新人教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊第六章平面及其應(yīng)用：第2課時 余弦定理、正弦定理的應(yīng)用舉例

1、第2課時余弦定理、正弦定理的應(yīng)用舉例基礎(chǔ)過關(guān)練題組一測量距離問題 1.如圖,設(shè)A、B兩點在河的兩岸,測量者與A在河的同側(cè),在河岸邊選定一點C,測得AC的長為50 m,ACB=45,CAB=105,則A、B兩點間的距離為()A.502 mB.503 mC.252 mD.2522 m2.(2020河南平頂山高二上期末)一艘輪船以18海里/時的速度沿北偏東40的方向直線航行,在行駛到某處時,測得該輪船南偏東20方向10海里處有一燈塔,繼續(xù)行駛20分鐘后,輪船與燈塔的距離為()A.17海里B.16海里C.15海里D.14海里3.(2020遼寧沈陽東北育才實驗學(xué)校高三第三次模擬考試)如圖,從氣球A上測得

2、正前方的河流的兩岸B,C的俯角分別為75,30,此時氣球的高度AD=60 m,則河流的寬度BC等于()A.30(3+1)mB.120(3-1)mC.180(2-1)mD.240(3-1)m題組二測量高度問題4.(2019廣東珠海高二期末)如圖,為測塔AB的高度,某人在與塔底A同一水平線上的點C處測得ACB=45,再沿AC方向前行20(3-1)米到達(dá)點D,測得ADB=30,則塔高為()A.40米 B.30米C.203米 D.20米5.如圖,建筑物AB的高為(30-103)m,在該建筑物的正東方向有一個通信塔CD,在它們之間的地面上點M(B,M,D三點共線)處測得樓頂A,塔頂C的仰角分別是15和6

3、0,在樓頂A處測得塔頂C的仰角為30,則通信塔CD的高為(深度解析)A.30 mB.60 mC.303 mD.403 m6.如圖所示,在山底A處測得山頂B的仰角CAB=45,沿傾斜角為30的山坡向山頂走1 000 m到達(dá)S點,又測得山頂仰角DSB=75,則山高BC為()A.5002 mB.200 mC.1 0002 mD.1 000 m題組三測量角度問題7.如圖,在某海岸A處發(fā)現(xiàn)北偏東30方向、距離A處1海里的B處有一艘走私船,在A處北偏西60方向、距離A處3海里的C處的緝私船奉命以53海里/時的速度追截走私船,此時,走私船以5海里/時的速度從B處按照北偏東30方向逃竄,則緝私船能最快追上走私

4、船的航行方向是()A.北偏東30B.北偏東45C.北偏東60D.正東8.如圖,為測量塔PD的高度,在地面上的A處測得塔頂?shù)难鼋菫?由此處向塔走30 m到達(dá)B處,測得塔頂?shù)难鼋菫?,再向塔走103 m到達(dá)C處,測得塔頂?shù)难鼋菫?,則角=.9.學(xué)校里有一棵樹,甲同學(xué)在A地測得樹尖的仰角為45,乙同學(xué)在B地測得樹尖的仰角為30,量得AB=AC=10 m,樹根部為C(A、B、C在同一水平面上),則ACB=.題組四三角形面積問題10.(2020河南省實驗中學(xué)高二上期末)在ABC中,AC=23,BC=4,B=3,則ABC的面積等于()A.3B.2C.23D.311.ABC中,已知b=5,A=60,SABC

5、=53,則a等于()A.4B.16C.21D.2112.在ABC中,三邊a,b,c與面積S的關(guān)系式為S=14(a2+b2-c2),則角C為()A.30B.45C.60D.9013.已知角A,B,C,D為平面四邊形ABCD的四個內(nèi)角,若A+C=180,AB=6,BC=4,CD=5,AD=5,則四邊形ABCD的面積是.能力提升練題組一正、余弦定理的實際應(yīng)用 1.(2020遼寧葫蘆島高一下期末,)自古以來,人們對崇山峻嶺都心存敬畏,同時感慨大自然的鬼斧神工,一代詩圣杜甫曾賦詩望岳:“岱宗夫如何?齊魯青未了.造化鐘神秀,陰陽割昏曉.蕩胸生層云,決眥入歸鳥.會當(dāng)凌絕頂,一覽眾山小.”然而,隨著技術(shù)手段的

