2022年《直線平面垂直的判定及其性質(zhì)》教案

1、 2.3.1 直線與平面垂直的判定 一、教案目標 1、學(xué)問與技能（1）使同學(xué)把握直線和平面垂直的定義及判定定理；（2）使同學(xué)把握判定直線和平面垂直的方法；（ 3）培育同學(xué)的幾何直觀才能,使他們在直觀感知,操作確認的基礎(chǔ)上學(xué)會歸納、概括結(jié)論；2、過程與方法（1）通過教案活動,使同學(xué)明白,感受直線和平面垂直的定義的形成過程；（2）探究判定直線與平面垂直的方法；3、情態(tài)與價值 培育同學(xué)學(xué)會從“ 感性熟悉” 到“ 理性熟悉” 過程中獵取新知；二、教案重點、難點 直線與平面垂直的定義和判定定理的探究；三、教案設(shè)計（一）創(chuàng)設(shè)情形,揭示課題 1、老師第一提出問題：在現(xiàn)實生活中,我們常?？吹揭恍┲本€與平面垂直

2、的現(xiàn)象,例 如：“ 旗桿與地面,大橋的橋柱和水面等的位置關(guān)系” ,你能舉出一些類似的例子嗎？然 后讓同學(xué)回憶、摸索、爭論、老師對同學(xué)的活動賜予評判；2、接著老師指出：一條直線與一個平面垂直的意義是什么？并通過分析旗桿與它在地 面上的射影的位置關(guān)系引出課題內(nèi)容；（二）研探新知 1、為使同學(xué)學(xué)會從“ 感性熟悉” 到“ 理性熟悉” 過程中獵取新知,可再借助長方體模 型讓同學(xué)感知直線與平面的垂直關(guān)系；然后老師引導(dǎo)同學(xué)用“ 平面化” 的思想來摸索問 題：從直線與直線垂直、直線與平面平行等的定義過程得到啟示,能否用一條直線垂直于一個平面內(nèi)的直線來定義這條直線與這個平面垂直呢？并組織同學(xué)溝通爭論,概括其定

3、義；假如直線 L 與平面 內(nèi)的任意一條直線都垂直,我們就說直線 L 與平面 相互垂直,記作 L ,直線 L 叫做平面 的垂線,平面 叫做直線 L 的垂面；如圖 2.3-1 ,直線與平1 / 8 面垂直時 , 它們唯獨公共點 P 叫做垂足；并對畫示表示進行說明； L p 圖 2-3-1 2、老師提出問題,讓同學(xué)摸索：（1）問題：雖然可以依據(jù)定義判定直線與平面垂直,但這種方法實際上難以實施；有沒有比較便利可行的方法來判定直線和平面垂直呢？（2）師生活動：請同學(xué)們預(yù)備一塊三角形的紙片,我們一起來做如圖 2.3-2 試驗：過 ABC的頂點 A 翻折紙片,得到折痕 AD,將翻折后的紙片豎起放置在桌面上（

4、BD、DC與桌面接觸）,問如何翻折才能保證折痕 A B D C 圖 2.3-2 AD與桌面所在平面垂直？（3）歸納結(jié)論：引導(dǎo)同學(xué)依據(jù)直觀感知及已有體會（兩條相交直線確定一個平面）,進行合情推理,獲得判定定理：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,就該直線與此平面垂直；老師特殊強調(diào)：a 定理中的“ 兩條相交直線” 這一條件不行忽視；b 定理表達了“ 直線與平面垂直” 與“ 直線與直線垂直” 相互轉(zhuǎn)化的數(shù) 學(xué)思想；, 鞏固深化（三）實際應(yīng)用（1）課本 P69 例 1 教案（2）課本 P69 例 2 教案（四）歸納小結(jié),課后摸索 小結(jié)：采納師生對話形式,完成以下問題：請歸納一下獲得直線與平面垂直

5、的判定定理的基本過程；直線與平面垂直的判定2 / 8 定理,表達的教案思想方法是什么？課后作業(yè) : 課本 P70 練習(xí) 2 求證：假如一條直線平行于一個平面,那么這個平面的任何垂線都和這條直線垂直；摸索題：假如一條直線垂直于平面內(nèi)的很多條直線,那么這條直線就和這個平面垂直,這個結(jié)論對嗎？為什么？ 2.3.2 平面與平面垂直的判定 一、教案目標 1、學(xué)問與技能（1）使同學(xué)正確懂得和把握“ 二面角” 、“ 二面角的平面角” 及“ 直二面角” 、“ 兩 個平面相互垂直” 的概念；（2）使同學(xué)把握兩個平面垂直的判定定理及其簡潔的應(yīng)用；（3）使同學(xué)理睬“ 類比歸納” 思想在數(shù)學(xué)問題解決上的作用；2、過程

