七空間圖形的基本關(guān)系及公理課件

1、7.3空間圖形的基本關(guān)系及公理第1頁(yè)，共67頁(yè)。教材回扣夯實(shí)雙基基礎(chǔ)梳理1.空間圖形的基本關(guān)系(1)點(diǎn)和直線的位置關(guān)系有兩種: _和點(diǎn)在直線外.(2)點(diǎn)和平面的位置關(guān)系有兩種: 點(diǎn)在平面內(nèi)和點(diǎn)在平面外.點(diǎn)在直線上第2頁(yè)，共67頁(yè)。平行直線相交直線任何第3頁(yè)，共67頁(yè)。異面直線所成的角過空間任意一點(diǎn)P分別引兩條異面直線a, b的平行線l1, l2(al1, bl2), 這兩條相交直線所成的_就是異面直線a, b所成的角.如果兩條異面直線所成的角是_, 則稱這兩條直線互相垂直.范圍: _ .銳角或直角直角第4頁(yè)，共67頁(yè)。(4)空間直線和平面的位置關(guān)系有三種: _、直線和平面相交、_.(5)空間兩

2、平面的位置關(guān)系有兩種: 兩平面平行和兩平面相交.直線在平面內(nèi)直線與平面平行第5頁(yè)，共67頁(yè)。思考探究若a, b, 則a, b就一定是異面直線嗎？第6頁(yè)，共67頁(yè)。2.空間圖形的公理及等角定理文字語(yǔ)言公理1如果一條直線上的_在一個(gè)平面內(nèi), 那么這條直線上_都在這個(gè)平面內(nèi)(即直線_)兩點(diǎn)所有的點(diǎn)在平面內(nèi)第7頁(yè)，共67頁(yè)。圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言公理1若Al, Bl, A, B,則_l第8頁(yè)，共67頁(yè)。文字語(yǔ)言公理2經(jīng)過不在同一條直線上的三點(diǎn), _一個(gè)平面(即可以確定一個(gè)平面)公理3如果兩個(gè)不重合的平面_, 那么它們_一條通過這個(gè)點(diǎn)的公共直線有且只有有一個(gè)公共點(diǎn)有且只有第9頁(yè)，共67頁(yè)。圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言公理

3、2若A、B、C三點(diǎn)不共線, 則A、B、C三點(diǎn)確定一個(gè)平面使A, B, C公理3若A, A, 則_l, 且Al第10頁(yè)，共67頁(yè)。文字語(yǔ)言公理4平行于同一條直線的兩條直線_等角定理空間中, 如果兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行, 那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)平行第11頁(yè)，共67頁(yè)。圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言公理4若ab, bc, 則_等角定理若AOAO, BC_, 則AOBAOB, AOC和AOB互補(bǔ)acBO第12頁(yè)，共67頁(yè)。課前熱身1.下面給出了四個(gè)條件: 空間三個(gè)點(diǎn)；一條直線和一個(gè)點(diǎn)；和直線a都相交的兩條直線；兩兩相交的三條直線.其中能唯一確定一個(gè)平面的條件有()A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè) D.3個(gè)第13頁(yè)，共6

4、7頁(yè)。解析: 選A.確定平面的公理的條件: “經(jīng)過不在同一條直線上的三點(diǎn)”, 所以是錯(cuò)誤的；注意到“直線與直線外的一點(diǎn)”, 所以是錯(cuò)誤的；與直線a都相交的兩條直線可能是異面的；兩兩相交的三條直線可能確定3個(gè)平面.第14頁(yè)，共67頁(yè)。2. (教材習(xí)題改編)如圖所示, 將無(wú)蓋正方體紙盒展開, 直線AB, CD在原正方體中的位置關(guān)系是()A.平行B.垂直C.相交成60D.異面成60第15頁(yè)，共67頁(yè)。解析: 選D.由展開圖可知, 無(wú)蓋正長(zhǎng)體紙盒的直觀圖如圖所示, 顯然AB與CD異面, 連接AE, 由AECD, 知EAB為異面直線AB、CD所成的角, 連接BE, 由ABE為等邊三角形得EAB60, 故