6、發(fā)展,山高路遠(yuǎn)不再是人們出行的阻礙,偉大領(lǐng)袖毛主席曾作詞:“一橋飛架南北,天塹變通途.”在科技騰飛的當(dāng)下,路橋建設(shè)部門仍然潛心研究如何縮短空間距離以方便出行,如港珠澳跨海大橋等.如圖為某工程隊從A到D修建的一條隧道,測量員測得一些數(shù)據(jù)如圖所示(A,B,C,D在同一水平面內(nèi)),則A,D間的距離為()A.65-123 kmB.65-1213 kmC.35-123 kmD.35-1213 km2.()蒙娜麗莎是意大利文藝復(fù)興時期畫家列奧納多達(dá)芬奇創(chuàng)作的油畫,現(xiàn)收藏于法國盧浮宮博物館.該油畫規(guī)格為縱77 cm,橫53 cm.油畫掛在墻壁上時,其最低點處B離地面237 cm(如圖所示).有一身高為175

7、 cm的游客從正面觀賞它(該游客頭頂T到眼睛C的距離為15 cm),設(shè)該游客與墻的距離為x cm,視角為,為使觀賞視角最大,x應(yīng)為()A.77B.80C.100D.7723.()如圖所示,在地面上共線的三點A,B,C處測得一建筑物的仰角分別為30,45,60,且AB=BC=60 m,則建筑物的高度OP為()A.156 mB.206 mC.256 mD.306 m4.(2020北京首師大附中高一上期末,)如圖所示,我國漁船編隊在島A周圍海域作業(yè),在島A的南偏西20方向有一個海面觀測站B,某時刻觀測站發(fā)現(xiàn)有不明船只向我國漁船編隊靠近,現(xiàn)測得與B相距31海里的C處有一艘海警船巡航,上級指示海警船沿北

8、偏西40方向,以40海里/小時的速度向島A直線航行以保護(hù)我國漁船編隊,30分鐘后到達(dá)D處,此時觀測站測得B,D間的距離為21海里.(1)求sinBDC的值;(2)試問海警船再向前航行多少分鐘方可到島A?題組二三角形面積問題5.(2020湖北名師聯(lián)盟高二上期末,)在ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,b=1,a(2sin B-3cos C)=3ccosBAC,點G是ABC的重心,且AG=133,則ABC的面積為()A.3B.32C.3或23D.334或36.(2020黑龍江牡丹江一中高三上月考,)已知點O為ABC外接圓的圓心,角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,且a=3,若BOAC=

9、2,則當(dāng)角C取到最大值時,ABC的面積為()A.5B.25C.10D.237.(2020湖南郴州高二上期末,)在ABC中,a=4,b=5,ABC的面積為53,則ABC中最大角的正切值是()A.533或-33B.-3C.-33D.533或-38.(2020河南平頂山高二上期末,)在ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知a2-2a(sin B+cos B)+1=0,b=2,則ABC的面積為.9.(2020山東濰坊第一中學(xué)高三一模,)在b2+2ac=a2+c2;acos B=bsin A;sin B+cos B=2這三個條件中任選一個,補(bǔ)充在下面問題中,并解決該問題.已知ABC的內(nèi)角A,

10、B,C的對邊分別為a,b,c,若,A=3,b=2,求ABC的面積.10.(2020山東臨沂高一下期末,)在ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且(b-a)(sin B+sin A)=c(3sin B-sin C).(1)求A;(2)在a=2,B=4,c=3b這三個條件中,選出兩個使ABC唯一確定的條件補(bǔ)充在下面的問題中,并解答問題.若,求ABC的面積.11.()如圖為公園內(nèi)一塊三角形空地,ABC是邊長為2a的等邊三角形,現(xiàn)修成草坪,圖中DE把草坪分成面積相等的兩部分,D在AB上,E在AC上.(1)設(shè)AD=x(xa),DE=y,寫出用x表示y的函數(shù)關(guān)系式;(2)如果DE是灌溉水管,為節(jié)

11、約成本希望它最短,DE的位置應(yīng)該在哪里?如果DE是參觀線路,且希望它最長,DE的位置又應(yīng)該在哪里?為什么?答案全解全析基礎(chǔ)過關(guān)練1.A在ABC中,ACB=45,CAB=105,則ABC=30,由正弦定理,得ABsinACB=ACsinABC,則AB=ACsinACBsinABC=502212=502(m).故選A.2.D如圖所示,記輪船行駛到某處的位置為A,燈塔的位置為B,20分鐘后輪船的位置為C,則AB=10,AC=6,CAB=120,所以BC2=102+62-2106-12=196,所以BC=14,即20分鐘后,輪船與燈塔的距離為14海里.3.B由題圖可知,DAC=60,AD=60 m,則

