汽車(chē)振動(dòng)與噪聲控制表現(xiàn)和要求

1、1汽車(chē)振動(dòng)與噪聲控制表現(xiàn)和要求2第1章 振動(dòng)理論基礎(chǔ)介紹單自由度系統(tǒng)多自由度系統(tǒng)連續(xù)系統(tǒng)振動(dòng)3介紹4 在外力的作用下，彈性的機(jī)械或結(jié)構(gòu)不僅產(chǎn)生剛體運(yùn)動(dòng)，還會(huì)產(chǎn)生由于自身彈性而引起在平衡位置附近的微小往復(fù)運(yùn)動(dòng)，這種往復(fù)運(yùn)動(dòng)通常稱(chēng)為振動(dòng)。介紹振動(dòng)5介紹6介紹7介紹8振動(dòng)是自然界最普遍的現(xiàn)象之一，例如 (1)心臟的搏動(dòng)、耳膜和聲帶的振動(dòng)，(2)橋梁和建筑物在風(fēng)和地震作用下的振動(dòng)，(3)飛機(jī)和輪船航行中的振動(dòng)，(4)機(jī)床和刀具在加工時(shí)的振動(dòng) 各個(gè)不同領(lǐng)域中的現(xiàn)象雖然各具特色，但往往有著相似的數(shù)學(xué)力學(xué)描述。正是在這個(gè)共性基礎(chǔ)上，有可能建立某種統(tǒng)一的理論來(lái)處理各種振動(dòng)問(wèn)題。 借助數(shù)學(xué)、物理、實(shí)驗(yàn)和計(jì)算技術(shù)

2、，探討各種振動(dòng)現(xiàn)象，闡明振動(dòng)的基本規(guī)律，以便克服振動(dòng)的消極因素，利用其積極因素，為合理解決各種振動(dòng)問(wèn)題提供理論依據(jù)。介紹9(1) Tacoma 峽谷大橋 (1940.11.07)(Barney Elliot,Harbine Monroe)振動(dòng)的危害介紹10卡門(mén)渦街（Krmn vortex street）引起橋梁共振 介紹11(2) 英國(guó)渡橋電廠冷卻塔 (1965)塔高122m, 鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)介紹振動(dòng)的危害12振動(dòng)的危害13利用振動(dòng)為人類(lèi)服務(wù)介紹14 通常的研究對(duì)象被稱(chēng)作系統(tǒng)，它可以是一個(gè)零部件、一臺(tái)機(jī)器或者一個(gè)完整的工程結(jié)構(gòu)等。系統(tǒng)是對(duì)一般機(jī)器或結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的一類(lèi)抽象數(shù)學(xué)模型，當(dāng)研究的目的是關(guān)于

3、系統(tǒng)的振動(dòng)性能時(shí)，該系統(tǒng)模型稱(chēng)為振動(dòng)系統(tǒng)。振動(dòng)研究的問(wèn)題介紹 系統(tǒng)的輸入和輸出，往往又分別稱(chēng)為“激勵(lì)”和“響應(yīng)”。 系統(tǒng)的“激勵(lì)”一般是外界對(duì)系統(tǒng)的作用，它可能是力，也可能是位移。而“響應(yīng)”則一般是系統(tǒng)的變形和位移或速度或加速度。系統(tǒng)之所以振動(dòng)是因?yàn)椋?1)系統(tǒng)受到了外部激勵(lì)這是外因； (2)系統(tǒng)具有質(zhì)量和彈性這是內(nèi)因。 從能量轉(zhuǎn)化的角度看，外界對(duì)系統(tǒng)的激勵(lì)就是對(duì)系統(tǒng)做功，這個(gè)功被儲(chǔ)存到系統(tǒng)中，一部分轉(zhuǎn)化為質(zhì)量塊的動(dòng)能，一部分轉(zhuǎn)化為彈性體的變形勢(shì)能。 反復(fù)振動(dòng)的過(guò)程就是激勵(lì)功、動(dòng)能和勢(shì)能之間不斷轉(zhuǎn)化的過(guò)程。 如果系統(tǒng)沒(méi)有繼續(xù)從外界獲得能量，在經(jīng)歷一段時(shí)間后振動(dòng)就會(huì)停止，這是因?yàn)橄到y(tǒng)存在阻尼。激