5、選D.第16頁(yè)，共67頁(yè)。第17頁(yè)，共67頁(yè)。則上述說法中正確的個(gè)數(shù)是_.答案: 3解析: (1)(2)(4)正確；如圖所示, 可知(3)錯(cuò)誤.第18頁(yè)，共67頁(yè)。4.如圖所示, 在四面體ABCD中, E、F分別是AC、BD的中點(diǎn), 若CD2AB2, EFAB, 則EF與CD所成的角等于_.第19頁(yè)，共67頁(yè)。答案: 30第20頁(yè)，共67頁(yè)?？键c(diǎn)1平面的基本性質(zhì)考點(diǎn)探究講練互動(dòng)考點(diǎn)突破 例1第21頁(yè)，共67頁(yè)。(1)證明: 四邊形BCHG是平行四邊形；(2)C、D、F、E四點(diǎn)是否共面？為什么？第22頁(yè)，共67頁(yè)。第23頁(yè)，共67頁(yè)。第24頁(yè)，共67頁(yè)?！疽?guī)律小結(jié)】證明若干條線(或若干個(gè)點(diǎn))共面

6、, 一般來(lái)說有兩種途徑: 一是首先由題給條件中的部分線(或點(diǎn))確定一個(gè)平面, 然后再證明其余的線(或點(diǎn))均在這個(gè)平面內(nèi)；二是將所有元素分為幾個(gè)部分, 然后分別確定幾個(gè)平面, 再證這些平面重合.第25頁(yè)，共67頁(yè)。例備選例題 (教師用書獨(dú)具) 如圖, 在正方體ABCDA1B1C1D1中, 點(diǎn)E、F分別是棱AA1、CC1的中點(diǎn), 求證: D1、E、F、B共面.第26頁(yè)，共67頁(yè)。【證明】D1、E、F三點(diǎn)不共線, D1、E、F三點(diǎn)確定一平面, 又由題意可知D1E與DA共面于平面A1D且不平行, 平面故分別延長(zhǎng)D1E、DA相交于G, 則G直線D1E, 又D1E平面, G平面.第27頁(yè)，共67頁(yè)。同理,

7、 設(shè)直線D1F與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)H, 則H平面.又點(diǎn)G、B、H均屬于平面AC, 且由題設(shè)條件知E為AA1的中點(diǎn)且AEDD1, 從而AGADAB, AGB為等腰直角三角形, ABG45, 同理CBH45,又ABC90, 從而點(diǎn)B平面, D1、E、F、B共面.第28頁(yè)，共67頁(yè)。變式訓(xùn)練1.如圖所示的正方體或四面體, P、Q、R、S分別是所在棱的中點(diǎn), 則這四個(gè)點(diǎn)不共面的一個(gè)圖是()第29頁(yè)，共67頁(yè)。解析: 選D.在A圖中分別連接PS、QR, 易證PSQR, P、S、R、Q共面.如圖所示, 在B圖中過P、Q、R、S可作一正六邊形, 故四點(diǎn)共面；第30頁(yè)，共67頁(yè)。在C圖中分別連接PQ、RS,

8、易證PQRS, P、Q、R、S共面；D圖中由異面直線判定定理知PS與RQ為異面直線, 四點(diǎn)不共面, 故選D.第31頁(yè)，共67頁(yè)。例2考點(diǎn)2空間兩條直線的位置關(guān)系 如圖所示, 正方體ABCDA1B1C1D1中, M、N分別是A1B1、B1C1的中點(diǎn).第32頁(yè)，共67頁(yè)。問: (1)AM和CN是否是異面直線？說明理由；(2)D1B和CC1是否是異面直線？說明理由.第33頁(yè)，共67頁(yè)。第34頁(yè)，共67頁(yè)。第35頁(yè)，共67頁(yè)?！久麕燑c(diǎn)評(píng)】判定兩條直線是否異面, 可依據(jù)定義來(lái)進(jìn)行, 還可依據(jù)定理(過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線, 和平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線)進(jìn)行.反證法是證明兩直線異面的有效方法

