論文函數(shù)的極值問題在實(shí)際中的應(yīng)用

1、-. z.函數(shù)的極值問題在實(shí)際中的應(yīng)用一、函數(shù)求極值方法的介紹利用函數(shù)求極值問題，是微積分學(xué)中根本且重要的內(nèi)容之一，函數(shù)求極值的方法很多，但主要可分為初等方法和微積分中的導(dǎo)數(shù)方法等。用初等方法求最值問題，主要是利用二次函數(shù)的最值性質(zhì)，二次函數(shù)非負(fù)的性質(zhì)，算術(shù)平均數(shù)不小于幾何平均數(shù)。正弦，余弦函數(shù)的最值性質(zhì)討論問題。一般而言，他需要較強(qiáng)技巧，在解決*些問題時(shí)，其解法讓人賞心悅目，但這些方法通用性較差，利用高等數(shù)學(xué)的導(dǎo)數(shù)等工具求解極值問題，通用性較強(qiáng)，應(yīng)用也較強(qiáng)，應(yīng)用也較廣泛，下面給出用導(dǎo)數(shù)求極值最值得一些定理和方法。1、一元函數(shù)極值的判定及求法定理1必要條件設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，且在處取得極值，則。

2、使導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，即為函數(shù)的駐點(diǎn)，可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必定是它的駐點(diǎn)，但反過來，函數(shù)的駐點(diǎn)卻不一定是極值點(diǎn)。當(dāng)求出駐點(diǎn)后，還需進(jìn)一步判定求得駐點(diǎn)是不是極值點(diǎn)，下面給出判斷極值點(diǎn)的兩個(gè)充分性條件。定理2極值的第一充分條件設(shè)在連續(xù)，在*領(lǐng)域內(nèi)可導(dǎo)。1假設(shè)當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，則在點(diǎn)取得最小值。2假設(shè)當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，則在點(diǎn)取得最大值。定理3極值的第二充分條件設(shè)在連續(xù)，在*領(lǐng)域內(nèi)可導(dǎo)，在處二階可導(dǎo)，在處二階可導(dǎo)，且，。1 假設(shè)，則在取得極大值。2假設(shè)，則在取得極小值。由連續(xù)函數(shù)在上的性質(zhì)，假設(shè)函數(shù)在上一定有最大、最小值。這就為我們求連續(xù)函數(shù)的最大、最小值提供了理論保證，本段將討論怎樣求出最大小值。在一個(gè)區(qū)間上，一個(gè)函數(shù)的

3、最值可能在不可導(dǎo)點(diǎn)取得，也可能在區(qū)間的端點(diǎn)取得，除去這兩種情況之外，必然在區(qū)間內(nèi)部的可導(dǎo)點(diǎn)取得，根據(jù)上面的必要條件，在這些點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0，即為駐點(diǎn)。因此，我們?nèi)绻笠粋€(gè)函數(shù)在一個(gè)區(qū)間的最值，只要列舉出不可導(dǎo)的點(diǎn)，區(qū)間端點(diǎn)以及駐點(diǎn)，然后比擬函數(shù)在這些點(diǎn)的最值，即可求出最值。下面我們給出用導(dǎo)數(shù)方法求函數(shù)最大、最小值的方法，步驟：1 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；2 令，求出在內(nèi)的駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)；3 計(jì)算函數(shù)值；4 比擬上述函數(shù)值的大小，最大者就是在區(qū)間上的最大值，最小者就是在閉區(qū)間上的最小值。2、多元函數(shù)極值的判定在實(shí)際問題中，往往會(huì)遇到多元函數(shù)的最大值最小值問題。與一元函數(shù)相類似，多元函數(shù)的最大值，最小值