12、AC=120 m.在ABC中,BAC=75-30=45,ABC=180-75=105,sinBAC=22,sinABC=sin(60+45)=6+24,由正弦定理得ACsinABC=BCsinBAC,即1206+24=BC22,解得BC=120(3-1)m.4.D在BCD中,由正弦定理可得,CDsinCBD=BDsinBCD,又知CD=20(3-1)米,sinBCD=sin(180-45)=22,sinCBD=sin(45-30)=6-24,BD=CDsinBCDsinCBD=20(3-1)226-24=40米,由ABD為直角三角形,ADB=30,可得AB=20米,即塔高為20米.5.B如圖所

13、示,過點A作AECD,垂足為E.在ABM中,AM=ABsin15=206(m),又知在AMC中,AMC=105,ACM=30,ACsin105=206sin30,AC=60+203(m),CE=12AC=30+103(m),CD=CE+ED=CE+AB=(30+103)+(30-103)=60(m).導(dǎo)師點睛解三角形應(yīng)用題的一般步驟:(1)閱讀并理解題意,弄清問題的實際背景,明確已知與未知,理清量與量之間的關(guān)系.(2)根據(jù)題意畫出示意圖,將實際問題抽象成解三角形問題的模型.(3)根據(jù)題意選擇正弦定理或余弦定理求解.(4)將三角形問題還原為實際問題,注意實際問題中的單位、近似計算的要求等.6.D

14、由題圖可知,BSA=360-75-150=135,又SAB=45-30=15,ABS=30,在ABS中,ASsin30=ABsin135,AB=ASsin135sin30=1 0002212=1 0002(m),BC=ABsinBAC=1 0002sin 45=1 000(m).7.C如圖,設(shè)緝私船在D處追上走私船,所用時間為t小時,則CD=53t海里,BD=5t海里.由題意可知CAD=90,AC=3海里,AB=1 海里,AD=(5t+1)海里,由勾股定理可得(5t+1)2+3=75t2,解得t=25或t=-15(舍).AD=3海里,故tanDCA=ADAC=3,DCA=60,NCD=60,故

15、選C.8.答案15解析PAB=,PBC=2,BPA=,BP=AB=30 m.又PBC=2,PCD=4,BPC=2,CP=BC=103 m.解法一:在BPC中,根據(jù)正弦定理,得PCsin2=PBsin(-4),即103sin2=30sin4,2sin2cos2sin2=30103.由于sin 20,cos 2=32.0290,2=30,=15.解法二:在BPC中,根據(jù)余弦定理,得PC2=PB2+BC2-2PBBCcos 2,把PC=BC=103 m,PB=30 m代入上式得,300=302+(103)2-230103cos 2,化簡得cos 2=32.0290,2=30,=15.9.答案30解析

16、如圖,設(shè)樹尖為點D,由題意知,AC=10 m,DAC=45,DC=10 m.又DBC=30,BC=103 m.由余弦定理的推論得,cosACB=102+(103)2-102210103=32,ACB=30.10.CAC=23,BC=4,B=3,在ABC中,由正弦定理得BCsinA=ACsinB,sin A=BCsinBAC=4sin 323=1,A=2,C=-A-B=6,SABC=12BCACsin C=12423sin 6=23,故選C.11.D因為b=5,A=60,SABC=53,所以12bcsin A=53,即125c32=53,解得c=4.由余弦定理得,a2=b2+c2-2bccos

17、A=25+16-25412=21,所以a=21.故選D.12.BS=12absin C,cos C=a2+b2-c22ab,由題意可得12absin C=142abcos C,整理得sin C=cos C,又0C180,故C=45.13.答案106解析連接BD,如圖所示.在ABD中,BD2=AB2+AD2-2ABADcos A=61-60cos A,在BCD中,BD2=BC2+CD2-2BCCDcos C=41-40cos C.61-60cos A=41-40cos C,即3cos A-2cos C=1.A+C=180,cos A=-cos C.聯(lián)立得cos A=15.sin A=sin C=

18、265.S四邊形ABCD=SABD+SBCD=12ABADsin A+12BCCDsin C=1265265+1245265=106.能力提升練1.A如圖,連接AC,在ABC中,AC=42+52=41,cosACB=52+(41)2-422541=541,sinACB=441,所以cosACD=cos23-ACB=cos23cosACB+sin23sinACB=-12541+32441=43-5241.在ACD中,由余弦定理,得AD=AC2+CD2-2ACCDcosACD=41+32-241343-5241=65-123.故A、D間的距離為65-123 km.2.D如圖所示,作CDAB,交AB

