專(zhuān)題17矩形菱形正方形(知識(shí)點(diǎn)串講)(解析版)

1、專(zhuān)題17矩形菱形正方形知識(shí)框架一走形的定義-運(yùn)形的性質(zhì)-矩形的判定-直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)重難突破1、矩形(1)矩形的定義有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形.備注：矩形定義的兩個(gè)要素：是平行四邊形：有一個(gè)角是直角.即矩形首先是一個(gè)平行四邊形，然 后增加一個(gè)角是直角這個(gè)特殊條件.(2)矩形的性質(zhì)矩形的性質(zhì)包括四個(gè)方面：L矩形具有平行四邊形的所有性質(zhì)：.矩形的對(duì)角線相等；.矩形的四個(gè)角都是直角：.矩形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，它有兩條對(duì)稱(chēng)軸.備注：(1)矩形是特殊的平行四邊形，因而也是中心對(duì)稱(chēng)圖形.過(guò)中心的任意直線可將矩形分成完全全等的兩部分.（2）矩形也是軸對(duì)稱(chēng)圖形，有兩條對(duì)稱(chēng)軸（分別通過(guò)對(duì)邊中點(diǎn)的直

2、線）.對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)就是對(duì)角 線的交點(diǎn)（即對(duì)稱(chēng)中心）.（3）矩形是特殊的平行四邊形，矩形具有平行四邊形的所有性質(zhì)，從而矩形的性質(zhì)可以歸結(jié)為 從三個(gè)方面看：從邊看，矩形對(duì)邊平行且相等：從角看，矩形四個(gè)角都是直角；從對(duì)角線看，矩形的對(duì)角 線互相平分且相等一（3）矩形的判定矩形的判定有三種方法：L定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形.對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形.有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.備注：在平行四邊形的前提下，加上“一個(gè)角是直角或?qū)蔷€相等”都能判定平行四邊形是矩形.（4）直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.備注：（1）直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)是矩形性質(zhì)

3、的推論.性質(zhì)的前提是直角三角形，對(duì)一般三角 形不可使用.（2）學(xué)過(guò)的直角三角形主要性質(zhì)有：直角三角形兩銳角互余：直角三角形兩直角邊的平方和 等于斜邊的平方；直角三角形中30。所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半一（3）性質(zhì)可以用來(lái)解決有關(guān)線段倍分的問(wèn)題.2、菱形（1）菱形的定義有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.備注：菱形的定義的兩個(gè)要素：是平行四邊形,有一組鄰邊相等.即菱形是一個(gè)平行四邊形，然后增 加一對(duì)鄰邊相等這個(gè)特殊條件.（2）菱形的性質(zhì)菱形除了具有平行四邊形的一切性質(zhì)外，還有一些特殊性質(zhì)：L菱形的四條邊都相等；.菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角.菱形也是軸對(duì)稱(chēng)圖形，有兩條對(duì)

4、稱(chēng)軸（對(duì)角線所在的直線），對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)就是對(duì)稱(chēng)中心.注：（1）菱形是特殊的平行四邊形，是中心對(duì)稱(chēng)圖形，過(guò)中心的任意直線可將菱形分成完全全等的兩部分.（2）菱形的面積由兩種計(jì)算方法：一種是平行四邊形的面積公式：底,高：另一種是兩條對(duì)角 線乘積的一半（即四個(gè)小直角三角形面積之和）.實(shí)際上，任何一個(gè)對(duì)角線互相垂直的 四邊形的面積都是兩條對(duì)角線乘積的一半.（3）菱形可以用來(lái)證明線段相等，角相等，直線平行，垂直及有關(guān)計(jì)算問(wèn)題.（3）菱形的判定菱形的判定方法有三種：L定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.四條邊相等的四邊形是菱形.備注：前兩種方法都是在平行四邊形的基礎(chǔ)上