4、勵(lì)、質(zhì)量、彈性、阻尼是振動(dòng)系統(tǒng)的四大要素。15輸入 激勵(lì)f(t)輸出 響應(yīng)x(t)振 動(dòng)系統(tǒng)h(t)根據(jù)給定的條件及求解的問(wèn)題不同，振動(dòng)所研究的問(wèn)題主要有如下三類(lèi)：振動(dòng)分析：如已知路面條件和車(chē)輛結(jié)構(gòu)，乘坐舒適性和操縱穩(wěn)定性分析。振動(dòng)隔離動(dòng)態(tài)特性分析如為減小汽車(chē)在不平路面上行駛時(shí)傳給車(chē)身振動(dòng)的懸架設(shè)計(jì)。已知系統(tǒng)特性和振動(dòng)響應(yīng)，求系統(tǒng)所受到的激勵(lì)。有在線(xiàn)控制、工具開(kāi)發(fā)等，如振源判斷、載荷識(shí)別、工況監(jiān)控與故障診斷等，基于五輪儀的路面譜測(cè)量就是這方面的應(yīng)用。已知激勵(lì)和系統(tǒng)特性，求系統(tǒng)響應(yīng)。振動(dòng)的正問(wèn)題環(huán)境預(yù)測(cè)：振動(dòng)的逆問(wèn)題振動(dòng)研究的問(wèn)題介紹16這類(lèi)問(wèn)題往往用模態(tài)實(shí)驗(yàn)的方法識(shí)別出系統(tǒng)，以建立振動(dòng)模型或檢

5、驗(yàn)已有的理論模型。系統(tǒng)辨識(shí)：已知激勵(lì)和系統(tǒng)響應(yīng)，確定系統(tǒng)的特性。也是振動(dòng)的逆問(wèn)題振動(dòng)研究的問(wèn)題介紹17(1) 理論分析方法(2)試驗(yàn)研究(3)理論分析與試驗(yàn)相結(jié)合振動(dòng)的基本研究方法介紹18振動(dòng)的基本研究方法介紹(1) 理論分析方法19建立振動(dòng)系統(tǒng)的力學(xué)模型建立運(yùn)動(dòng)方程求解方程，得到響應(yīng)規(guī)律力學(xué)知識(shí)單自由度系統(tǒng)高等數(shù)學(xué)（微分方程）多自由度系統(tǒng)線(xiàn)性代數(shù)（矩陣運(yùn)算）(1) 理論分析方法振動(dòng)的基本研究方法介紹20一個(gè)受簡(jiǎn)諧激振力作用的單自由度系統(tǒng)質(zhì)量阻尼系數(shù)剛度激勵(lì)力質(zhì)量彈性阻尼激勵(lì)振動(dòng)系統(tǒng)四要素振動(dòng)的基本研究方法介紹(1) 理論分析方法21振動(dòng)系統(tǒng) 傳感器放大器 測(cè)振儀 頻譜分析 信號(hào)發(fā)生器 激振器

6、 (2)實(shí)驗(yàn)研究方法 振動(dòng)分析結(jié)果的驗(yàn)證系統(tǒng)辨識(shí) 利用系統(tǒng)的輸入和輸出信號(hào)建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的理論和方法振動(dòng)的基本研究方法介紹223）理論與實(shí)驗(yàn)相結(jié)合的方法 通過(guò)理論分析與實(shí)驗(yàn)相結(jié)合的方法可以更好地研究振動(dòng)。 通過(guò)模態(tài)分析實(shí)驗(yàn)方法識(shí)別出系統(tǒng)，建立系統(tǒng)特性模型，或通過(guò)振動(dòng)響應(yīng)實(shí)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證理論分析的結(jié)果，也可以用理論分析的方法預(yù)測(cè)系統(tǒng)的響應(yīng)。介紹23按系統(tǒng)輸入類(lèi)型：自由振動(dòng)強(qiáng)迫振動(dòng)自激振動(dòng)參數(shù)振動(dòng)振動(dòng)的分類(lèi)介紹根據(jù)描述系統(tǒng)的微分方程：線(xiàn)性振動(dòng)非線(xiàn)性振動(dòng)根據(jù)系統(tǒng)的自由度：?jiǎn)巫杂啥榷嘧杂啥葻o(wú)限自由度24根據(jù)系統(tǒng)振動(dòng)規(guī)律：周期振動(dòng)非周期振動(dòng)隨機(jī)振動(dòng)振動(dòng)的分類(lèi)介紹25汽車(chē)振動(dòng)就是把汽車(chē)作為研究對(duì)象，研究其整體