6、與方法（1）通過實例讓同學(xué)直觀感知“ 二面角” 概念的形成過程；（2）類比已學(xué)學(xué)問,歸納“ 二面角” 的度量方法及兩個平面垂直的判定定理；3、情態(tài)與價值 通過揭示概念的形成、進展和應(yīng)用過程,使同學(xué)理睬教案存在于觀實生活四周,從中激發(fā)同學(xué)積極思維,培育同學(xué)的觀看、分析、解決問題才能；二、教案重點、難點；重點：平面與平面垂直的判定；難點：如何度量二面角的大小；三、學(xué)法與教案用具；1、學(xué)法：實物觀看,類比歸納,語言表達；2、教案用具：二面角模型（兩塊硬紙板）四、教案設(shè)計（一）創(chuàng)設(shè)情形,揭示課題問題 1：平面幾何中“ 角” 是怎樣定義的？問題 2：在立體幾何中,“ 異面直線所成的角” 、“ 直線和平面

7、所成的角” 又是怎樣定義的？它們有什么共同的特點？3 / 8 以上問題讓同學(xué)自由發(fā)言,老師再作小結(jié),并順勢拋出問題：在生產(chǎn)實踐中,有很多 問題要涉及到兩個平面相交所成的角的情形,你能舉出這個問題的一些例子嗎？如修水壩、發(fā)射人造衛(wèi)星等,而這樣的角有何特點,該如何表示呢？下面我們共同來觀看 , 研探；（二）研探新知 1、二面角的有關(guān)概念 老師展現(xiàn)一張紙面,并對折讓同學(xué)觀看其狀,然后引導(dǎo)同學(xué)用數(shù)學(xué)思維摸索,并對以 上問題類比,歸納出二面角的概念及記法表示（如下表所示）角 二面角圖形 A 邊 B A 邊梭 l B 頂點 O 定義從平面內(nèi)一點動身的兩條射線（半 從空間始終線動身的兩個半平面所組直線）所組

8、成的圖形 成的圖形構(gòu)成射線 點（頂點）一射線半平面一 線（棱）一半平面表示AOB 二面角 -l- 或 -AB- 2、二面角的度量 二面角定理地反映了兩個平面相交的位置關(guān)系,如我們常說“ 把門開大一些” ,是指二面角大一些,那我們應(yīng)如何度量二兩角的大小呢？師生活動：師生共同做一個小試驗（預(yù)先預(yù)備好的二面角的模型）在其棱上位取一點為頂點,在兩個半平面內(nèi)各作一射線（如圖 2.3-3 ）,通過試驗操作,研探二面角大小的度量方法二面角的平面角；老師特殊指出：（1）在表示二面角的平面角時,要求“OAL”,OBL；O在 L 上位置無關(guān)；（2） AOB的大小與點（3）當二面角的平面角是直角時,這兩個平 面的位

9、置關(guān)系怎樣？承上啟下,引導(dǎo)同學(xué)觀看,類比、自主探究, B4 / 8 獲得兩個平面相互垂直的判定定理：一個平面過另一個平面的垂線,就這兩個平面垂直； C O A （三）應(yīng)用舉例,強化所學(xué)圖 2.3-3 例題：課本P.72 例 3 做法：老師引導(dǎo)同學(xué)分析題意,先讓同學(xué)自己動手推理證明,然后抽檢同學(xué)把握情 況,老師最終講評并板書證明過程；（四）運用反饋,深化鞏固 問題：課本 P.73 的探究問題 做法：同學(xué)摸索（或分組爭論）,老師與同學(xué)對話完成；（五）小結(jié)歸納,整體熟悉（1）二面角以及平面角的有關(guān)概念；（2）兩個平面垂直的判定定理的內(nèi)容,它與直線與平面垂直的判定定理有何關(guān)系？（六）課后鞏固,拓展思維

10、 1、課后作業(yè)：自二面角內(nèi)一點分別向兩個面引垂線,求證：它們所成的角與二兩角 的平面角互補；2、課后摸索問題：在表示二面角的平面角時,為何要求“AOB 的大小與點 O在 L 上的位置無關(guān)？OAL、 OB L” ？為什么 2、 3.3 直線與平面垂直的性質(zhì) 2、 3.4 平面與平面垂直的性質(zhì)一、教案目標 1、學(xué)問與技能（1）使同學(xué)把握直線與平面垂直,平面與平面垂直的性質(zhì)定理；（2）能運用性質(zhì)定懂得決一些簡潔問題；（3）明白直線與平面、平面與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理間的相互聯(lián)系；2、過程與方法（1）讓同學(xué)在觀看物體模型的基礎(chǔ)上,進行操作確認,獲得對性質(zhì)定理正確性的認 識；（2）性質(zhì)定理的推理論