5、外加一個(gè)條件來(lái)判定菱形，后一種方法是在四邊形的基 礎(chǔ)上加上四條邊相等.3、正方形（1）正方形的定義四條邊都相等，四個(gè)角都是直角的四邊形叫做正方形.備注：既是矩形又是菱形的四邊形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更為特殊的平行四 邊形，正方形是有一組鄰邊相等的矩形，還是有一個(gè)角是直角的菱形.（2）正方形的性質(zhì)正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì).L邊四邊相等、鄰邊垂直、對(duì)邊平行；.角四個(gè)角都是直角：.對(duì)角線一相等，互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；.是軸對(duì)稱(chēng)圖形，有4條對(duì)稱(chēng)軸；又是中心對(duì)稱(chēng)圖形，兩條對(duì)角線的交點(diǎn)是對(duì)稱(chēng)中心.備注：正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)

6、，其對(duì)角線將正方形分為四個(gè)等腰直角三角形.（3）正方形的判定正方形的判定除定義外，判定思路有兩條：或先證四邊形是菱形，再證明它有一個(gè)角是直角或?qū)蔷€ 相等（即矩形）；或先證四邊形是矩形，再證明它有一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直（即菱形）.（4）特殊平行四邊形之間的關(guān)系（5）順次連接特殊的平行四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形的形狀1）順次連接平行四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是平行四邊形.（2）順次連接矩形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是菱形.ASAABE=-x4x3=6 (cm2), 2故選C.例4. （2019阜陽(yáng)市第九中學(xué)初二期中）如圖，在RtaABC中，CD是斜邊AB上的中線，若/A = 36、,則/DCB的

7、度數(shù)為（）A. 54B. 64C. 72D. 75【答案】A【解析】解：./AC3 = 90，CD是斜邊AB上的中線，BD = CD = AD，：.ZA = ZDCA = 36、，ZDCB = 90 - ZDCA = 54 .故選A.練習(xí)1. （2020安徽省初二期末）如圖，在中,NACB=90。，ZABC=60, BD平分NABC ,P點(diǎn)是BD的中點(diǎn)，若AD=6,則CP的長(zhǎng)為（）【答案】B【解析】解：V ZACB=90, N.SC=60。,/.乙1 = 30。，,:BD 平分NABC,：.ZABD= - ZABC = 300 92：.NA = NdBD,* BD =AD 6,在RtZXBS中

8、，尸點(diǎn)是8。的中點(diǎn)，.CP=-BD = 3.2故選B.例4. （2019阜陽(yáng)市第九中學(xué)初二期中）如圖，在RABC中，CD是斜邊AB上的中線，若/A = 36，則NDCB的度數(shù)為（）A. 54B. 64C. 72：D. 75【答案】A【解析】解：./AC3=90，CD是斜邊AB上的中線,BD = CD = AD ,NA = NDCA = 36,，：.ZDCB = 90 - ZDCA = 54 .故選A.例5. （2018安徽省桐城實(shí)驗(yàn)中學(xué)初二期末）如圖所示，ALBC中，刀是5c邊上一點(diǎn)，E是HD的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)/作SC的平行線交CE的延長(zhǎng)線于尸，且4F=KD,連接6E（2）若4B=/C,試判斷四邊形

9、/尸助的形狀，并證明你的結(jié)論.【答案】（1）見(jiàn)解析：（2）若則四邊形是矩形.理由見(jiàn)解析【解析】（1）證明：，行7/3C,NAFE=NDCE,點(diǎn)E為.ID的中點(diǎn)，: AE=DE,在ZUEF和DEC中，ZAFE = NDCEZAEF = /DEC, AE = DE:./AEFsDEC TS）,:.AF=CD.: AF=BD,:CD=BD,.D是3c的中點(diǎn)；（2）解：若d3=XC,則四邊形JF8D是矩形.理由如下:/AEF q ADEC,：.AF=CD,:AF=BD,：.CD=BD；:AF/BD. AF=BD,.四邊形4F&）是平行四邊形，9：AB=AC9 bd=cd,：.ZADB=900 91平行