7、或某個(gè)部位的振動(dòng)問(wèn)題。汽車(chē)上的主要振動(dòng)問(wèn)題： 發(fā)動(dòng)機(jī)和傳動(dòng)系統(tǒng)、懸架系統(tǒng)、制動(dòng)系統(tǒng)、轉(zhuǎn)向系統(tǒng)、車(chē)身和車(chē)架 路面不平車(chē)速和運(yùn)動(dòng)方向的變化車(chē)輪、發(fā)動(dòng)機(jī)和傳動(dòng)系統(tǒng)的不平衡齒輪的沖擊動(dòng)力性發(fā)揮不充分經(jīng)濟(jì)性變壞通過(guò)性、操縱穩(wěn)定性和平順性不好損壞零部件和貨物縮短使用壽命汽車(chē)上振動(dòng)的問(wèn)題介紹26四沖程內(nèi)燃機(jī)的示功圖導(dǎo)致曲軸干擾力的最主要原因是：氣缸內(nèi)周期變化的氣體壓力和活塞連桿曲柄機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的慣性力。（1）發(fā)動(dòng)機(jī)和傳動(dòng)系統(tǒng)曲軸受周期干擾力作用而產(chǎn)生的扭振發(fā)動(dòng)機(jī)在車(chē)架上的整機(jī)振動(dòng)氣門(mén)機(jī)構(gòu)的振動(dòng)汽車(chē)上振動(dòng)的問(wèn)題介紹27(2)懸架系統(tǒng)平順性就是保持汽車(chē)在行駛過(guò)程中乘員所處的振動(dòng)環(huán)境具有一定的舒適度的性能，對(duì)于

8、載貨汽車(chē)還應(yīng)包括保持貨物完好的性能。懸架系統(tǒng)振動(dòng)主要研究汽車(chē)平順性由彈簧和減震器組成的懸架系統(tǒng)功能是：緩和由不平路面?zhèn)鹘o車(chē)身的沖擊載荷，衰減由沖擊載荷引起的承載系統(tǒng)的振動(dòng)。汽車(chē)上振動(dòng)的問(wèn)題介紹28（3）制動(dòng)系統(tǒng) 汽車(chē)制動(dòng)時(shí)，行駛方向的慣性力和作用在輪胎上的地面制動(dòng)力所形成的力矩會(huì)使前軸負(fù)荷增大，后軸負(fù)荷減小，從而加強(qiáng)了制動(dòng)時(shí)整車(chē)的振動(dòng)。汽車(chē)上振動(dòng)的問(wèn)題介紹29(4)轉(zhuǎn)向系統(tǒng) 轉(zhuǎn)向輪會(huì)繞主銷(xiāo)的振動(dòng)成為擺振，擺振將導(dǎo)致汽車(chē)出現(xiàn)蛇行現(xiàn)象。 蛇行現(xiàn)象增加了輪胎的滾動(dòng)阻力，加劇了輪胎的磨損，增大了轉(zhuǎn)向阻力，降低了零件壽命，使平順性和操穩(wěn)性變壞，影響汽車(chē)使用性能。汽車(chē)上振動(dòng)的問(wèn)題介紹30(5)車(chē)身和車(chē)架

