數(shù)學(xué)學(xué)科導(dǎo)論課件

1、經(jīng)濟數(shù)學(xué)學(xué)院歡迎您343678/7/20221實變函數(shù)論的產(chǎn)生 及其意義 朱文莉 西南財經(jīng)大學(xué)經(jīng)濟數(shù)學(xué)學(xué)院8/7/20222 實變函數(shù)論 是數(shù)學(xué)專業(yè)的一門重要的基礎(chǔ)課程, 通過學(xué)習使學(xué)生掌握近代抽象分析的基本思想, 加深對數(shù)學(xué)分析知識的理解, 深化對中學(xué)數(shù)學(xué)有關(guān)內(nèi)容的認識, 同時為今后學(xué)習泛函分析、函數(shù)論、概率論、微分方程、拓撲學(xué)、金融隨機分析等課程提供必要的測度論和積分論的基礎(chǔ), 并為進一步學(xué)習現(xiàn)代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)打下必要的基礎(chǔ).8/7/20223世界數(shù)學(xué)發(fā)展史,一般劃分為四個時期：數(shù)學(xué)的產(chǎn)生(公元前3000年公元前5世紀)；常量數(shù)學(xué)即初等數(shù)學(xué) (公元5世紀公元17世紀)；變量數(shù)學(xué)即近代數(shù)學(xué) (公元

2、17世紀19世紀末)；現(xiàn)代數(shù)學(xué) (19世紀至今)；8/7/20224 變量數(shù)學(xué)發(fā)展的第二個決定性步驟, 是英國的牛頓和德 國的萊布尼茲完成了微積分的創(chuàng)建. 微積分是17世紀發(fā)現(xiàn) 的最偉大的數(shù)學(xué)工具. 有了它, 數(shù)學(xué)研究的許多嶄新的、 廣泛的領(lǐng)域才得以迅速開辟和發(fā)展. 恩格斯高度評價這一人類智力奮斗的結(jié)晶：“在一切理論成就中, 未必再有什么象17世紀下半葉微積分的發(fā)明那樣被看作人類精神的最高勝利”. 微積分在數(shù)學(xué)發(fā)展中的地位是十分重要的, 它是繼歐幾里得幾何學(xué)之后, 全部數(shù)學(xué)中的一個最偉大的創(chuàng)造. 但是微積分的發(fā)展經(jīng)歷了漫長而曲折的道路, 才成為數(shù)學(xué)中的一大部門數(shù)學(xué)分析, 成為現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)發(fā)展的

3、強有力的計算工具.8/7/20225一、牛頓、萊布尼茲的微積分 17世紀是科學(xué)技術(shù)發(fā)展的一個重要時期, 在這一時期有許多科學(xué)問題需要解決, 這些問題也就成了促使微積分產(chǎn)生的重要因素. 歸結(jié)起來, 大體有四類問題：第一類問題是研究物體運動時直接表現(xiàn)出來的, 也就是求瞬時速度的問題; 第二類問題是求曲線的切線問題; 第三類問題是求函數(shù)的最大最小值問題; 第四類問題是求曲線的長度、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積、物體的重心以及一個體積相當大的物體作用于另一個物體產(chǎn)生的引力等問題. 17世紀許多著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家對上述問題作了大量的研究工作, 如費馬、笛卡爾、開普勒等都提出過許多有價值的理論, 為

4、微積分理論的創(chuàng)立做出了十分重要的貢獻.8/7/20226 牛頓研究微積分著重于以運動來考察. 1669年在一篇 名為運用無窮多項分析學(xué)的論文中, 牛頓不僅給出 了求一個變量對另一個變量瞬時變化率的普遍方法, 而且還證明了面積可由求變化率的逆過程得到, 因為面積也正是用無窮小面積的和來表示的. 萊布尼茲是德國博學(xué)的哲學(xué)家和著名的數(shù)學(xué)家, 他在研究求曲線切線和求曲邊梯形的面積中, 獨立地建立了一套微積分理論. 他注意到求曲線的切線需要確定曲線的縱坐標之差和橫坐標之差的比, 而求曲邊梯形的面積, 則需要確定曲線的縱坐標之和, 于是他把微分問題與積分問題聯(lián)系起來, 把兩者看作互逆運算, 從而創(chuàng)立了一套

5、關(guān)于無限小量的“求差法”和“求和法”, 即微分學(xué)和積分學(xué). 牛頓和萊布尼茲在創(chuàng)建微積分上的基本功績是把前人在實際中應(yīng)用的某一方法加以概括和提升使之變成適合一般的運算方法, 并且指出微分和積分的互逆過程.ppt曲邊梯形面積問題在p9, 稍后講8/7/20227微積分繼續(xù)發(fā)展的三個方向 外微分形式 (整體微分幾何)（微積分基本定理如何在高維空間得到體現(xiàn)）復(fù)數(shù)域上的微積分（復(fù)變函數(shù)）微積分的深化和拓展（實變函數(shù)）下面我們就給大家介紹一下黎曼積分.8/7/20228黎曼積分問題舉例1. 曲邊梯形的面積矩形面積梯形面積設(shè)曲邊梯形是由連續(xù)曲線以及兩直線所圍成 ,求其面積 A .8/7/20229解決步驟