10、四邊形,疔3。是矩形.練習(xí)L （2019安徽省初二期末）如圖，在口ABCD中，DEAB, BFCD,垂足分別為E, F.（1）求證：4ADEgzXCBF；【答案】（D證明見(jiàn)解析：（2）證明見(jiàn)解析.【解析】解：（1）VDEAB, BFCD,，ZAED=ZCFB=90%,四邊形ABCD為平行四邊形，AD=BC, NA=NC,在AADE和ACBF中，ZAED = ZCFBZA = ZC , AD = BC.,.ADEACBF （AAS）；（2） 四邊形ABCD為平行四邊形，CDAB,.ZCDE+ZDEB=180o,ZDEB=90,. ZCDE=90,:.ZCDE=ZDEB= ZBFD=90,則四邊形

11、BFDE為矩形.例6. （2019江蘇省初二期末）菱形具有而一般平行四邊形不具有的性質(zhì)是（）A.對(duì)邊相等 B.對(duì)角相等 C.對(duì)角線互相平分D.對(duì)角線互相垂直【答案】D【解析】試題分析：菱形具有的性質(zhì)：對(duì)邊相等，對(duì)角相等，對(duì)角線互相平分，對(duì)角線互相垂直:平行四邊形具有的性質(zhì)：對(duì)邊相等，對(duì)角相等，對(duì)角線互相平分；菱形具有而一般平行四邊形不具有的性質(zhì)是：對(duì)角線互相垂直.故選D.練習(xí)1、（2018遼寧省初二期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若菱形ABCD的頂點(diǎn)A, B的坐標(biāo)分別為（-3, 0）, （2, 0）,點(diǎn)D在y軸上，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是.【答案】（5. 4）.【解析】解：菱形ABCD的頂點(diǎn)A,

12、B的坐標(biāo)分別為（-3, 0）, （2, 0）,點(diǎn)D在y軸上,/. AB=5 .DO=4f.點(diǎn)C的坐標(biāo)是：（5, 4）.故答案為（5, 4）.例7. （2019山東省初二期末）如圖,菱形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,且AC=8, BD=6,過(guò)點(diǎn)O作OHJLAB,垂足為H,則點(diǎn)0到邊AB的距離OH=.【解析】試題分析：根據(jù)菱形的對(duì)角線互相垂直平分求出OA=4、OB=3,再利用勾股定理列式求出AB=5,1112然后根據(jù)aAOB的而枳列式得-x3x4 = -x5xO/7,解得OH=.22512故答案為二.練習(xí)L （2018柯坦中學(xué)初二期末）如圖，已知菱形的兩條對(duì)角線分別為6c，和8c,，則這個(gè)

13、菱形的高 雇B【答案】4.8【解析】解：:菱形的兩條對(duì)角線分別為6c桁和8s?,菱形的邊長(zhǎng)為：序才=5（。）,2的高為：則 5x=2x6x8,2解得：x=4.8.故答案為：4.8.例8. （2017安徽省初二期末）如圖,在菱形ABCD中，NL N分別為AB、CD上，且AM=CN, MN與AC交于點(diǎn)O,連接BO.若NDAC=28。，貝ijNOBC的度數(shù)為（）【答案】C【解析】【詳解】,四邊形ABCD為菱形，ABCD, AB=BC,Z. ZMAO=ZNCO, ZAMO=ZCNO,ZMAO=ZNCO在AMO 和CNO 中，| AM = CN , NAM。= /CNO：.AAMOACNO （ASA）,

14、，AO=CO,VAB=BC,A BO AC,:.ZBOC=90,V ZDAC=28, BC/. AD,:.ZBCA=ZDAC=28,:.ZOBC=90-28=62,故選c.練習(xí)1. （2019安徽省初二期末）如圖，菱形43CD中，AC交BD于點(diǎn)0,。_18。于點(diǎn)石，連接。石, 若ZBCD = 50,則ZOED的度數(shù)是（）A. 35。B. 30。C. 25D. 20【答案】C【解析】解：:四邊形A3CO是菱形，ZBCD = 50 0 為 BD 中點(diǎn)，ZDBE = 1ZABC = 65.2-DELBC,.二在 RtABDE 中，OE = BE = OD. ZOEB = /OBE = 65.Z/BC