4、與極大值極小值有密切聯(lián)系，因此我們以二元函數(shù)為例，先來討論多元函數(shù)的極值問題。定義 設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?。為的?nèi)點(diǎn)。假設(shè)存在的*個(gè)鄰域，使得對(duì)于該鄰域異于的任何內(nèi)點(diǎn)，都有則稱函數(shù)在點(diǎn)，點(diǎn)稱為函數(shù)的極大值點(diǎn)；假設(shè)對(duì)于該領(lǐng)域內(nèi)異于的任何點(diǎn)，都有則稱函數(shù)在點(diǎn)有極小值，點(diǎn)稱為函數(shù)的極小值點(diǎn)，極大值、極小值統(tǒng)稱為極值，使得函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)。關(guān)于二元函數(shù)的極值概念，可推廣到元函數(shù)，設(shè)元函數(shù)的定義域?yàn)?。為的?nèi)點(diǎn)，假設(shè)存在的*個(gè)領(lǐng)域，使得該鄰域內(nèi)異于的任何點(diǎn)，都有或則稱函數(shù)在點(diǎn)有極大值或極小值。二元函數(shù)的極值問題，一般可以利用偏導(dǎo)數(shù)來解決，下面兩個(gè)定理就是關(guān)于這問題的結(jié)論。定理1必要條件設(shè)函數(shù)在點(diǎn)具有偏

5、導(dǎo)數(shù)，且在點(diǎn)處有極值，則有怎樣判定一個(gè)駐點(diǎn)是否是極值點(diǎn)呢？下面的定理答復(fù)了這個(gè)問題。定理2充分條件設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的*個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又，令則在處是否取得極值的條件如下：1時(shí)具有極值，且當(dāng)時(shí)有極大值，當(dāng)時(shí)有極小值；2時(shí)沒有極值。對(duì)于多元函數(shù)中有條件約束的這類問題，可采用拉格朗日乘數(shù)法。拉格朗日乘數(shù)法 要找函數(shù)在附加條件下的可能極值點(diǎn)，可以先做拉格朗日函數(shù)其中為參數(shù)，求其對(duì)與的一階偏導(dǎo)數(shù)并使之為零，然后與方程2聯(lián)立起來：由這方程組解出及，這樣得到的就是函數(shù)在附加條件下的可能極值點(diǎn)。這方法還可以推廣到自變量多于兩個(gè)條件多于一個(gè)的情形。至于如何確定所求得的點(diǎn)是否極值點(diǎn)，在實(shí)際問題中往

6、往可根據(jù)問題本身的性質(zhì)來確定。有了上面的根底，下面將重點(diǎn)介紹函數(shù)的極值問題在實(shí)際中的應(yīng)用。二、函數(shù)極值問題的應(yīng)用在實(shí)際問題中為了發(fā)揮最大的經(jīng)濟(jì)效益，往往要求在一定條件下，提高生產(chǎn)效率，降低本錢，節(jié)省原材料，解決這一類問題，就需要用到函數(shù)的最大值最小值知識(shí)，這一節(jié)講重點(diǎn)看一些這方面的例子。1、 合理密植設(shè)每畝中50株葡萄藤，每株葡萄藤將產(chǎn)出葡萄，假設(shè)每畝再多種一株葡萄藤最多20株，每株產(chǎn)量平均下降。試問每畝種多少株葡萄藤才能使產(chǎn)量到達(dá)最高？解：設(shè)每株多種株，則產(chǎn)量為問題歸結(jié)為求目標(biāo)函數(shù)在上的最大值令，解得由二階微商檢驗(yàn)法，當(dāng)時(shí)，有極大值，而是內(nèi)唯一極大值點(diǎn)，根據(jù)實(shí)際，取整體株時(shí)，取得最大值，即每

7、畝種株時(shí)，產(chǎn)量可達(dá)最高。2、環(huán)境污染*經(jīng)濟(jì)開發(fā)區(qū)的工程建立，對(duì)釋放到空氣中的污染要進(jìn)展控制，設(shè)對(duì)污染的測(cè)定要求與污染源的距離至少要，在污染源相對(duì)集中的情況下，空氣受污染的*與釋放的污染量成正比，與到污染源的距離成反比設(shè)比例系數(shù)為1，先有兩個(gè)相距的工廠區(qū)與，分別釋放的污染為與，假設(shè)想在，間建造一個(gè)居民小區(qū)，試問居民小區(qū)建在何處所受污染最小？解：設(shè)為居民小區(qū)受到污染最小時(shí)到工廠區(qū)的距離，居民小區(qū)受工廠區(qū)的污染為，居民小區(qū)受工廠區(qū)的污染為，居民小區(qū)受到的總污染為，這就是要尋找的目標(biāo)函數(shù)，令即解得再與區(qū)間的端點(diǎn)的值作比擬，得最小居民小區(qū)建在離工廠區(qū)處所受污染最小。3、用料最省市場(chǎng)上裝飲料的易拉罐是用鋁

