隨機(jī)信號(hào)分析：8微積分

1、隨機(jī)過程的時(shí)域分析平穩(wěn)過程兩個(gè)隨機(jī)過程復(fù)過程隨機(jī)過程的微積分各態(tài)歷經(jīng)過程高斯過程隨機(jī)過程的微積分隨機(jī)序列的收斂過程的連續(xù)過程的微分過程的積分1.距離空間在所有的隨機(jī)變量和過程組成的空間中，定義，則可以證明它就是一種距離2范數(shù)3內(nèi)積3.內(nèi)積空間 若稱x，y正交。許瓦茲不等式隨機(jī)空間中內(nèi)積隨機(jī)序列的收斂隨機(jī)序列的五種收斂模式：1）處處收斂2）以概率1收斂3）依概率收斂4）均方收斂5）依分布收斂收斂模式間的關(guān)系隨機(jī)序列的五種收斂模式的關(guān)系：收斂性減弱隨機(jī)過程的連續(xù)性X(t)的處處連續(xù)普通函數(shù) x(t)的處處連續(xù)隨機(jī)過程的處處連續(xù)X(t)的均方連續(xù)定義充要條件期望的連續(xù)性平穩(wěn)過程的連續(xù)性處處連續(xù)普通函

2、數(shù) 的處處連續(xù)則稱函數(shù)x(t)在t0點(diǎn)是連續(xù)的。若x(t)在區(qū)域tT上每一點(diǎn)連續(xù)，則稱x(t)在區(qū)域T上連續(xù)。設(shè)函數(shù)x(t)在點(diǎn)t0的某個(gè)鄰域內(nèi)是有定義的。當(dāng)自變量的增量 t趨向于0時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)的增量x(t0+t)-x(t0)也趨向于0。即滿足隨機(jī)過程X(t)的每一條樣本函數(shù)X（t,i）是一個(gè)關(guān)于變量t的普通函數(shù)。如果對(duì)于每一條樣本函數(shù)X（t,i）在區(qū)域tT上連續(xù)，則稱隨機(jī)過程X(t)在區(qū)域T上處處連續(xù)。隨機(jī)過程的處處連續(xù)均方連續(xù)的定義以后講隨機(jī)過程連續(xù)就是指隨機(jī)過程均方連續(xù)。用下式符號(hào)表示均方連續(xù)：則稱隨機(jī)過程X（t）在區(qū)域tT上均方連續(xù)。如果隨機(jī)過程X（t）的一階矩和二階矩都存在，并且在

3、區(qū)域 tT 上滿足隨機(jī)過程的處處連續(xù)隨機(jī)過程的均方連續(xù)均方連續(xù)的充要條件隨機(jī)過程X(t)在區(qū)域tT上均方連續(xù)隨機(jī)過程X(t)在區(qū)域 t1 , t2 T上的自相關(guān)函數(shù)RX(t1,t2)在( t1, t2 )上二元連續(xù)隨機(jī)過程X(t)在區(qū)域 t1 , t2 T 上的自相關(guān)函數(shù)RX(t1,t2)在(t,t)上二元連續(xù) (t1t2t 對(duì)角線)X(t)是一個(gè)隨機(jī)過程，它的連續(xù)是均方連續(xù)。RX(t1,t2)在區(qū)域 t1 , t2 T上關(guān)于(t1, t2 )的二元普通函數(shù)，它的連續(xù)是多元函數(shù)的連續(xù)。數(shù)學(xué)期望均方連續(xù)EX(t)是關(guān)于t的普通函數(shù)，其連續(xù)是一元函數(shù)的連續(xù)。連續(xù)隨機(jī)過程求極限與求期望次序可交換。如

