控制工程基礎(chǔ)3

1、第三章 線性系統(tǒng)的時(shí)域分析 3.1 引言3.2 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性3.3 勞斯赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)3.4 系統(tǒng)時(shí)間相應(yīng)的性能指標(biāo)3.5 典型系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能分析3.6 高階系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)3.7 線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差8/6/20221電子信息工程學(xué)院3.1 引言對自動(dòng)控制系統(tǒng)性能的基本要求：穩(wěn)準(zhǔn)快穩(wěn)定性： 穩(wěn)定性是對系統(tǒng)的基本要求，不穩(wěn)定的系統(tǒng)不能實(shí)現(xiàn)預(yù)定任務(wù)。穩(wěn)定性通常由系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)決定與外界因素?zé)o關(guān)?？焖傩裕?對過渡過程的形式和快慢提出要求，一般由動(dòng)態(tài)性能描述。準(zhǔn)確性： 在參考輸入信號(hào)作用下，當(dāng)系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)后，其穩(wěn)態(tài)輸出與參考輸入所要求的期望輸出之差叫做給定的穩(wěn)態(tài)誤差。顯然，這種誤差越小，表示系統(tǒng)的輸出跟隨

2、參考輸入的精度越高，準(zhǔn)確性用穩(wěn)態(tài)誤差來表示。8/6/20222電子信息工程學(xué)院系統(tǒng)分析時(shí)域分析頻域分析根軌跡分析系統(tǒng)分析 ：在給定系統(tǒng)的條件下，將物理系統(tǒng)抽象成數(shù)學(xué)模型，以其數(shù)學(xué)模型為依據(jù)，用成熟的數(shù)學(xué)方法和先進(jìn)的計(jì)算工具對表征系統(tǒng)特性的性能指標(biāo)進(jìn)行分析、研究和評(píng)價(jià)。 以微分方程或傳遞函數(shù)為數(shù)學(xué)模型，直接在時(shí)間域中研究線性定常系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)，并對系統(tǒng)進(jìn)行分析及評(píng)價(jià)。 時(shí)域分析：特點(diǎn)：直觀、準(zhǔn)確、物理概念清楚 。不適合高階復(fù)雜系統(tǒng)的分析 局限性：數(shù)學(xué)模型 系統(tǒng)分析 系統(tǒng)綜合校正和設(shè)計(jì)8/6/20223電子信息工程學(xué)院3.2 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性一 、穩(wěn)定性的基本概念 例3-1 單擺的運(yùn)動(dòng)例3-2 倒

3、擺的運(yùn)動(dòng)例3-3 光滑軌道平衡狀態(tài)平衡狀態(tài)平衡狀態(tài)平衡狀態(tài) ，穩(wěn)定的平衡狀態(tài)不穩(wěn)定平衡狀態(tài)穩(wěn)定不穩(wěn)定大范圍（全局）穩(wěn)定小范圍（局部）穩(wěn)定穩(wěn)定的平衡工作狀態(tài)平衡狀態(tài)不穩(wěn)定的平衡工作狀態(tài)大范圍穩(wěn)定的平衡工作狀態(tài)小范圍穩(wěn)定的平衡工作狀態(tài)8/6/20224電子信息工程學(xué)院線性系統(tǒng)的平衡狀態(tài)描述線性系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的微分方程如下 對于線性控制系統(tǒng)，系統(tǒng)僅有唯一的平衡工作點(diǎn)0。因此平衡工作點(diǎn)的穩(wěn)定性將直接稱其為系統(tǒng)的穩(wěn)定性。系統(tǒng)受到擾動(dòng)大小（初始狀態(tài)）只影響自由運(yùn)動(dòng)中各個(gè)模態(tài)前的系數(shù)，不會(huì)影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性。在系統(tǒng)輸入為0時(shí)，自由運(yùn)動(dòng)0是系統(tǒng)唯一的平衡點(diǎn)。8/6/20225電子信息工程學(xué)院c(t)t非線性系統(tǒng)的平衡

