高中數(shù)學(xué)必須第二冊(cè)（蘇教版）課后習(xí)題第十三章立體幾何初步：13.2.2　第2課時(shí)　異面直線

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2、D,DD1,長(zhǎng)方體的一條體對(duì)角線與長(zhǎng)方體的棱所組成的異面直線有6對(duì),故選C.2.設(shè)P是直線l外一定點(diǎn),過點(diǎn)P且與l成30角的異面直線()A.有無數(shù)條B.有兩條C.至多有兩條D.有一條答案A解析如圖所示,過點(diǎn)P作直線ll,以l為軸,與l成30角的圓錐面的所有母線都與l成30角.3.點(diǎn)E,F分別是三棱錐P-ABC的棱AP,BC的中點(diǎn),AB=6,PC=8,EF=5,則異面直線AB與PC所成的角的大小為()A.90B.45C.30D.60答案A解析如圖,取PB的中點(diǎn)G,連接EG,FG,則EGAB且EG=12AB,GFPC且GF=12PC,則EGF(或其補(bǔ)角)即為AB與PC所成的角,在EFG中,EG=1

3、2AB=3,FG=12PC=4,EF=5,所以EGF=90.所以異面直線AB與PC所成角的大小為90.4.在如圖所示的正方體中,M,N分別為棱BC和CC1的中點(diǎn),則異面直線AC和MN所成的角的大小為()A.30B.45C.90D.60答案D解析連接AD1,D1C,BC1(圖略),因?yàn)镸,N分別為BC和CC1的中點(diǎn),所以C1BMN.又C1BAD1,所以AD1MN,所以D1AC即為異面直線AC和MN所成的角.又D1AC是等邊三角形,所以D1AC=60,即異面直線AC和MN所成的角為60.5.從正方體的棱和各個(gè)面上的對(duì)角線中選出k條,使得其中任意兩條線段所在的直線都是異面直線,則k的最大值是.答案4

4、解析正方體共有8個(gè)頂點(diǎn),若選出的k條線兩兩異面,則不能共頂點(diǎn),即至多可選出4條,所以k的最大值為4.6.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AC與B1D1所成的角的大小為,AC與D1C1所成的角的大小為.答案9045解析B1D1與AC是異面直線,連接BD(圖略),交AC于點(diǎn)O,易知BDB1D1,所以DOC或其補(bǔ)角為B1D1與AC所成的角.因?yàn)锽DAC,所以DOC=90,所以B1D1與AC所成的角是90.因?yàn)镈CD1C1,所以ACD是AC與D1C1所成的角,又ACD=45,所以AC與D1C1所成的角是45.7.如圖所示,在長(zhǎng)方體ABCD-EFGH中,AB=AD=23,AE=2.(1)

5、求直線BC和EG所成的角的大小;(2)求直線AE和BG所成的角的大小.解(1)連接AC(圖略).EGAC,ACB即是BC和EG所成的角.在長(zhǎng)方體ABCD-EFGH中,AB=AD=23,ACB=45,直線BC和EG所成的角是45.(2)AEBF,FBG即是AE和BG所成的角.易知tanFBG=3,FBG=60,直線AE和BG所成的角是60.關(guān)鍵能力提升練8.在空間四邊形ABCD中,E,F分別為AC,BD的中點(diǎn),若CD=2AB,EFAB,則EF與CD所成的角的大小為()A.30B.45C.60D.90答案A解析取AD的中點(diǎn)H,連接FH,EH,則HE=12CD,HF=12AB,HECD,HFAB,所

6、以FEH(或其補(bǔ)角)即為EF與CD所成的角,在EFH中,EFH=90,HE=2HF,從而FEH=30.9.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)P在線段AD1上運(yùn)動(dòng),則異面直線CP與BA1所成的角的取值范圍是()A.0,3B.0,3C.0,3D.0,3答案D解析如圖,連接CD1,AC,因?yàn)镃D1BA1,所以CP與BA1所成的角就是CP與CD1所成的角,即=D1CP.當(dāng)點(diǎn)P從D1向A運(yùn)動(dòng)時(shí),D1CP從0增大到60,但當(dāng)點(diǎn)P與D1重合時(shí),CPBA1,與CP與BA1為異面直線矛盾,所以異面直線CP與BA1所成的角的取值范圍是0,3.10.(多選)一個(gè)正方體紙盒展開后如圖,在原正方體紙盒中有如下結(jié)論