9、車(chē)身及車(chē)架系統(tǒng)一般是連續(xù)體，具有無(wú)限多個(gè)自由度，常采用有限元分析法分析車(chē)身和車(chē)架的振動(dòng)問(wèn)題。 有限元法是把連續(xù)體視為由若干個(gè)在節(jié)點(diǎn)處彼此相連接的基本單元組合，把無(wú)限多個(gè)自由度的連續(xù)結(jié)構(gòu)振動(dòng)問(wèn)題變?yōu)橛邢迋€(gè)自由度的振動(dòng)問(wèn)題。汽車(chē)上振動(dòng)的問(wèn)題介紹31單自由度系統(tǒng) 自由振動(dòng)是指振動(dòng)系統(tǒng)受到某種初始外界激勵(lì)后，并在所定義的時(shí)間零點(diǎn)開(kāi)始后不再受外界激勵(lì)情況下，系統(tǒng)所表達(dá)的運(yùn)動(dòng)。自由振動(dòng) 系統(tǒng)所表現(xiàn)出來(lái)的性質(zhì)，僅僅由系統(tǒng)本身的構(gòu)造分布所決定。32單自由度系統(tǒng) 假設(shè)阻尼為0。自由振動(dòng)令 通解為： 設(shè)系統(tǒng)初始條件： 則：33單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)振動(dòng)的圓頻率振動(dòng)的頻率 只與系統(tǒng)的剛度和質(zhì)量有關(guān)，與外界的激勵(lì)無(wú)關(guān)，

10、稱(chēng)為系統(tǒng)的固有頻率。 系統(tǒng)的振幅和初相位角，取決于外界的初始激勵(lì)及系統(tǒng)本身的剛度和質(zhì)量。34單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)存在阻尼時(shí)，即阻尼不為0。定義阻尼比：令其特解為：代入上式得系統(tǒng)特征方程：其解為：方程通解為：35單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)可知單自由度系統(tǒng)總體表現(xiàn)為衰減運(yùn)動(dòng)，衰減形態(tài)由阻尼比決定。方程通解為： 阻尼比不僅僅取決于阻尼系數(shù)，還與系統(tǒng)的質(zhì)量和剛度有關(guān)，阻尼比是描述系統(tǒng)振動(dòng)特性的一個(gè)本質(zhì)特征參數(shù)。 主要的運(yùn)動(dòng)形態(tài)有以下幾種： (1)欠阻尼形態(tài)； (2)臨屆阻尼形態(tài)； (3)過(guò)阻尼形態(tài)。36(1)欠阻尼情況 (阻尼振動(dòng)頻率)或：欠阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)響應(yīng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)37振幅按指數(shù)規(guī)律 衰減

11、； 自由振動(dòng)具有等時(shí)性，即相鄰兩個(gè)正（負(fù)）峰值之間的時(shí)間間隔均為: 阻尼振動(dòng)周期 自由振動(dòng)為非周期振動(dòng)；欠阻尼振動(dòng)特性：?jiǎn)巫杂啥认到y(tǒng)自由振動(dòng)自由振動(dòng)曲線(xiàn)(欠阻尼)01234-0.20-0.15-0.10-0.050.000.050.100.150.20wn = 10rad/s, z = 4%x0 = 0.0m, dx(0)/dt =2.0 m/s x, mt, s38(2)臨界阻尼情況 特征方程有一對(duì)相等實(shí)根，故通解：?jiǎn)巫杂啥认到y(tǒng)自由振動(dòng)39結(jié)論：臨界阻尼系統(tǒng)的自由運(yùn)動(dòng)為衰減非振蕩運(yùn)動(dòng)。質(zhì)量塊對(duì)初始條件的臨界阻尼響應(yīng)0.00.51.01.52.0-0.02-0.010.000.010.02m=

12、10 kg, k=1000 N/m, c=200 Ns/mx, mt, s x0 =0.02m, dx(0)/dt =0.0 m/s x0 =0.02m, dx(0)/dt =-0.5 m/s x0 =0.02m, dx(0)/dt =-1.0 m/s單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)(2)臨界阻尼情況 40(3)過(guò)阻尼情況 特征方程有一對(duì)互異實(shí)根，故通解為：?jiǎn)巫杂啥认到y(tǒng)自由振動(dòng)41結(jié)論：過(guò)阻尼系統(tǒng)的自由運(yùn)動(dòng)為衰減非振蕩運(yùn)動(dòng)。 質(zhì)量塊對(duì)初始位移的過(guò)阻尼響應(yīng)0.00.51.01.52.00.0000.0050.0100.0150.020m=10 kg, k=1000 N/mx0 =0.02m, dx(0)/d