4、狀態(tài)平衡狀態(tài)下系統(tǒng)停止運(yùn)動(dòng)，這意味著系統(tǒng)中變量不再隨著時(shí)間的推移而變化，所以平衡狀態(tài)下變量的各階導(dǎo)數(shù)為0?？紤]下述非線性一階系統(tǒng)：平衡狀態(tài)： 設(shè)系統(tǒng)的初始狀態(tài)為 系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)：c01c01過阻尼ImRe(b) 01欠阻尼ImRe(c) =1臨界阻尼t(yī)h(t)012th(t)1001tt0h(t)1h(t)8/6/202240電子信息工程學(xué)院3、系統(tǒng)參數(shù)對階躍響應(yīng)的影響（1） 對階躍響應(yīng)的影響 通常取 為宜，此時(shí)超調(diào)量適度，調(diào)節(jié)時(shí)間也較短。 （2）T對階躍響應(yīng)的影響 th(t)0t12t13t1T=T0T=2T0T=3T0如果參數(shù) 增大幾倍，則響應(yīng)曲線就在橫坐標(biāo)方向“展寬”同樣的倍數(shù)。 8/6/2

5、02241電子信息工程學(xué)院4、二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)（二階欠阻尼系統(tǒng)） (1)上升時(shí)間 (2)峰值時(shí)間 由于8/6/202242電子信息工程學(xué)院(3)超調(diào)量由于 故上式可寫為 (4)調(diào)節(jié)時(shí)間進(jìn)一步近似為 8/6/202243電子信息工程學(xué)院3.6 高階系統(tǒng)的時(shí)域分析在有些情況下（去掉某些零極點(diǎn)對系統(tǒng)的響應(yīng)的曲線形態(tài)影響不大），可以找到系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一對主導(dǎo)極點(diǎn)，將高階系統(tǒng)降階為二階系統(tǒng)。系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 ：求系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)8/6/202244電子信息工程學(xué)院假設(shè)閉環(huán)傳遞函數(shù)均為單極點(diǎn)和單零點(diǎn)，應(yīng)用留數(shù)法可得 各運(yùn)動(dòng)模態(tài)在整個(gè)階躍響應(yīng)中的作用取決于兩個(gè)因素：每一項(xiàng)在整個(gè)輸出中所占的“比重

6、”即的大小，愈大，其所對應(yīng)的運(yùn)動(dòng)模態(tài)對整個(gè)輸出的貢獻(xiàn)就愈大；極點(diǎn)離虛軸的相對距離。極點(diǎn)離虛軸愈遠(yuǎn)，其對應(yīng)的暫態(tài)分量衰減愈快。因而，遠(yuǎn)離虛軸的極點(diǎn)所對應(yīng)的運(yùn)動(dòng)模態(tài)在整個(gè)系統(tǒng)到達(dá)穩(wěn)態(tài)之前早已消逝，而那些離虛軸較近的極點(diǎn)所對應(yīng)的運(yùn)動(dòng)模態(tài)衰減很慢，在整個(gè)過渡過程中始終起作用。8/6/202245電子信息工程學(xué)院極點(diǎn)所對應(yīng)的運(yùn)動(dòng)命題1 若閉環(huán)傳遞函數(shù)中一極點(diǎn)與某零點(diǎn)靠的很近，則可認(rèn)為該極點(diǎn)被零點(diǎn) 抵消。偶極子8/6/202246電子信息工程學(xué)院命題2 如果閉環(huán)傳遞函數(shù)中有某一極點(diǎn)與其它的零點(diǎn)和極點(diǎn)相比遠(yuǎn)離原點(diǎn)，一般可忽略該極點(diǎn)的作用。由于8/6/202247電子信息工程學(xué)院主導(dǎo)極點(diǎn) 對于一個(gè)穩(wěn)定的高階系