7、,其中正確的是()A.AB與EF是異面直線B.AB與CM所成的角為60C.EF與MN是異面直線D.MNCD答案AC解析把正方體平面展開圖還原到原來的正方體,如圖所示,AB與EF是異面直線,EF與MN是異面直線,ABCM,MN與CD是異面直線,故A,C正確.11.(多選)(2021山東濟(jì)南歷下期中)如圖是正方體的展開圖,則在這個(gè)正方體中,下列說法正確的是()A.AF與CN平行B.BM與AN是異面直線C.AF與BM是異面直線D.BN與DE是異面直線答案CD解析把正方體的平面展開圖還原為正方體如圖,由正方體的結(jié)構(gòu)特征可知,AF與CN異面垂直,故A錯(cuò)誤;BM與AN平行,故B錯(cuò)誤;BM平面BCMF,F平

8、面BCMF,A平面BCMF,FBM,由異面直線定義可得,AF與BM是異面直線,故C正確;DE平面ADNE,N平面ADNE,B平面ADNE,NDE,由異面直線定義可得,BN與DE是異面直線,故D正確.12.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是棱CD,CC1的中點(diǎn),則異面直線A1M與DN所成的角的大小是.答案90解析如圖,過點(diǎn)M作MEDN交CC1于點(diǎn)E,連接A1E,則A1ME(或其補(bǔ)角)為異面直線A1M與DN所成的角.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a,則A1M=32a,ME=54a,A1E=414a.所以A1M2+ME2=A1E2,所以A1ME=90,即異面直線A1M與DN所成的角為90.1

9、3.已知在正四面體A-BCD中,E是AB的中點(diǎn),則異面直線CE與BD所成的角的余弦值為.答案36解析如圖,取AD的中點(diǎn)F,連接EF,CF,因?yàn)镋是AB的中點(diǎn),則EFBD,CEF(或其補(bǔ)角)就是異面直線CE與BD所成的角,設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為1,則CE=CF=32,EF=12,取EF的中點(diǎn)O,連接CO,則COEF,所以在CEO中,cosCEF=121232=36.14.如圖所示,圓錐的底面直徑AB=4,高OC=22,D為底面圓周上的一點(diǎn),且AOD=120,則直線AD與BC所成的角的大小為.答案60解析如圖,延長(zhǎng)DO交底面圓于點(diǎn)E,連接BE,CE,由AB,DE均為圓的直徑知ADBE,且AD=BE,所

10、以CBE即為異面直線AD與BC所成的角(或其補(bǔ)角).在AOD中,AD=2OAsin 60=23,在CBE中,CB=CE=BE=23,所以CBE為正三角形,所以CBE=60.15.如圖,已知圓柱的上底面圓心為O,高和底面圓的半徑相等,AB是底面圓的一條直徑,點(diǎn)C為底面圓周上一點(diǎn),且ABC=45,則異面直線AC與OB所成角的余弦值為.答案12解析如圖,設(shè)下底面圓心為O,則OOOB,過點(diǎn)B作BDAC,交圓O于D,連接OD,AD,則OBD即為直線AC與OB所成角,設(shè)底面圓半徑為1,由圓柱高和底面圓的半徑相等,得圓柱高為1,在RtOOB中,OB=2,ABC=45,AC=BC=2,由圓的對(duì)稱性可知BD=A

11、C=2,OB=OD=2,OBD為等邊三角形,則OBD=3,故直線AC與OB所成角的余弦值為12.16.如圖,在三棱錐A-BCD中,AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,M,N分別是AD,BC的中點(diǎn).求異面直線AN,CM所成角的余弦值.解如圖,連接ND,取ND的中點(diǎn)E,連接ME,則MEAN,EMC是異面直線AN,CM所成的角.AN=22,ME=2=EN,MC=22.又ENNC,EC=EN2+NC2=3.cosEMC=EM2+MC2-EC22EMMC=2+8-32222=78,異面直線AN,CM所成的角的余弦值為78.學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練17.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是菱形,且AB=23,ABC=120,若A1BAD1,求AA1的長(zhǎng).解如圖所示,連接CD1,AC.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1D1BC,A1D1=BC=23,四