13、t =0m/s x, mt, s z=1.05 z=1.3 z=1.5(3)過(guò)阻尼情況 單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)42單自由度系統(tǒng)強(qiáng)迫振動(dòng) 強(qiáng)迫振動(dòng)是指系統(tǒng)有外部激勵(lì)期間表現(xiàn)的振動(dòng)，外界激勵(lì)可以是作用在質(zhì)量塊上的力，也可以是系統(tǒng)支承的運(yùn)動(dòng)。 強(qiáng)迫振動(dòng)從外界不斷地獲得能量來(lái)補(bǔ)償阻尼所消耗的能量，使系統(tǒng)得以維持持續(xù)的等幅振動(dòng)。 最簡(jiǎn)單的情況是簡(jiǎn)諧激振力或支承點(diǎn)的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)引起的強(qiáng)迫振動(dòng)。此時(shí)系統(tǒng)作與激振力或支承運(yùn)動(dòng)相同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，具有與激振力或支承運(yùn)動(dòng)的幅值和頻率都有關(guān)的一定的振幅。當(dāng)頻率接近于系統(tǒng)的固有頻率時(shí)，便發(fā)生共振。43強(qiáng)迫振動(dòng)激振力包括： 簡(jiǎn)諧激振力 非簡(jiǎn)諧的周期激振力 沖擊激振力 隨機(jī)激振

14、力，等等 激勵(lì)包括： 力激勵(lì) 運(yùn)動(dòng)激勵(lì) 單自由度系統(tǒng)44 f1 f2 f3簡(jiǎn)諧激振力作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)451.諧波激勵(lì)響應(yīng)單自由度系統(tǒng)強(qiáng)迫振動(dòng) 如果作用在系統(tǒng)的力是某個(gè)頻率簡(jiǎn)諧力，那么系統(tǒng)的響應(yīng)就稱(chēng)為諧波響應(yīng)。簡(jiǎn)諧激振力激振力幅值 激振頻率 令：簡(jiǎn)諧激振力作用下振動(dòng)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式:通解 特解 46通解 特解 通解：?jiǎn)巫杂啥认到y(tǒng)瞬態(tài)振動(dòng)穩(wěn)態(tài)振動(dòng)令特解為：B為強(qiáng)迫振動(dòng)振幅，為相位差令 ：靜位移 將特解帶入運(yùn)動(dòng)方程得：1.諧波激勵(lì)響應(yīng)47代入上式整理得：上式恒為零，可知：?jiǎn)巫杂啥认到y(tǒng)1.諧波激勵(lì)響應(yīng)48解出：令：頻率比簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的強(qiáng)迫振動(dòng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)解為：?jiǎn)巫杂啥认到y(tǒng)1.諧波激勵(lì)響應(yīng)4

15、9簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的強(qiáng)迫振動(dòng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)解為：強(qiáng)迫振動(dòng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的基本特點(diǎn)： (1)系統(tǒng)在簡(jiǎn)諧激勵(lì)的作用下，其強(qiáng)迫振動(dòng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振動(dòng)的頻率與激勵(lì)頻率相同。(2)強(qiáng)迫振動(dòng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的相位比激勵(lì)的相位滯后 。無(wú)阻尼系統(tǒng)：初始條件只能影響系統(tǒng)的瞬態(tài)振動(dòng)解。 (3)強(qiáng)迫振動(dòng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)振幅 B與相位差 取決于系統(tǒng)本身的特性（質(zhì)量m、剛度k、阻尼c）和激振力的頻率 、力幅 ，與振動(dòng)的初始條件無(wú)關(guān)。單自由度系統(tǒng)1.諧波激勵(lì)響應(yīng)50影響穩(wěn)態(tài)響應(yīng)幅值B的因素：靜位移頻率比 阻尼比強(qiáng)迫振動(dòng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的幅值 B 與激振力幅值F 成正比。無(wú)量綱形式振幅放大因子動(dòng)態(tài)放大因子單自由度系統(tǒng)1.諧波激勵(lì)響應(yīng)51放大因子：(1)頻率比