7、統(tǒng)，如果存在靠近虛軸的一個(gè)實(shí)數(shù)極點(diǎn)或一對共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，且在其附近又無零點(diǎn)存在，其它的極點(diǎn)或因遠(yuǎn)離虛軸或?yàn)榕紭O子而被忽略掉，則這個(gè)或這對極點(diǎn)稱為高階系統(tǒng)的閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)。它決定了高階系統(tǒng)的過渡過程的主要特征。 由于欠阻尼情況的二階系統(tǒng)有較好的過渡過程，所以在實(shí)際的工程設(shè)計(jì)中，常取主導(dǎo)極點(diǎn)為一對共軛復(fù)極點(diǎn)。此時(shí)，高階系統(tǒng)可用其主導(dǎo)極點(diǎn)所對應(yīng)的二階系統(tǒng)近似。因此可用二階系統(tǒng)的分析方法來估計(jì)原高階系統(tǒng)的過渡過程及各性能指標(biāo)。8/6/202248電子信息工程學(xué)院降階時(shí)注意系統(tǒng)增益不變8/6/202249電子信息工程學(xué)院零極點(diǎn)對階躍響應(yīng)的影響 1、零點(diǎn)對階躍響應(yīng)的影響假設(shè)系統(tǒng)增加一個(gè)閉環(huán)實(shí)零點(diǎn)，即系統(tǒng)中增加

8、了一個(gè)串連環(huán)節(jié)且閉環(huán)零點(diǎn)位于復(fù)平面的左半平面可見，增加一個(gè)閉環(huán)左實(shí)零點(diǎn)后，系統(tǒng)階躍響應(yīng)增加了一項(xiàng)，該項(xiàng)的值與 的變化率成正比，與該零點(diǎn)離虛軸的距離成反比。顯然，該零點(diǎn)的增加將使系統(tǒng)響應(yīng)過程加快，超調(diào)量增大，使系統(tǒng)對輸入作用的反應(yīng)靈敏了。8/6/202250電子信息工程學(xué)院反之，如果增加的閉環(huán)零點(diǎn)位于復(fù)平面的右半平面，即 顯然，這將使系統(tǒng)響應(yīng)過程變慢，超調(diào)量減小，系統(tǒng)對輸入作用的反應(yīng)變滯呆了。8/6/202251電子信息工程學(xué)院2、極點(diǎn)對階躍響應(yīng)的影響假設(shè)系統(tǒng)增加一個(gè)閉環(huán)左實(shí)極點(diǎn)系統(tǒng)在單位階躍信號(hào)作用下輸出的拉普拉斯變換像函數(shù) 系統(tǒng)中增加一個(gè)閉環(huán)左實(shí)極點(diǎn)，系統(tǒng)的過渡過程將變慢，超調(diào)量將減小，系統(tǒng)

9、的反應(yīng)變得較為呆滯。 對于閉環(huán)傳遞函數(shù)存在右實(shí)極點(diǎn)的情況，系統(tǒng)時(shí)域響應(yīng)是發(fā)散的，系統(tǒng)不穩(wěn)定，所以不予討論。 8/6/202252電子信息工程學(xué)院3.7 線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差討論穩(wěn)態(tài)誤差的前提條件：穩(wěn)定系統(tǒng)控制系統(tǒng)的性能 動(dòng)態(tài)性能 穩(wěn)態(tài)性能 穩(wěn)態(tài)誤差控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，是系統(tǒng)控制準(zhǔn)確度(控制精度)的一種度量。 穩(wěn)態(tài)誤差的不可避免性：穩(wěn)態(tài)誤差是系統(tǒng)的原理性誤差，是由系統(tǒng)本身的特性和系統(tǒng)的輸入的形式?jīng)Q定的。 本節(jié)主要討論線性控制系統(tǒng)由于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、輸入作用形式和類型所產(chǎn)生的穩(wěn)態(tài)誤差即原理性穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算方法。8/6/202253電子信息工程學(xué)院一、穩(wěn)態(tài)誤差的定義1、誤差的定義定義1 上式定義的誤差，在系

10、統(tǒng)性能指標(biāo)的提法中經(jīng)常使用，但在實(shí)際系統(tǒng)中有時(shí)無法量測，因而一般僅具有數(shù)學(xué)意義。定義2 被控量的期望值與實(shí)際值之間的差值。將被控量的期望值用系統(tǒng)的輸入信號(hào)替代，相應(yīng)地用反饋信號(hào)替代被控量的實(shí)際值。從系統(tǒng)輸入端定義從系統(tǒng)輸出端定義r(t)e(t)c(t) G(s)F(s)b(t)8/6/202254電子信息工程學(xué)院兩種定義之間的關(guān)系r(t)r(r)e(t)G(s)F(s)c(t)1/F(s)r(t)e(t)c(t) G(s)F(s)b(t)等效單位反饋被控量的期望值Creq 對于單位負(fù)反饋系統(tǒng)，兩種定義是一致的 對于非單位反饋系統(tǒng) 8/6/202255電子信息工程學(xué)院2、穩(wěn)態(tài)誤差的定義穩(wěn)態(tài)分量