8、合金制造的，罐身側(cè)面和底部用整塊材料拉制而成頂蓋的厚度是罐身厚度的3倍。以容積為的易拉罐為例，問如何設(shè)計(jì)一拉罐的底面直徑和高才能使用料最??？解：記易拉罐的容積常數(shù)設(shè)罐身的厚度為，頂蓋為，底面直徑為，高，于是，罐身用料體積為頂蓋用料體積為易拉罐的用料因此，問題化為求目標(biāo)函數(shù)在內(nèi)的最小值。對(duì)求微商，得令得是在內(nèi)的惟一駐點(diǎn)。這是實(shí)際問題。最小值肯定存在，因此是的最小值點(diǎn)。而高。4、最快速度設(shè)一輛水陸兩用汽艇在水上的速度為，在陸地上的速度為?，F(xiàn)因需要，要求汽艇最快地從水中的的到達(dá)陸地上的點(diǎn)圖，試問兩用汽艇應(yīng)按怎樣的路線走？解：由常識(shí)知道，汽艇在水中或陸地上都應(yīng)該走直線，所以，汽艇實(shí)際走的路程為兩直線組

9、成的折線，如圖3所示，汽艇的行駛時(shí)間為。問題歸結(jié)為求在上的最小值，即滿足什么條件，取得最小值。對(duì)求微商，得由于可知在內(nèi)的零點(diǎn)必為的極小值點(diǎn)，從而是在上的最小值點(diǎn)。滿足，即記，則如果將汽艇換成一束光線，水與陸地?fù)Q成兩種不同的介質(zhì)，這就是光學(xué)中著名的折射定律，其中，分別是光線的入射角與折射角。定律告訴我們：光線總是沿著最省時(shí)間的路線傳播的。5、庫(kù)存本錢模型庫(kù)存本錢模型是存貯論的一個(gè)確定性模型，而存貯論則是運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)分支。工廠要保證生產(chǎn)，需要定期的訂購(gòu)各種原材料存在倉(cāng)庫(kù)里，大公司也需要成批的購(gòu)進(jìn)各種商品，放在庫(kù)房里以備銷售，不管是原材料還是商品，都遇到一個(gè)庫(kù)存多少的問題，庫(kù)存太多，庫(kù)存費(fèi)用就高；庫(kù)

10、存太少，要保證供給，勢(shì)必增多進(jìn)貨次數(shù)，這樣一來，定貨費(fèi)高了，因此，必須研究如何合理地安排進(jìn)貨的批量、次數(shù)，才能使總費(fèi)用庫(kù)存費(fèi)+定貨費(fèi)最省的問題。這里討論的模型是：需求恒定，不允許缺貨，要成批進(jìn)貨，且只考慮庫(kù)存費(fèi)與定貨兩種費(fèi)用。由于在每一進(jìn)貨周期內(nèi)，都是初始時(shí)進(jìn)貨，即貨物的初始庫(kù)存量等于每批的進(jìn)貨量，以后均勻消耗，在周期末存量為0，故平均庫(kù)存量為。為了弄清庫(kù)存-本錢模型的運(yùn)作過程，下面舉一例。例 公司每月需要*種商品2500件，每件金額150元，每年每件商品的庫(kù)存本錢為金額的16%，每次定貨費(fèi)100元，試求最優(yōu)批量及最底本錢即庫(kù)存量與訂貨費(fèi)之后最小。解：設(shè)批量為，則平均庫(kù)存量為庫(kù)存量時(shí)間，訂貨次