9、.第36頁(yè)，共67頁(yè)。例備選例題(教師用書獨(dú)具) 設(shè)A, B, C, D是空間四個(gè)不同的點(diǎn), 在下列命題中, 不正確的是_.(填序號(hào))若AC與BD共面, 則AD與BC共面；若AC與BD是異面直線, 則AD與BC是異面直線；若ABAC, DBDC, 則ADBC；若ABAC, DBDC, 則ADBC.第37頁(yè)，共67頁(yè)?！窘馕觥繉?duì)于, 顯然正確.對(duì)于, 假設(shè)AD與BC共面, 由正確得AC與BD共面, 這與題設(shè)矛盾, 故假設(shè)不成立, 從而結(jié)論正確.對(duì)于, 如圖, 當(dāng)ABAC, DBDC, 使二面角ABCD的大小變化時(shí), AD與BC不一定相等, 故不正確.第38頁(yè)，共67頁(yè)。對(duì)于, 如圖, 取BC的中

10、點(diǎn)E, 連接AE, DE, 則由題設(shè)得BCAE, BCDE.根據(jù)線面垂直的判定定理得BC平面ADE, 從而ADBC.【答案】第39頁(yè)，共67頁(yè)。變式訓(xùn)練2. (2010高考江西卷)如圖, M是正方體ABCDA1B1C1D1的棱DD1的中點(diǎn), 給出下列四個(gè)命題: 過M點(diǎn)有且只有一條直線與直線AB, B1C1都相交；過M點(diǎn)有且只有一條直線與直線AB, B1C1都垂直；第40頁(yè)，共67頁(yè)。過M點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與直線AB, B1C1都相交；過M點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與直線AB, B1C1都平行.其中真命題是()A. B.C. D.第41頁(yè)，共67頁(yè)。解析: 選C.中要求過M點(diǎn)作直線與AB, B1C1均相

11、交, 因?yàn)锳B與B1C1異面且垂直, 所以該直線可得唯一一條, 故正確.又中過M點(diǎn)與對(duì)角面AA1C1C平行的平面與AB, B1C1均相交, 旋轉(zhuǎn)該面仍可能與AB, B1C1均相交, 故錯(cuò), 選C第42頁(yè)，共67頁(yè)。例3考點(diǎn)3異面直線所成的角 (2011高考上海卷改編)已知ABCDA1B1C1D1是底面邊長(zhǎng)為1的正四棱柱, 高AA12, 求: (1)異面直線BD與AB1所成角的余弦值；(2)四面體AB1D1C的體積.第43頁(yè)，共67頁(yè)?！窘狻?1)連接BD, AB1, B1D1, AD1.BDB1D1, AB1AD1, AB1D1為異面直線BD與AB1所成角, 記為.第44頁(yè)，共67頁(yè)。第45頁(yè)

12、，共67頁(yè)。第46頁(yè)，共67頁(yè)。【名師點(diǎn)評(píng)】本題以正四棱柱為載體, 考查異面直線所成的角、四面體體積的求法, 考查學(xué)生的空間想象能力、運(yùn)算能力及分析問題、解決問題的能力.第47頁(yè)，共67頁(yè)。例備選例題(教師用書獨(dú)具) (2010高考湖南卷)如圖所示, 在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中, ABAD1, AA12, M是棱CC1的中點(diǎn).求異面直線A1M和C1D1所成的角的正切值.第48頁(yè)，共67頁(yè)。第49頁(yè)，共67頁(yè)。變式訓(xùn)練3.如圖, 若正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面邊長(zhǎng)為2, 高為4, 則異面直線BD1與AD所成角的正切值是_.第50頁(yè)，共67頁(yè)。第51頁(yè)，共67頁(yè)。方法感悟方法技巧

13、1.主要題型的解題方法(1)要證明“線共面”或“點(diǎn)共面”可先由部分直線或點(diǎn)確定一個(gè)平面, 再證其余直線或點(diǎn)也在這個(gè)平面內(nèi)(即“納入法”).第52頁(yè)，共67頁(yè)。(2)要證明“點(diǎn)共線”可將線看作兩個(gè)平面的交線, 只要證明這些點(diǎn)都是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn), 根據(jù)公理3可知這些點(diǎn)在交線上, 因此共線.2.判定空間兩條直線是異面直線的方法(1)判定定理: 平面外一點(diǎn)A與平面內(nèi)一點(diǎn)B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)B的直線是異面直線.第53頁(yè)，共67頁(yè)。(2)反證法: 證明兩線不可能平行、相交或證明兩線不可能共面, 從而可得兩線異面.3.求兩條異面直線所成角的大小的一般方法一般方法是通過平行移動(dòng)直線, 把異面問題轉(zhuǎn)化