4、果隨機(jī)過程X(t)是連續(xù)的（均方連續(xù)），則它的數(shù)學(xué)期望也是連續(xù)的。即普通函數(shù)的極限過程的均方極限平穩(wěn)過程均方連續(xù)的充要條件平穩(wěn)過程X(t)在區(qū)域tT上均方連續(xù)平穩(wěn)過程X(t)在區(qū)域 T上的自相關(guān)函數(shù)RX()在T一元連續(xù)平穩(wěn)過程X(t)在區(qū)域 T 上的自相關(guān)函數(shù)RX()在0點(diǎn)連續(xù)上述結(jié)論是隨機(jī)過程均方連續(xù)在平穩(wěn)條件下的特例。隨機(jī)過程的微積分隨機(jī)序列的收斂過程的連續(xù)過程的微分過程的積分處處可微普通函數(shù)的可微則稱函數(shù)x(t) 在t0點(diǎn)是可微的。如果x(t) 在區(qū)域tT上每一點(diǎn)可微,則稱x(t) 在區(qū)域T上可微。設(shè)函數(shù)x (t)在點(diǎn)t0的某個(gè)鄰域內(nèi)是有定義。t是鄰域內(nèi)的任意一點(diǎn)，滿足隨機(jī)過程的處處可微

5、如果對(duì)于隨機(jī)過程X(t)的每一條樣本函數(shù)X(t,i)在區(qū)域 tT上可微，則稱隨機(jī)過程 X(t)在區(qū)域T上處處可微。均方可微的定義則稱隨機(jī)過程X（t）在區(qū)域tT上均方可微。如果隨機(jī)過程X（t）在區(qū)域 tT 上滿足以后講隨機(jī)過程可微就是指隨機(jī)過程均方可微。符號(hào)用函數(shù)可微的符號(hào)。但意義上不同，其對(duì)象是隨機(jī)過程，不是普通函數(shù)。其求導(dǎo)結(jié)果是隨機(jī)過程。均方可微的條件隨機(jī)過程X(t)在區(qū)域 tT 上 均方可微隨機(jī)過程X(t)在區(qū)域 t1 , t2 T上的自相關(guān)函數(shù)RX（t1，t2）在（t，t）上 二元連續(xù)隨機(jī)過程X(t)在區(qū)域 t1 , t2 T 上的自相關(guān)函數(shù)RX（t1，t2）在（t，t）上 二元可微 （

6、t1t2t） 隨機(jī)過程X(t)在區(qū)域 tT 上 均方連續(xù)導(dǎo)數(shù)X(t)的性質(zhì)Y(t)的數(shù)學(xué)期望均方可微隨機(jī)過程X(t)的導(dǎo)數(shù)為隨機(jī)過程導(dǎo)數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于過程數(shù)學(xué)期望的導(dǎo)數(shù)。隨機(jī)過程的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算和期望運(yùn)算的次序可交換。Y(t)的自相關(guān)函數(shù)導(dǎo)數(shù)X(t)的性質(zhì)X(t)和Y(t)的互相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)和互相關(guān)函數(shù)間的關(guān)系其中平穩(wěn)過程的導(dǎo)數(shù)平穩(wěn)且均方可微過程X(t)的導(dǎo)數(shù)Y(t)X(t)Y(t)的數(shù)學(xué)期望為0Y(t)的自相關(guān)函數(shù)只與時(shí)間的間隔有關(guān)。RY(0)存在 平穩(wěn)過程X(t)在區(qū)域tT上均方可微實(shí)平穩(wěn)過程均方可微 RX (0)0為什么？舉例（均方可微）隨機(jī)過程X（t）其中是常數(shù)，是服從（0，2 ）上的均勻分布的隨機(jī)變量。求：X（t）導(dǎo)數(shù)的數(shù)學(xué)期望和自相關(guān)函數(shù)隨機(jī)過程的微分處處可微均方可微的定義均方可微的條件導(dǎo)數(shù)X(t)的性質(zhì)平穩(wěn)過程的導(dǎo)數(shù)隨機(jī)過程的積分定義積分的期望、均方值、方差積分的自相關(guān)函數(shù)均方積分的定義定積分變上限積分廣義積分積分的期望、均方值、方差期望：隨機(jī)過程的積分運(yùn)算和期望運(yùn)算的次序可交換。均方值方差積分的自相關(guān)函數(shù)廣義積分變上限積分舉例（均方積分）隨機(jī)過程X（t）其中，是服從（0，2 ）上的均勻分布。求:Y的期望和方差?隨機(jī)過程的微積分隨機(jī)序列的收斂過程的連續(xù)過程的微分過程的積分五種收斂模式及其相互關(guān)系處處連續(xù)均方連續(xù)（定義、條件、期望、平穩(wěn)）處處可微均方可微（定義、