11、暫態(tài)分量 ，對于穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)在輸入量或擾動(dòng)的作用下，經(jīng)歷過渡過程進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后的誤差稱為穩(wěn)態(tài)誤差 定義根據(jù)拉氏變換的終值定理，當(dāng) 在 右半平面及虛軸上解析時(shí)，有不滿足中值定理時(shí)8/6/202256電子信息工程學(xué)院二、穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算1、控制輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差及靜態(tài)誤差系數(shù)r(t)e(t)c(t) G(s)F(s)b(t)系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)。根據(jù)拉氏變換的終值定理，當(dāng) 在 右半平面及虛軸上解析時(shí)，有若sE(s)在原點(diǎn)有極點(diǎn)，可用中值定理求得，說明ess(t)是趨于無窮的，但具體的函數(shù)形式需由Laplace反變換來求。8/6/202257電子信息工程學(xué)院（1）單位階躍輸入 系統(tǒng)的靜態(tài)位置誤差系數(shù) ：定

12、義穩(wěn)態(tài)誤差輸入信號(hào)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)開還傳遞函數(shù)開環(huán)傳遞函數(shù)中含有積分單元的個(gè)數(shù) 0型系統(tǒng) 1型系統(tǒng) 2型系統(tǒng) 8/6/202258電子信息工程學(xué)院（2）單位斜坡輸入 系統(tǒng)的靜態(tài)速度誤差系數(shù) ：定義（3）單位加速度輸入 系統(tǒng)的靜態(tài)加速度誤差系數(shù) ：定義8/6/202259電子信息工程學(xué)院誤差系數(shù)系統(tǒng)類型靜態(tài)位置誤差系數(shù)靜態(tài)速度誤差系數(shù)靜態(tài)加速度誤差系數(shù)0型系統(tǒng)1型系統(tǒng)2型系統(tǒng)000靜態(tài)誤差系數(shù)與系統(tǒng)類型之間的關(guān)系8/6/202260電子信息工程學(xué)院單位階躍函數(shù) 輸入信號(hào)靜差系統(tǒng)類型單位斜坡函數(shù)單位加速度函數(shù)0型系統(tǒng)1型系統(tǒng)02型系統(tǒng)00穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)的類型和輸入信號(hào)之間的關(guān)系0型系統(tǒng)可以有靜差的

13、跟蹤階躍信號(hào)、不能夠跟蹤斜坡、加速度信號(hào)。有差系統(tǒng)1型系統(tǒng)可以無靜差的跟蹤階躍信號(hào)、有靜差的跟蹤斜坡信號(hào)、不能夠跟蹤加速度信號(hào)。一階無差系統(tǒng)2型系統(tǒng)可以無靜差的跟蹤階躍信號(hào)和斜坡信號(hào)、有靜差的跟蹤加速度信號(hào)。二階無差系統(tǒng)8/6/202261電子信息工程學(xué)院例3-13 設(shè)有一非單位反饋控制系統(tǒng)， , ，輸入信號(hào) ,試分別確定當(dāng) 為1和0.1時(shí)，系統(tǒng)輸出端的穩(wěn)態(tài)位置誤差 。系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)輸出端的穩(wěn)態(tài)位置誤差此時(shí)，系統(tǒng)輸出量的希望值為 解8/6/202262電子信息工程學(xué)院例3-14單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) ，求輸入 時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差 。1型單位負(fù)反饋穩(wěn)定系統(tǒng)單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) ，分

