性可知，當(dāng)盤運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，它所受到的回復(fù)力也 應(yīng)為mg，正好等于重力，所以此時(shí)彈簧形變?yōu)榱?，無彈力，顯然 此時(shí)框架對(duì)地面壓力為Mg.點(diǎn)撥簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性不只是關(guān)于平衡位置對(duì)稱的兩點(diǎn)處的回復(fù)力，還有加速度、 位移、動(dòng)能、勢(shì)能，另外還有通過對(duì)稱的兩段長(zhǎng)度用的時(shí)間也相等.這些對(duì)稱性，在解答問 題時(shí)會(huì)用到，要熟練掌握.三、思維推展題設(shè)條件下，為了使框架不離開地面，所放砝碼的質(zhì)量應(yīng)滿足什么條件？解析設(shè)所放砝碼的質(zhì)量為m0時(shí)，盤運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)M恰要離開地面，同樣根據(jù)振 動(dòng)最高點(diǎn)和最低點(diǎn)回復(fù)力的對(duì)稱性可知，盤在最高點(diǎn)的回復(fù)力為m0g。若設(shè)此時(shí)彈簧的彈力為F

4、,則對(duì)托盤有：mg = F + mg .（1）;對(duì)框架有：F = Mg（2）；聯(lián)立（1） （2）解得：m = M + m ;為了使框架不離開地面m應(yīng)滿足：m M + m（2）如圖3（a）所示，質(zhì)量為m的木塊放在彈簧上端，在豎直方向做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，當(dāng)振 幅為A時(shí)，物體對(duì)彈簧的壓力最大值是物體重力的1.5倍，則物體對(duì)彈簧的最小壓力 是；欲使物體在振動(dòng)中不離開彈簧，其振幅不能超 。(a)（b）圖3解析根據(jù)振動(dòng)的對(duì)稱性不難得到木塊對(duì)彈簧的最小壓力是0.5 mg ；在平衡位置O 彈力F滿足：F = kx = mg （1）；振幅為A時(shí)在最低點(diǎn)的彈力F = 1.5 mg = kx （2）；如圖3（b）所示，設(shè)想

5、木塊在振動(dòng)中恰不離開彈簧，則在最高點(diǎn)H，彈簧應(yīng)剛好恢復(fù) 原長(zhǎng)，木塊受到的合力（回復(fù)力）為mg，結(jié)合振動(dòng)的對(duì)稱性可知，木塊在最低點(diǎn)L受到的 合力也應(yīng)為mg，即彈力F = 2mg = kx （3）又 A = x - x ； A/ = x - x，結(jié)合（1）（2）（3）解得：A/ = 2 A。1020（3）如圖4（a）所示，一升降機(jī)在箱底裝有若干個(gè)彈簧，設(shè)在某次事故中，升降機(jī)吊 索在空中斷裂，忽略摩擦力，則升降機(jī)在從彈簧下端觸地后直到最低點(diǎn)的一段運(yùn)動(dòng)過程中 ()（A）升降機(jī)的速度不斷減?。˙）升降機(jī)的加速度不斷變大（C）先是彈力做的負(fù)功小于重力做的正功，然后是彈力做的負(fù)功大于重力做的正功（D）至U最

6、低點(diǎn)時(shí)，升降機(jī)加速度的值一定大于重加力速度的值。(a)(b)解析升降機(jī)在從彈簧下端觸地后直到最低點(diǎn)的一段運(yùn)動(dòng)過程可等效為豎直面內(nèi)簡(jiǎn) 諧振動(dòng)的一部分，如圖4（b）所示，從A - O - A / - L，O為振動(dòng)的平衡位置，故升降機(jī) 先做加速運(yùn)動(dòng)后做減速運(yùn)動(dòng)，加速度先減小后反向增加，彈力先小于重力后大于重力，選項(xiàng) A、B錯(cuò)誤，選項(xiàng)C正確。升降機(jī)剛接觸彈簧（A點(diǎn)）時(shí)，具有豎直向下的速度刃豎直向下的加速度g；根據(jù)振 動(dòng)的對(duì)稱性，當(dāng)升降機(jī)越過平衡位置O到達(dá)其對(duì)稱點(diǎn)A/時(shí)，一定仍具有豎直向下的速度V， 而加速度方向應(yīng)豎直向上，大小仍為g；升降機(jī)繼續(xù)向下運(yùn)動(dòng)，加速度繼續(xù)增加，因此，到 最低點(diǎn)時(shí)，升降機(jī)加速度的值一定大于重加力速度的值，選項(xiàng)亦D正確綜合以上分析知答案為C、D。說明借助以上模型遷移思想，我們可以快速處理很多聯(lián)系實(shí)際的