15、,ZA = 90,:.4MDO =/NBO、4DMO =乙BNO ,在 ADMO 和 ABN0 中，ZDMO = ZBNOZMDO = ZNBO,OB = OD：.ADMO = ABNO(AAS), 0M = ON ,：OB = OD,.四邊形BMDN是平行四邊形，, MN _L 8。，.,平行四邊形BMDN是菱形.(2)解：四邊形8MQN是菱形，.=設(shè) MQ 長(zhǎng)為 無(wú)，則 A/3 = DM = x ,在 R/MA/8 中，BM2=AM2 + AB2即/=(8 - x+42,解得：x = 5,所以MQ長(zhǎng)為5.故答案為：（1）詳見(jiàn)解析：（2）長(zhǎng)為5 例10. （2019安徽省初二期末）矩形、菱形

16、、正方形都具有的性質(zhì)是（）A.對(duì)角線相等B.對(duì)角線互相平分 C.對(duì)角線互相垂直D.對(duì)角線互相平分且相等【答案】B【解析】解：平行四邊形的對(duì)角線互相平分，而對(duì)角線相等、平分一組對(duì)角、互相垂直不一定成立.故平行四邊形、矩形、菱形、正方形都具有的性質(zhì)是：對(duì)角線互相平分.故選:B.練習(xí)L （2019安徽省初二期末）如圖，正方形43。的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)。是對(duì)角線8。的中點(diǎn)，點(diǎn)石、F分別在AB、AD邊上運(yùn)動(dòng),且保持3E = AF,連接OE, OF , E凡在此運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，下列結(jié)論:純=口7 ；血昭= 90。；四邊形AEOF的面積保持不變；當(dāng)跖 8。時(shí)，EF = 2日 其中正確的結(jié)論是()【答案】DB.【解析】

17、解：過(guò)。作于 G, OHJ.AO于 H.四邊形4BC。是正方形，, ZA = ZOHA = NOGA = 90，OH/AB, OG/AD,點(diǎn)O是對(duì)角線BD的中點(diǎn)，:.AH = DH , AG = BG ,OH=-AB, OG = -AD, 22-AD = BA :.OG = OH , BG = AH,四邊形4GOH是正方形，ZGOH = 90,.BE = AF,:.GE = FH、任 aOFH OOEG 中,EG = FHNOGE = NOHF, OG = OH:aOFH 三DEGgAS）,:.OE = OF,故正確：ZEOG = NFOH ,ZEOG + ZGOF = ZGOF+ ZFOH

18、= 90,/. ZEOF = 90 故正確：:虱）FH 三八OEG ,，四邊形AEOF的面積=正方形AOGH的而枳= 2x2 = 4,四邊形AEOF的面枳保持不變；故正確：-EF/BD,：.ZAFE = ZADB = 45. ZAEF = ZABD = 45，:.AE = AF.BE = AF,:.AE = BE,AE = AF = AB = 2 , 2:.EF = 2日故正確；故選：D.例11. （2018安徽省初三期末）（1）如圖1,在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且 DF=BE,求證：CE=CF；（2）如圖2,在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，G是AD上一點(diǎn)，

19、如果NGCE=45。，請(qǐng)你利用（1） 的結(jié)論證明；GE=BE+GD；(3)運(yùn)用(D (2)解答中所積累的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)，完成下題：如圖 3,在直角梯形 ABCD 中，AD/BC (BOAD), NB=90。，AB=BC, E 是 AB 上一點(diǎn)，且NDCE =45, BE=4, DE=10,求直角梯形ABCD的面積.【答案】、(2)證明見(jiàn)解析(3) 108【解析】試題解析：(1)如圖1，在正方形，38中,:BC=CD, ZB= NCDF, BE=DF,:CBE/CDF,:.CE=CF；(2)如圖2,延長(zhǎng)至尸，使DF=BE,連接CF,由（1）知CBECDF.：./BCE=CCF.：.ZBCE+ NECD= XDCF+ NECD即/ECF=n2CD=90。，又； NGCE=45, ：.ZGCF=GCE=45q9,: CE=CF, NGCE= NGCF, GC=GC,：.ECGdFCG,：.GE=GF,：.GE=DF+GD=BE+GD；（3）過(guò)C作CF1_AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,則四邊形ABCF是正方形.出8E=12=左，則 8