16、 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的振幅B近似等于激振力幅F 作用下的靜位移B0 。系統(tǒng)的振幅主要由彈簧控制；稱(chēng)為彈性控制區(qū)。1.諧波激勵(lì)響應(yīng)稱(chēng)為相對(duì)低頻段。幅頻特性52(2)頻率比 系統(tǒng)的振幅B主要取決于系統(tǒng)的慣性 。稱(chēng)為慣性控制區(qū)。 和 時(shí)，阻尼對(duì)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)幅值的影響很小。1.諧波激勵(lì)響應(yīng)放大因子：相對(duì)高頻帶。幅頻特性53(3)頻率比 無(wú)阻尼時(shí)，振幅B趨于無(wú)窮大。 系統(tǒng)共振：激振力頻率與系統(tǒng)的固有頻率相等。在 時(shí)： 系統(tǒng)阻尼 c 的大小對(duì)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的幅值 B 有著極為重要的影響。放大因子：1.諧波激勵(lì)響應(yīng)共振區(qū)幅頻特性54 系統(tǒng)阻尼 c 的大小對(duì)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的幅值 B 有著極為重要的影響。當(dāng)附近的區(qū)域，被稱(chēng)為阻尼控制區(qū)。

17、1.諧波激勵(lì)響應(yīng)(3)頻率比幅頻特性55如果：振幅放大因子沒(méi)有峰值。放大因子：1.諧波激勵(lì)響應(yīng)(4)放大因子最大值幅頻特性56相頻特性曲線(xiàn)(1)小阻尼 位移與激振力在相位上接近同相； 位移與激振力在相位上接近反相；(2) 在 前后相位差發(fā)生突變現(xiàn)象。(3)相位差隨著頻率比的增大而逐漸增大。1.諧波激勵(lì)響應(yīng)相頻特性57(4)阻尼對(duì)相位差的影響：隨著 的增大而增大；隨著 的增大而減??； 即共振時(shí)位移與激振力在相位滯后90 。 在振動(dòng)測(cè)試中，常常利用相位差的變化來(lái)確定共振點(diǎn)。 振動(dòng)響應(yīng)的幅值急劇增大的現(xiàn)象稱(chēng)為共振。在小阻尼情況下，定義共振頻率為：激振力的頻率等于系統(tǒng)的固有頻率。共振區(qū)：1.諧波激勵(lì)響

18、應(yīng)相頻特性58方程的解：先考慮無(wú)阻尼系統(tǒng)：無(wú)阻尼系統(tǒng)的特解為：2.諧波激勵(lì)引起的強(qiáng)迫振動(dòng)瞬態(tài)響應(yīng)過(guò)程59由得到：由得到：自由振動(dòng)自由伴隨振動(dòng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)伴隨振動(dòng)的特點(diǎn)：1、振動(dòng)頻率為系統(tǒng)的固有頻率；2、振幅與初始條件無(wú)關(guān)，而與系統(tǒng)本身的特性和激勵(lì)有關(guān)。外界的激振力不但激起強(qiáng)迫振動(dòng)，同時(shí)還要引起自由振動(dòng)。時(shí)：2.諧波激勵(lì)引起的強(qiáng)迫振動(dòng)瞬態(tài)響應(yīng)過(guò)程60考慮無(wú)阻尼系統(tǒng)出現(xiàn)共振時(shí)的情況：共振時(shí)不定型 采用羅必塔法則求出共振時(shí)的響應(yīng)：短暫時(shí)間后2.諧波激勵(lì)引起的強(qiáng)迫振動(dòng)瞬態(tài)響應(yīng)過(guò)程61 自由振動(dòng)和自由伴隨振動(dòng)都將隨時(shí)間逐漸衰減而趨于零，所以它們都是瞬態(tài)響應(yīng)，而系統(tǒng)將在外界激勵(lì)的作用下保持穩(wěn)定的等幅振動(dòng)。工程