11、證；3、情態(tài)與價值5 / 8 通過“ 直觀感知、操作確認,推理證明” ,培育同學(xué)空間概念、空間想象才能以及 規(guī)律推理才能；二、教案重點、難點 兩個性質(zhì)定理的證明；三、學(xué)法與用具（1）學(xué)法：直觀感知、操作確認,猜想與證明；（2）用具：長方體模型；四、教案設(shè)計（一）創(chuàng)設(shè)情形,揭示課題 問題：如一條直線與一個平面垂直,就可得到什么結(jié)論？如兩條直線與同一個平面垂 直呢？讓同學(xué)自由發(fā)言,老師不急于下結(jié)論,而是連續(xù)引導(dǎo)同學(xué)：欲知結(jié)論怎樣,讓我們一 起來觀看、研探；（自然進入課題內(nèi)容）（二）研探新知 1、操作確認觀看長方體模型中四條側(cè)棱與同一個底面的位置關(guān)系；如圖A 1B 1C 1D 1 中,棱 AA 1、

12、BB 1、CC 1、DD 1 所在直線都垂直于平面2.3 4,在長方體 ABCDABCD,它們之間是有什么位置關(guān)系？（明顯相互平行）然后進一步遷移活動：已知直線a、b 、那么直線a、 b 一定平行嗎？（肯定）我們能否證明這一事實的正確性呢？A1D1D B1C1abCA圖 2.3-4 B圖 2.3-5 2、推理證明引導(dǎo)同學(xué)分析性質(zhì)定理成立的條件,介紹證明性質(zhì)定理成立的特殊方法反證法,然后師生互動共同完成該推理過程,最終歸納得出：垂直于同一個平面的兩條直線平行；（三）應(yīng)用鞏固 例子：課本 P.74 例 4 做法：老師給出問題,同學(xué)摸索探究、判定并說理由,老師最終評議；（四）類比拓展,研探新知 類比

13、上面定理：如在兩個平面相互垂直的條件下,又會得出怎樣的結(jié)論呢？例如：如 何在黑板面上畫一條與地面垂直的直線？引導(dǎo)同學(xué)觀看教室相鄰兩面墻的交線,簡潔發(fā)覺該交線與地面垂直,這時,只要在 黑板上畫出一條與這交線平行的直線,就所畫直線必與地面垂直；然后師生互動,共同完6 / 8 成性質(zhì)定理的確認與證明,并歸納性質(zhì)定理：兩個平面垂直,就一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直；（五）鞏固深化、進展思維摸索 1、設(shè)平面 平面 ,點 P 在平面 內(nèi),過點 面 具有什么位置關(guān)系？（答：直線 a 必在平面 內(nèi)）P 作平面 的垂線 a,直線 a 與平摸索 2、已知平面 、 和直線 a,如 ,a ,a ,就直線a

14、 與平面 具有什么位置關(guān)系？（六）歸納小結(jié) , 課后鞏固 小結(jié)：（ 1）請歸納一下本節(jié)學(xué)習(xí)了什么性質(zhì)定理,其內(nèi)容各是什么？（ 2）類比兩個性質(zhì)定理,你發(fā)覺它們之間有何聯(lián)系？作業(yè)：（ 1）求證：兩條異面直線不能同時和一個平面垂直；（ 2）求證：三個兩兩垂直的平面的交線兩兩垂直；本章小結(jié) 一、教案目標 1、學(xué)問與技能（1）使同學(xué)把握學(xué)問結(jié)構(gòu)與聯(lián)系,進一步鞏固、深化所學(xué)學(xué)問；（2）通過對學(xué)問的梳理,提高同學(xué)的歸納學(xué)問和綜合運用學(xué)問的才能；2、過程與方法 利用框圖對本章學(xué)問進行系統(tǒng)的小結(jié),直觀、簡明再現(xiàn)所學(xué)學(xué)問,化抽象學(xué)習(xí)為直 觀學(xué)習(xí),易于識記；同時凸現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)問的進展和聯(lián)系；3 情態(tài)與價值 同學(xué)通過學(xué)

15、問的整合、梳理,理睬空間點、線面間的位置關(guān)系及其相互聯(lián)系,進一 步培育同學(xué)的空間想象才能和解決問題才能；二、教案重點、難點 重點：各學(xué)問點間的網(wǎng)絡(luò)關(guān)系；難點：在空間如何實現(xiàn)平行關(guān)系、垂直關(guān)系、垂直與平行關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化；三、教案設(shè)計（一）學(xué)問回憶,整體熟悉1、本章學(xué)問回憶（1）空間點、線、面間的位置關(guān)系；（2）直線、平面平行的判定及性質(zhì)；（3）直線、平面垂直的判定及性質(zhì)；2、本章學(xué)問結(jié)構(gòu)框圖平面（公理1、公理2、公理3、公理4）空間直線、平面的位置關(guān)系7 / 8 直線與直線的位置關(guān)系直線與平面的位置關(guān)系平面與平面的位置關(guān)系（二）整合學(xué)問,進展思維 1、刻畫平面的三個公理是立體幾何公理體系的基石,是爭論空間圖形問題,進行規(guī)律 推理的基礎(chǔ)；公理 1判定直線是否在平面內(nèi)的依據(jù)；公理 2供應(yīng)確定平面最基本的依據(jù)；公理 3判定兩個平面交線位置的依據(jù)；公理 4判定空間直線之間平行的依據(jù)；2、空間問題解決的重要思想方法：化空間問題為平面問題；3、空間平行