19、的延長線于點D.TC=15 cm,C到地面的距離為175-15=160(cm),BD=237-160=77(cm),AD=AB+BD=77+77=154(cm).由圖易得,BC=CD2+BD2=x2+772(cm),AC=AD2+CD2=x2+4772(cm),由余弦定理的推論得cos =BC2+AC2-AB22BCAC=x2+2772x2+772x2+4772=3x2+67722x2+2772x2+4772233x2+67722x2+2772+x2+4772223=223,當(dāng)且僅當(dāng)2x2+2772=x2+4772,即x=772時,等號成立,此時cos 取得最小值,最大.故選D.3.D設(shè)建筑物

20、的高度為h m.由題圖知,PA=2h,PB=2h,PC=233h.在PBA和PBC中,分別由余弦定理的推論,得cosPBA=602+2h2-4h22602h,cosPBC=602+2h2-43h22602h,PBA+PBC=180,cosPBA+cosPBC=0.由,解得h=306或h=-306(舍去),即建筑物的高度為306 m.4.解析(1)由已知可得CD=4012=20(海里),BD=21 海里,BC=31 海里,在BDC中,由余弦定理的推論得cosBDC=212+202-31222120=-17,0BDC180,sinBDC=437.(2)由已知可得BAD=20+40=60,sinAB

21、D=sin(BDC-60)=43712-1732=5314,在ABD中,由正弦定理可得AD=BDsinABDsinBAD=21531432=15(海里),154060=22.5(分鐘).海警船再向前航行22.5分鐘方可到島A.5.D如圖所示,延長AG交BC于D.點G是ABC的重心,點D為線段BC的中點,|AD|=12|AB+AC|=12|AB|2+2ABAC+|AC|2=12c2+2cbcosBAC+b2,AG=133,AD=32AG=132,又b=1,由得,12c2+2ccosBAC+12=132,c2+2ccosBAC-12=0.a(2sin B-3cos C)=3ccosBAC,即2as

22、in B=3(ccosBAC+acos C),由正弦定理得2sinBACsin B=3(sin CcosBAC+sinBACcos C),2sinBACsin B=3sin(C+BAC),2sinBACsin B=3sin B,0B,sin B0,2sinBAC=3,即sinBAC=32,0BAC,BAC=3或BAC=23.當(dāng)BAC=3時,代入得c2+c-12=0,解得c=3或c=-4(舍去),此時ABC的面積為12bcsinBAC=121332=334.當(dāng)BAC=23時,代入得c2-c-12=0,解得c=4或c=-3(舍去),此時ABC的面積為12bcsinBAC=121432=3.故選D.

23、6.A設(shè)AC的中點為D,連接OD、BD,易知ODAC.BOAC=(BD+DO)AC=BDAC+DOAC=BDAC=12(BA+BC)(BC-BA)=12(BC2-BA2)=2,BC2-BA2=4,即a2-c2=4,cos C=a2+b2-c22ab=4+b223b=164b+b1624bb=23,當(dāng)且僅當(dāng)4b=b,即b=2時,等號成立,此時cos C取得最小值,角C取得最大值,此時sin C=1-cos2C=53,SABC=12absin C=123253=5,故選A.7.D由題意得,SABC=12absin C=1245sin C=53,sin C=32.0C,C=3或23.當(dāng)C=23時,C

24、為最大角,tan C=-3.當(dāng)C=3時,c2=a2+b2-2abcos C=42+52-245cos 3=21,c=21(負(fù)值舍去).又a=4,b=5,邊b為最長邊,B為最大角,cos B=a2+c2-b22ac=42+(21)2-522421=2114,sin B=1-cos2B=5714,tan B=533.綜上所述,最大角的正切值為-3或533.故選D.8.答案1+34解析把a(bǔ)2-2a(sin B+cos B)+1=0看成關(guān)于a的二次方程,由0,即2(sin B+cos B)2-40,得sin2B+41,而sin2B+41,則sin2B+4=1.由0B,可得4B+454,所以B+4=2,

25、即B=4,代入方程a2-2a(sin B+cos B)+1=0,可得a2-2a+1=0,所以a=1.由正弦定理可得,1sinA=222,所以sin A=12,又因為ab,所以A=6,所以sin C=sin(A+B)=6+24.所以SABC=12absin C=12122+64=1+34.9.解析若選b2+2ac=a2+c2.由題意得a2+c2-b2=2ac,cos B=a2+c2-b22ac=2ac2ac=22,0B,B=4.由正弦定理得a=bsinAsinB=2sin 3sin 4=3.又sin C=sin-3-4=sin 512=6+24,SABC=12absin C=12326+24=3+34.若選acos B=bsin A.由正弦定理得sin Acos B=sin Bsin A,0A,sin A0,cos B=sin B,tan B=1.0B,B=4,下面解法同,S