19、中的實(shí)際系統(tǒng)都存在著一定的阻尼,62 對(duì)有阻尼系統(tǒng)：得到：解出：因?yàn)椋?.諧波激勵(lì)引起的強(qiáng)迫振動(dòng)瞬態(tài)響應(yīng)過(guò)程63方程的解：有阻尼自由振動(dòng)解自由伴隨振動(dòng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)當(dāng)時(shí)： 有阻尼自由振動(dòng)和自由伴隨振動(dòng)都是瞬態(tài)響應(yīng)，它們將隨時(shí)間逐漸衰減直到消失，系統(tǒng)將保持穩(wěn)態(tài)的強(qiáng)迫振動(dòng)。64支承的運(yùn)動(dòng)規(guī)律：整理：彈簧傳遞過(guò)來(lái)的激振力 阻尼器傳遞過(guò)來(lái)的激振力采用復(fù)數(shù)解法：支承運(yùn)動(dòng) 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)解單自由度系統(tǒng)3.支承諧波激勵(lì)響應(yīng)65穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的幅值：求相位差：改寫(xiě)為無(wú)量綱量：振幅放大因子傳遞率 66傳遞率的頻率特性： 低頻段 質(zhì)量塊的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)近似等于基礎(chǔ)的運(yùn)動(dòng)（動(dòng)畫(huà)） 共振區(qū)域附近： 近似最大說(shuō)明基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)經(jīng)彈簧和阻尼器傳

20、遞到質(zhì)量塊后放大了（動(dòng)畫(huà)）01230123452z=0.707z=0.2z=0.01lz=0.167注意到： 高頻段： 說(shuō)明基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)被彈簧和阻尼器隔離了。01230123452z=0.707z=0.2z=0.01lz=0.168對(duì)相同阻尼比，隨頻率比增加傳遞率的下降不再明顯。69例1.汽車(chē)的拖車(chē),已知：滿(mǎn)載時(shí)m1=1000kg， ?？蛰d時(shí)m2=250kg，k=350kN/m，車(chē)速v=100km/h，l =5m。求：汽車(chē)的拖車(chē)在滿(mǎn)載和空載時(shí)的振幅之比。解：拖車(chē)勻速行駛路面的激振頻率為：空載時(shí)拖車(chē)的相對(duì)阻尼比：70滿(mǎn)載時(shí)的頻率比：空載時(shí)的頻率比：滿(mǎn)載時(shí)空載時(shí)汽車(chē)的拖車(chē)在滿(mǎn)載和空載時(shí)的振幅比：71振

21、動(dòng)的隔離分為兩種：主動(dòng)隔振和被動(dòng)隔振。(1)主動(dòng)隔振 （振源是機(jī)器）（根據(jù)振源情況）將振動(dòng)的機(jī)器與地基隔離開(kāi)，以減少振源對(duì)周?chē)挠绊憽?主動(dòng)隔振的目的是減小由于振動(dòng)傳遞到地基上的力。隔振效果：力傳遞率TF主動(dòng)隔振系數(shù)P0：隔振前傳到地基上的力的幅值。PT：隔振后傳到地基上的力的幅值。單自由度系統(tǒng)4.振動(dòng)的隔離隔振: 在設(shè)備和基礎(chǔ)之間加入彈性支撐來(lái)減小相互之間所傳遞的振動(dòng)量。72力傳遞率TFP0：隔振前傳到地基上的力的幅值。PT：隔振后傳到地基上的力的幅值。通過(guò)彈簧傳到地基上的力的幅值為通過(guò)阻尼器傳到地基上的力的幅值為 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)幅值：得到力傳遞率：73(2)被動(dòng)隔振（振源來(lái)自地基的運(yùn)動(dòng)）隔振效果