14、為共面問題來(lái)解決.根據(jù)空間等角定理及推論可知, 異面直線所成角的大小與頂點(diǎn)位置無(wú)關(guān), 往往將角的頂點(diǎn)取在其中的一條直線上, 特別地, 可以取其中一條直線與第54頁(yè)，共67頁(yè)。另一條直線所在平面的交點(diǎn)或異面線段的端點(diǎn).總之, 頂點(diǎn)的選擇要與已知量有關(guān), 以便于計(jì)算, 具體步驟如下: (1)利用定義構(gòu)造角, 可固定一條, 平移另一條, 或兩條同時(shí)平移到某個(gè)特殊的位置, 頂點(diǎn)選在特殊的位置上；(2)證明作出的角即為所求角；(3)利用三角形來(lái)求解.第55頁(yè)，共67頁(yè)。失誤防范1.異面直線是不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線, 而不是分別在兩個(gè)平面內(nèi).一定要理解定義.2.求異面直線所成的角要特別注意異面直線

15、所成角的范圍是(0, 90.第56頁(yè)，共67頁(yè)。命題預(yù)測(cè)從近幾年的高考試題來(lái)看, 異面直線所成的角、異面直線的判定是高考的熱點(diǎn), 題型多為選擇題或填空題, 難度為中、低檔.客觀題主要考查異面直線所成角的概念及求法, 考查平移直線法、考向瞭望把脈高考第57頁(yè)，共67頁(yè)。向量法求異面直線所成的角；主觀題主要考查立體幾何的有關(guān)知識(shí)、異面直線所成角的求法及異面直線的判定等, 同時(shí)還考查了學(xué)生的空間想象能力和運(yùn)算能力.預(yù)測(cè)2013年高考仍將以求異面直線所成的角為主要考查點(diǎn), 重點(diǎn)考查學(xué)生的空間想象能力和運(yùn)算能力.第58頁(yè)，共67頁(yè)。例典例透析 (2012長(zhǎng)春質(zhì)檢)對(duì)于四面體ABCD, 下列命題正確的是_

16、.(寫出所有正確命題的編號(hào))相對(duì)棱AB與CD所在的直線異面；由頂點(diǎn)A作四面體的高, 其垂足是BCD的三條高線的交點(diǎn)；第59頁(yè)，共67頁(yè)。若分別作ABC和ABD的邊AB上的高, 則這兩條高所在直線異面；分別作三組相對(duì)棱中點(diǎn)的連線, 所得的三條線段相交于一點(diǎn)；最長(zhǎng)棱必有某個(gè)端點(diǎn), 由它引出的另兩條棱的長(zhǎng)度之和大于最長(zhǎng)棱.第60頁(yè)，共67頁(yè)?！窘馕觥繉?duì)于顯然是正確的, 根據(jù)異面直線的定義可知；是錯(cuò)誤的, 構(gòu)造特例, 令A(yù)D為四面體的高, 而對(duì)底面BCD沒有要求, 那么D不一定是三條高線的交點(diǎn)；是錯(cuò)誤的, 若ABAC, 且ABAD, 則AC、AD這兩條線交于A點(diǎn)；是正確的, 不妨設(shè)AB, BC, CD, DA的中點(diǎn)分別為E, F, G, H, 則EFGH是平行四邊形, 對(duì)角線EG, FH相交于一點(diǎn)且被該點(diǎn)平分, 第61頁(yè)，共67頁(yè)。同理, AC, BD的中點(diǎn)連線也必過該點(diǎn)且被該點(diǎn)平分；是正確的, 證明如下: 設(shè)四面體中, AB是最長(zhǎng)的棱, 假設(shè)ACADAB, BCBDAB, 兩式相加得: (ACBC)(ADBD)2AB.(*)而在ABC中, ACBCAB, 在ABD中, ADBDAB, 第62頁(yè)，共67頁(yè)。兩式相加得, (ACBC)(ADBD)2AB, 這與(*)式矛盾.所以, 原命題是正確的.因此, 選擇.【答案】【得分