11、數(shù)為。這是時(shí)間問題，最小值一定存在，因此，最底本錢，這就是說，最優(yōu)批量為每次500件，每月訂貨次數(shù)為，最低庫(kù)存成為1000元。6、最大利潤(rùn)問題設(shè)*產(chǎn)品的本錢函數(shù)和價(jià)格函數(shù)分別為決定產(chǎn)品的生產(chǎn)量，以使利潤(rùn)到達(dá)最大。解：銷售額函數(shù)為求得，又因?yàn)樗陨a(chǎn)量為2500單位時(shí)，利潤(rùn)到達(dá)最大。7、化學(xué)問題在萃取過程中，假設(shè)用毫升的萃取劑分兩次萃取，證明，當(dāng)每次的萃取劑用量為毫升時(shí)，其萃取效果最好。解：設(shè)有毫升含有克溶質(zhì)的水溶液，假設(shè)在第一次萃取時(shí)參加毫升萃取劑，則由第二章可知在水溶液中所剩余的溶質(zhì)為第二次萃取時(shí)，再把剩下的毫升萃取劑加到含有克溶質(zhì)的毫升水溶液中，可得第二次萃取后在水溶液中所剩余的溶質(zhì)為要求

12、萃取效果最好，也就是要選擇適當(dāng)?shù)氖箖纱屋腿『笤谒芤褐兴Ｓ嗟娜苜|(zhì)最少。求函數(shù)對(duì)的導(dǎo)數(shù)得解方程即。得。由此可見，函數(shù)有一個(gè)駐點(diǎn)。在這個(gè)實(shí)際問題中，駐點(diǎn)就是函數(shù)的最小值點(diǎn)，因此當(dāng)兩次的萃取劑用量都是毫升時(shí)萃取劑效果最好。上面的離子都是函數(shù)極值問題在實(shí)際中的應(yīng)用，函數(shù)求極值方法的研究已是較成熟的一門學(xué)問，極值問題在經(jīng)濟(jì)生活及工程技術(shù)等方面應(yīng)用廣泛，這里只選取了幾個(gè)典型的方法加以說明。極值方法是解決現(xiàn)實(shí)中使產(chǎn)品最多、用料最省、本錢最低等問題的最根本的方法，隨著科學(xué)技術(shù)的開展社會(huì)的進(jìn)步，這樣的現(xiàn)實(shí)問題不僅越來越多而且越來越復(fù)雜，解決這些問題的極值方法迅速開展，形成了以最優(yōu)化問題為研究?jī)?nèi)容的一個(gè)重要數(shù)學(xué)

13、分支最優(yōu)化理論。由于電子計(jì)算機(jī)的日益廣泛應(yīng)用，最優(yōu)化理論和算法有機(jī)結(jié)合起來，得到了迅速開展，在實(shí)踐中正在發(fā)揮著越來越大的作用。參考文獻(xiàn)：1 謝季堅(jiān)、李啟文 大學(xué)數(shù)學(xué)微積分及其在生命科學(xué)、經(jīng)濟(jì)管理中的應(yīng)用 第二版 高等教育2 *交通大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 科學(xué) 2004年3月3 林真棋 微積分在多元函數(shù)最值問題中的應(yīng)用 閩江學(xué)報(bào) 2004年3月4 華東師*大學(xué)數(shù)學(xué)系 數(shù)學(xué)分析上第三版 高等教育5 何炳生 *大學(xué)數(shù)學(xué)系楊振華*郵電大學(xué)物理系6 王文豐 一個(gè)多元函數(shù)的最值 高等數(shù)學(xué)研究所2000年3月FUNCTION MINIMUM PROBLEM IN ACTUAL CENTER APPLICATIONL

14、IU Ya-haoAbstract: In the daily life, the production practice, the regular meeting meetsa such kind of question, how many causes the product under the certaincondition, the cost to be lowest and so on In mathematics, is under the certain condition, asks a objective function the ma*imum value orthe m

15、inimum problem 17 the century flu*ionary calculus birth, provided through the establishment mathematical model, the application flu*ionary calculus principle has solved these questions many methods. This article summaried the function from theory angle to ask thee*treme value method, then used these methods to discuss actual problem and so on in rational close planting issue, environmental pollution quest