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1、題型44 數(shù)列的性質(zhì)【方法點(diǎn)撥】1.數(shù)列是定義在正整數(shù)集或其有限子集上的函數(shù),數(shù)列的函數(shù)性主要涉及數(shù)列的單調(diào)性(判斷數(shù)列的增減性和確定數(shù)列中最大(?。╉?xiàng),求數(shù)列最值等)等;2.數(shù)列中的恒成立問題較函數(shù)中恒成立問題更難,但方法是想通的,一般都要分離參數(shù),一般都要轉(zhuǎn)化為研究單調(diào)性,但由于數(shù)列定義域是離散型變量,不連續(xù),這給研究數(shù)列的單調(diào)性帶來了難度,其一般解決方法是作差或作商.【典型題示例】例1 若不等式eq f(1,n1)eq f(1,n2)eq f(1,3n1)a7對一切正整數(shù)n都成立,則正整數(shù)a的最大值為_【答案】8【分析】要求正整數(shù)a的最大值,應(yīng)先求a的取值范圍,關(guān)鍵是求出代數(shù)式eq f(
2、1,n1)eq f(1,n2)eq f(1,3n1)的最小值,可將其視為關(guān)于n的函數(shù),通過單調(diào)性求解【解析】令f(n)eq f(1,n1)eq f(1,n2)eq f(1,3n1)(nN*),對任意的nN*,f(n1)f(n)eq f(1,3n2)eq f(1,3n3)eq f(1,3n4)eq f(1,n1)eq f(2,3n13n23n4)0,所以f(n)在N*上是增函數(shù)又f(1)eq f(13,12),對一切正整數(shù)n,f(n)a7都成立的充要條件是eq f(13,12)a7,所以aa7對一切正整數(shù)n都成立,則正整數(shù)a的最大值為_5.數(shù)列若對任意恒成立,則正整數(shù)m的最小值為 .6已知數(shù)列a
3、n的前n項(xiàng)和Sn3n(n)6,若數(shù)列an單調(diào)遞減,則的取值范圍是A(,2)B(,3)C(,4)D(,5)7已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足.若對任意正整數(shù)都有恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍為( )ABCD8已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為,則數(shù)列中的最小項(xiàng)為( ).ABCD9已知數(shù)列滿足:,若對任意的正整數(shù),都有,則實(shí)數(shù)的取值范圍( )ABCD10已知數(shù)列滿足,若,使得成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是( ) ABCD【答案與提示】1.【答案】8、9 【提示】,類比一次分式函數(shù)性質(zhì).2.【答案】10 【提示】,令解得.3.【答案】 4、5【提示】,利用對勾函數(shù)性質(zhì).4.【答案】8【分析】要求正整數(shù)a的最大值,應(yīng)先求a的取值范圍,關(guān)鍵
4、是求出代數(shù)式eq f(1,n1)eq f(1,n2)eq f(1,3n1)的最小值,可將其視為關(guān)于n的函數(shù),通過單調(diào)性求解【解析】令f(n)eq f(1,n1)eq f(1,n2)eq f(1,3n1)(nN*),對任意的nN*,f(n1)f(n)eq f(1,3n2)eq f(1,3n3)eq f(1,3n4)eq f(1,n1)eq f(2,3n13n23n4)0,所以f(n)在N*上是增函數(shù)又f(1)eq f(13,12),對一切正整數(shù)n,f(n)a7都成立的充要條件是eq f(13,12)a7,所以aeq f(97,12),故所求正整數(shù)a的最大值是8.5.【答案】10【提示】得,仿上題求最大值.6.【答案】A【解析】,因?yàn)閱握{(diào)遞減,所以,所以,且,所以只需,且,所以,故選A7.【答案】C【解析】當(dāng)時(shí),即,得;當(dāng)時(shí),由,得,兩式相減得,得,所以,數(shù)列為等比數(shù)列,且首項(xiàng)為,公比為,.,由,得,所以,數(shù)列單調(diào)遞增,其最小項(xiàng)為,所以,因此,實(shí)數(shù)的取值范圍是,故選C8.【答案】C【解析】因?yàn)?所以,所以,當(dāng)且僅當(dāng)取“=”.又因?yàn)?當(dāng)時(shí),.當(dāng)時(shí),.所以數(shù)列中的最小項(xiàng)為.故選:C.9.【答案】B【解析】,又在區(qū)
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