14、別求輸入 時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差 。例3-15此系統(tǒng)為1型單位負(fù)反饋穩(wěn)定系統(tǒng)8/6/202263電子信息工程學(xué)院例3-16已知閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 ，分別求斜坡輸入 和正弦輸入 時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。此系統(tǒng)為1型穩(wěn)定系統(tǒng)當(dāng)系統(tǒng)為斜坡輸入 時(shí) 當(dāng)輸入為正弦函數(shù) 時(shí) 不能應(yīng)用拉普拉斯變換的終值定理 8/6/202264電子信息工程學(xué)院2、擾動(dòng)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差R(s)E(s)N(s)C(s)B(s) 由擾動(dòng)信號(hào) 造成的誤差為非單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) 記擾動(dòng)誤差傳遞函數(shù) 根據(jù)拉氏變換的終值定理，當(dāng) 在 右半平面及虛軸上解析時(shí)，有8/6/202265電子信息工程學(xué)院 系統(tǒng)是否存在誤差取決于擾動(dòng)作用點(diǎn)之前傳遞函

15、數(shù) 所含有的積分環(huán)節(jié)個(gè)數(shù)，且穩(wěn)態(tài)誤差的大小與 的比例系數(shù)成反比。擾動(dòng)的穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、參數(shù)及輸入信號(hào)之間的關(guān)系擾動(dòng)輸入0008/6/202266電子信息工程學(xué)院例3-17 設(shè)比例控制系統(tǒng)如圖所示。圖中， 為單位階躍信號(hào)； 為比例控制器輸出轉(zhuǎn)矩，用以改變被控對象的位置； 為階躍擾動(dòng)轉(zhuǎn)矩。試求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。 K1R(s)E(s)M(s)N(s)系統(tǒng)為I型系統(tǒng), 對階躍輸入信號(hào)的穩(wěn)態(tài)誤差為零。 擾動(dòng)作用點(diǎn)前，積分環(huán)節(jié)個(gè)數(shù)為0，擾動(dòng)作用點(diǎn)后，積分環(huán)節(jié)個(gè)數(shù)為1，系統(tǒng)在擾動(dòng)階躍擾動(dòng)轉(zhuǎn)矩作用下的穩(wěn)態(tài)誤差 系統(tǒng)總的穩(wěn)態(tài)誤差8/6/202267電子信息工程學(xué)院三、減小或消除穩(wěn)態(tài)誤差的措施1、增大系統(tǒng)開環(huán)比

16、例系數(shù)或擾動(dòng)作用點(diǎn)之前的前向通道比例系數(shù) 增大開環(huán)比例系數(shù)以后，對于0型系統(tǒng)可以減小系統(tǒng)在階躍輸入時(shí)的位置誤差；對于I型系統(tǒng)，可以減小系統(tǒng)在斜坡輸入時(shí)的速度誤差；對于II型系統(tǒng)，可以減小系統(tǒng)在加速度輸入時(shí)的加速度誤差。 增大擾動(dòng)作用點(diǎn)之前的比例控制器增益 ，可以減小系統(tǒng)對擾動(dòng)的穩(wěn)態(tài)誤差。系統(tǒng)在擾動(dòng)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差與無關(guān)。因此，增大擾動(dòng)點(diǎn)之后的系統(tǒng)的前向通道的比例系數(shù) ，不能改變系統(tǒng)對擾動(dòng)的穩(wěn)態(tài)誤差數(shù)值。2、增加串連積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù) 增加開環(huán)傳遞函數(shù)中積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)，可以提高系統(tǒng)的無靜差度，增強(qiáng)系統(tǒng)的跟蹤能力；增加擾動(dòng)作用點(diǎn)之前的前向通道的積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)，可以增強(qiáng)系統(tǒng)對擾動(dòng)的抑制能力。3、采用復(fù)合控制 將反饋控制與擾動(dòng)信號(hào)的前饋控制或給定信號(hào)的順饋控制相結(jié)合。8/6/202268電子信息工程學(xué)院按輸入補(bǔ)償?shù)膹?fù)合控制誤差傳遞函數(shù)為前饋信號(hào)加到系統(tǒng)的輸入端，誤差傳遞函數(shù)為)( 0)( ,0)( )s(1(s) 2全補(bǔ)償取=F=sEsGGEr)()(1)()(1)()()(212+-=FsGsGsGsGsRsEsrE)(1)()(1)()()(sGsGsGsRsEsrE+-