數(shù)理統(tǒng)計 第三章課件 呂曉玲

1、第3章 區(qū)間估計置信區(qū)間正態(tài)總體參數(shù)的置信區(qū)間大樣本置信區(qū)間統(tǒng)計推斷的過程總體總體均值、比例、方差樣本樣本統(tǒng)計量例如：樣本均值、比例、方差 0 引言 前面，我們討論了參數(shù)點估計. 它是用樣本算得的一個值去估計未知參數(shù). 但是，點估計值僅僅是未知參數(shù)的一個近似值，它無法給出這個近似值的精度（也可用均方誤差來刻畫），使用起來把握不大（間接）. 區(qū)間估計正好彌補了點估計的這個缺陷（可直接給出誤差限） . 譬如，在估計湖中魚數(shù)的問題中，若我們根據(jù)一個實際樣本，得到魚數(shù) N 的極大似然估計為1000條. 若我們能給出一個區(qū)間，在此區(qū)間內(nèi)我們合理地相信 N 的真值位于其中. 這樣對魚數(shù)的估計就有把握多了.

2、 實際上，N的真值可能大于1000條，也可能小于1000條.也就是說，我們希望確定一個區(qū)間，使我們能以比較高的可靠程度相信它包含真參數(shù)值.湖中魚數(shù)的真值 這里所說的“可靠程度”是用概率來度量的 ，稱為置信度或置信水平. 習(xí)慣上把置信水平記作 ，這里 是一個 很小的正數(shù)，其大小是根據(jù)實際需要選定的.1、區(qū)間估計2、回顧分位數(shù)3、 置信區(qū)間注1：這里有兩個要求:注2： 對參數(shù) 作區(qū)間估計，就是要設(shè)法找出兩個只依賴于樣本的界限(構(gòu)造統(tǒng)計量).可靠度與精度是一對矛盾，一般是在保證可靠度的條件下盡可能提高精度.1. 要求 以很大的可能被包含在區(qū)間內(nèi)，就是說，概率 要盡可能大 .即要求估計盡量可靠. 2.

3、 估計的精度要盡可能的高. 如要求區(qū)間長度 盡可能短，或能體現(xiàn)該要求的其它準(zhǔn)則.4、同等置信區(qū)間 N(0, 1)選 的點估計為 ,求參數(shù) 的置信度為 的置信區(qū)間. 例1 設(shè)X1,Xn是取自 的樣本， 明確問題,是求什么參數(shù)的置信區(qū)間?置信水平是多少？尋找未知參數(shù)的一個良好估計.解 尋找一個待估參數(shù)和統(tǒng)計量的函數(shù) ，要求其分布為已知.有了分布，就可以求出U取值于任意區(qū)間的概率.5、置信區(qū)間的求法從中解得對給定的置信水平查正態(tài)分布表得使也可簡記為于是所求 的 置信區(qū)間為 從例1解題的過程，我們歸納出求置信區(qū)間的一般步驟如下:1）明確問題, 是求什么參數(shù)的置信區(qū)間? 置信水平 是多少?2） 尋找參數(shù)

4、 的一個良好的點估計T(X1,X2,Xn) 3）尋找一個待估參數(shù) 和估計量 T 的函數(shù) U(T, ),且其分布為已知. 4）對于給定的置信水平 ，根據(jù)U(T, )的分布，確定常數(shù)a, b，使得 P(a U(T, )b) = 5）對“aS(T, )b”作等價變形,得到如下形式:即于是 就是 的100( )的置信區(qū)間. 需要指出的是，給定樣本，給定置信水平 ，置信區(qū)間也不是唯一的.對同一個參數(shù)，我們可以構(gòu)造許多置信區(qū)間. 例如，設(shè) X1 , , Xn 是取自 的樣本 ， 求參數(shù) 的置信水平為 的置 N(0, 1)信區(qū)間. 由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，對任意a、b，我們可以求得 P( aUb) .N(0, 1

5、)例如，由P(-1.96U1.96)=0.95我們得到均值 的置信水平為的置信區(qū)間為由 P(-1.75U2.33)=0.95這個區(qū)間比前面一個要長一些.置信區(qū)間為我們得到均值 的置信水平為的我們總是希望置信區(qū)間盡可能短. 類似地，我們可得到若干個不同的置信區(qū)間. 任意兩個數(shù)a和b，只要它們的縱標(biāo)包含f(u)下95%的面積，就確定一個95%的置信區(qū)間.在概率密度為單峰且對稱的情形，當(dāng)a =-b時求得的置信區(qū)間的長度為最短.a =-b 即使在概率密度不對稱的情形，如 分布，F(xiàn)分布，習(xí)慣上仍取對稱的分位點來計算未知參數(shù)的置信區(qū)間. 我們可以得到未知參數(shù)的的任何置信水平小于 1 的置信區(qū)間，并且置信水

6、平越高，相應(yīng)的置信區(qū)間平均長度越長. 上述置信區(qū)間中置信限都是雙側(cè)的，但對于有些實際問題，人們關(guān)心的只是參數(shù)在一個方向的界限. 例如對于設(shè)備、元件的使用壽命來說，平均壽命過長沒什么問題，過短就有問題了. 這時, 可將置信上限取為+ ，而只著眼于置信下限 ，這樣求得的置信區(qū)間叫單側(cè)置信區(qū)間.6、置信限（單側(cè)置信區(qū)間）設(shè)燈泡壽命服從正態(tài)分布. 求燈泡壽命均值 的置信水平為0.95的單側(cè)置信下限. 例2 從一批燈泡中隨機抽取5只作壽命試驗，測得壽命X（單位：小時）如下：1050，1100，1120，1250，1280方差 未知解 的點估計取為樣本均值 , 對給定的置信水平 ，確定分位點使即于是得到 的置信水平為 的單側(cè)置信區(qū)間為 將樣本值代入得的置信水平為0.95的單側(cè)置信下限是1065小時的置信水平為 的單側(cè)置信下限為即課堂練習(xí) 隨機地取炮彈 10 發(fā)做試驗，得炮口速度的標(biāo)準(zhǔn)差 , 炮口速度服從正態(tài)分布. 求這種炮彈的炮口速度的標(biāo)準(zhǔn)差 的置信水平為0.95 的置信區(qū)間.由解 隨機地取炮彈 10 發(fā)做試驗，得炮口速度的標(biāo)準(zhǔn)差 , 炮口速度服從正態(tài)分布. 求這種炮彈的炮口速度的標(biāo)準(zhǔn)差 的置信水平為0.95 的置信區(qū)間.于