6、:1) 大化小.在區(qū)間 a , b中任意插入 n 1 個分點用直線將曲邊梯形分成 n 個小曲邊梯形;2) 常代變.在第i 個窄曲邊梯形上任取作以為底 ,為高的小矩形,并以此小矩形面積近似代替相應(yīng)窄曲邊梯形面積得8/7/2022103) 近似和.4) 取極限.令則曲邊梯形面積8/7/202211 解決問題的方法步驟:“大化小 , 常代變 , 近似和 , 取極限 ” 所求量極限結(jié)構(gòu)式: 特殊乘積和式的極限黎曼積分定義一組分點任取且有界, 在中任意取時只要8/7/202212總趨于確定的常數(shù) I ,則稱此極限 I 為函數(shù)在區(qū)間上的黎曼積分,即此時稱 f ( x ) 在 a , b 上黎曼可積 .記作

7、8/7/202213積分上限積分下限被積函數(shù)被積表達式積分變量積分和黎曼積分僅與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān) .8/7/202214定理1.定理2.且只有有限個間斷點 黎曼可積的充分條件:8/7/202215xi-1 xixi-1 xif(x)在a , b上Riemann可積8/7/202216xi-1 xi8/7/202217xi-1 xi8/7/202218二、積分學(xué)的一次革命 測度論、勒貝格積分1. 勒貝格積分的產(chǎn)生 在微積分學(xué)中, 主要是以連續(xù)性、可微性、黎曼可積性三個方面來研究函數(shù)(包括函數(shù)序列的極限函數(shù)). 如果說微積分學(xué)中所涉及的函數(shù)其性質(zhì)都是比較“好”的函數(shù), 至少“基本”上是連續(xù)的

8、函數(shù), 那么實變函數(shù)論是從連續(xù)性、可微性、可積性三個方面來討論最一般的函數(shù). 如果間斷點太多, 則無論是可導(dǎo)性還是可積性就都成問題了, 但非連續(xù)的函數(shù)是我們常常會碰到和必須處理的. 8/7/202219 十九世紀初, 微積分學(xué)已經(jīng)基本上成熟了但是數(shù)學(xué)家 卻逐漸發(fā)現(xiàn)分析學(xué)的基礎(chǔ)本身還存在著問題, 諸如極端病態(tài)函數(shù)D(x) 是黎曼意義下不可積函數(shù)的最簡單代表. 著名的Dirichlet函數(shù)在Riemann積分意義下就是個處處不連續(xù)的不可積的函數(shù).8/7/2022200 1這是因為或者因為所以D(x)不是黎曼可積的.8/7/202221注：D(x)的下方圖形可看成由0,1中每個有理點長出的單位線段組

9、成.0 1由此可見, 引起函數(shù)f(x)黎曼不可積的原因是: 當把曲邊梯形分為若干個小曲邊梯形時, 在小區(qū)間上函數(shù)值變化很大, 從而用小矩形去替代曲邊梯形時誤差就會相當大. 針對這種情況, 可以嘗試一種改進的方案.8/7/202222 象Dirichlet這種病態(tài)函數(shù)的出現(xiàn), 破壞了18世紀古典 數(shù)學(xué)的優(yōu)美, 人們究竟該如何對待它？一種批評意見認為“這是一種變態(tài)的不健康的函數(shù)”, “它是無秩序和混亂的標志”, “脫離實際的空洞的抽象的理論”,其中法國大數(shù)學(xué)家龐加萊(1854-1912)尤其懷疑這種理論. 這些都促使數(shù)學(xué)家們深入研究, 設(shè)法處理這些函數(shù), 僅僅依靠直觀觀察和猜測是不行的, 必須深入

10、研究各種函數(shù)的性質(zhì). 比如, 連續(xù)函數(shù)必定可積, 但是具有什么樣性質(zhì)的不連續(xù)函數(shù)也可積呢？如果改變積分的定義, 可積的條件又是什么樣的？等等. 8/7/202223 對病態(tài)函數(shù)的研究, 說明真理并不因為龐加萊 權(quán)威的反對而變得停滯不前. 法國數(shù)學(xué)家勒貝格(1875 -1941) 不聲不響地研究各種病態(tài)函數(shù) , 終于導(dǎo)致了一場積分學(xué)的革命. 為使f(x)在a,b上Riemann可積, 按Riemann積分思想, 必須使得分劃后在多數(shù)小區(qū)間上的振幅足夠小(正是這一點, 使定義出來的積分, 嚴重的依賴于被積函數(shù)的連續(xù)性), 這迫使在較多地方振動的函數(shù)不可積 .Lebesgue提出, 不從分割定義域入

11、手, 而從分割值域入手.8/7/2022242. Lebesgue積分思想簡介yiyi-1用 mEi 表示 Ei 的“長度”1902年Lebesgue在其論文“積分、長度與面積”中提出.(參見:Lebesgue積分的產(chǎn)生及其影響, 數(shù)學(xué)進展, 2002.1)8/7/202225yiyi-1即即 f(x)在 Ei上的振幅不會大于,其中 mEi 表示 Ei 的“長度”，8/7/202226 即采取對值域作分劃, 相應(yīng)得到對定義域的分 劃(每一塊不一定是區(qū)間), 使得在每一塊上的振幅都很小, 即按函數(shù)值的大小對定義域的點加以歸類.yiyi-18/7/202227 例:如下圖表示關(guān)于函數(shù)f(x)的一種

12、分劃, 就相 應(yīng)于“第二個小區(qū)間”的E2 , 即x軸上用粗線標出的四個小區(qū)間的并集, 而mE2 自然應(yīng)當理解為這四個小區(qū)間的長度之和.xyoy1y28/7/202228 對此Lebesgue自己曾經(jīng)作過 一個比喻, 他說： 假如我欠人家一筆錢, 現(xiàn)在要還, 此時按鈔票的面值的大小分類, 然后計算每一類的面額總值, 再相加, 這就是Lebesgue積分思想. 如不按面額大小分類, 而是按從錢袋取出的先后次序來累計計算總數(shù), 那就是Riemann積分思想.8/7/2022293. Lebesgue積分構(gòu)思產(chǎn)生的問題 上述的這個想法是否可行呢? 從要求和式 S 的極限存在的角度看, 這個方案無疑優(yōu)于

13、黎曼積分的思想, 這是因為:8/7/202230 例如對D(x), 如果1yi-1,yi,那么集 Ei 就是0,1中有理數(shù)全體; 如果0 yi-1,yi, 那么集 Ei 就是0,1中無理數(shù)全體. 問題就是區(qū)間的 “長度” 概念能否推廣到這種復(fù)雜的點集上呢?yiyi-18/7/202231 因此, 要實施新方案, 第一步我們自然希望把“長度”概念推廣到一些較為復(fù)雜的點集上去.這樣的話, 一切有界函數(shù)都可以積分了. 我們只能做到直線上相當廣泛的一類集合(即勒貝格可測集)都有“長度”(即勒貝格測度). 然而, 一般說來這是辦不到的. 既然只有一部分集合才具有“長度”, 那么第二步就要解決對怎樣的函數(shù)

14、 f(x) 才能使Ei=x|yi-1f(x)yi是有“長度”的集.8/7/202232 最后, 第三步我們再來討論上面這類函數(shù)什么 時候可積、積分 (即勒貝格積分) 的性質(zhì)和應(yīng)用 以及它和黎曼積分的關(guān)系.實變函數(shù)論包含四部分: 第一部分是集合論; 第二部分是Lebesgue測度論; 第三部分是可測函數(shù); 第四部分是Lebesgue積分論.實變函數(shù)論的理論基礎(chǔ)和方法： 集合論為基礎(chǔ)、測度論為理論、極限為方法. 8/7/2022334. 集合論中的一些例子(1) Achilles追龜 8/7/2022340(甲) （乙） 3/4 7/8 15/16 1甲的速度為1，乙的速度為1/2問題：時間由時刻

15、組成, 每一時刻, 甲、乙都在一確定點上. 由于甲、乙跑完相應(yīng)路程所用時間一樣, 故甲、乙所用“時刻數(shù)”一樣, 從而跑過的點的“個數(shù)”也一樣.8/7/202235(2) Hilbert旅館問題1, 2, 3, 4, 5, 6,a1, a2, a3, a4, a5, a6, 問下列情況是否能把新來的人安排下：1. 又來了有限個人b1, b2, b3, , bn3. 每個人帶無限多個親戚(親戚可排個隊)4. 又來了0,1個人2. 每個人帶一個親戚b1, b2, b3, , bn, 8/7/202236Hilbert旅館問題解答1, 2, 3, 4, 5, 6,a1, a2, a3, a4, a5,

16、 a6, 1. b1, b2, b3 , , bn , a1 , a2 , a3 , 2. b1, a1 , b2, a2 , b3, a3 , 3. a1 , a2 , a3 , a4 , a11, a12, a13, a14, a21, a22, a23, a24, a31, a32, a33, a34, 不能安排進去因為(0,1是不可數(shù)集)8/7/202237 例1 將若干個紅球與白球排成一排, 且紅白 球交叉排列, 任意兩個紅球之間有白球, 任意兩個白球之間有紅球, 在其中任意截取一斷, 紅白球的個數(shù)有三種可能：或紅白球一樣多或紅球多一個或白球多一個, 即在任意截取的一斷中紅白球個數(shù)至多相差一個.有理數(shù)與無理數(shù)誰更多？8/7/202238 直線上的有理數(shù)、無理數(shù)表面看來很類似, 任意兩個有理數(shù)中間有無理數(shù), 任意兩個無理數(shù)中間有有理數(shù), 在其中任取一節(jié)線段, 無理數(shù)、有理數(shù)的個數(shù)似乎也有三種可能：或有理數(shù)、無理數(shù)一樣多或有理數(shù)多一個或無理數(shù)多一個, 即在任一片段中有理數(shù)、無理數(shù)個數(shù)至多相差一個.