22、采用位移傳遞率 TD表示。定義為隔振后機(jī)器設(shè)備的振動(dòng)幅值與地基運(yùn)動(dòng)的幅值之比。地基的運(yùn)動(dòng)：位移傳遞率：被動(dòng)隔振系數(shù)主動(dòng)隔振 （振源是機(jī)器）力傳遞率力傳遞率TF位移傳遞率TD統(tǒng)稱(chēng)為傳遞率:74任意的周期激振力基頻：穩(wěn)態(tài)響應(yīng)解：無(wú)阻尼系統(tǒng)：?jiǎn)巫杂啥认到y(tǒng)5.任意周期激勵(lì)響應(yīng)75任意激勵(lì)：任意的時(shí)間函數(shù)。分析方法：把非周期激振力看成為一系列脈沖載荷所組成。1.單位脈沖響應(yīng)單位脈沖函數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：?jiǎn)巫杂啥认到y(tǒng)對(duì)任意激勵(lì)的響應(yīng)在零時(shí)刻作用有單位脈沖函數(shù)并且有零初始條件的單自由度系統(tǒng)，有：76系統(tǒng)在單位脈沖力作用下的運(yùn)動(dòng)微分方程與初始條件：即：速度發(fā)生突變，初位移及其增量為零 ，上式變?yōu)椋簡(jiǎn)巫杂啥认到y(tǒng)1.單

23、位脈沖響應(yīng)對(duì)上式左右兩邊對(duì)時(shí)間在 內(nèi)積分，得：77系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)：無(wú)阻尼系統(tǒng)：脈沖響應(yīng)為：由于脈沖持續(xù)時(shí)間視為無(wú)窮小，脈沖作用時(shí)間后系統(tǒng)就成為有初始速度擾動(dòng)的自由振動(dòng)。如果 時(shí)刻，作用強(qiáng)度為 的脈沖。單自由度系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)782.任意激振力的響應(yīng)杜哈梅（Duhamel）積分線(xiàn)性系統(tǒng)對(duì)任意激勵(lì)的零初始條件下的響應(yīng)等于它的單位脈沖響應(yīng)與激勵(lì)的卷積。卷積的性質(zhì)：杜哈梅（Duhamel）積分單自由度系統(tǒng)把 看作一系列沖量微元 之和。對(duì)于沖量微元，系統(tǒng)的響應(yīng)微元為：根據(jù)疊加原理，系統(tǒng)對(duì)整個(gè)激勵(lì)的響應(yīng)為各響應(yīng)微元的疊加：79將 帶入下式，得：?jiǎn)巫杂啥认到y(tǒng)2.任意激振力的響應(yīng)杜哈梅（Duhamel）積分8

24、0系統(tǒng)對(duì)任意激勵(lì)的響應(yīng)：無(wú)阻尼系統(tǒng)對(duì)任意激勵(lì)的響應(yīng)：杜哈梅積分是系統(tǒng)在零初始條件下的響應(yīng)，當(dāng)激勵(lì)為簡(jiǎn)諧激勵(lì)時(shí)，杜哈梅積分即為自由伴隨振動(dòng)和穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng)兩部分。單自由度系統(tǒng)2.任意激振力的響應(yīng)杜哈梅（Duhamel）積分81例.求無(wú)阻尼單自由度系統(tǒng)受矩形脈沖力作用的響應(yīng)。解：簡(jiǎn)諧振動(dòng)系統(tǒng)的響應(yīng)：82函數(shù)f ( t )的傅氏積分形式為：?jiǎn)巫杂啥认到y(tǒng)3.頻率響應(yīng)函數(shù)和傳遞函數(shù)式中：f ( t )傅氏變換傅氏反變換作傅氏變換和 稱(chēng)為傅氏變換對(duì)。就是系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)。作傅氏變換系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)定義為輸出的傅氏變換與輸入的傅氏變換之比。83單自由度系統(tǒng)3.頻率響應(yīng)函數(shù)和傳遞函數(shù)作傅氏變換頻率響應(yīng)函數(shù)頻

25、率響應(yīng)函數(shù)的模84拉氏變換：卷積定理：?jiǎn)巫杂啥认到y(tǒng)3.頻率響應(yīng)函數(shù)和傳遞函數(shù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)定義為輸出的拉氏變換與輸入的拉氏變換之比。作拉氏變換S 為復(fù)變量85系統(tǒng)的傳遞函數(shù)定義為輸出的拉氏變換與輸入的拉氏變換之比。作拉氏變換：S 為復(fù)變量系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：?jiǎn)挝幻}沖響應(yīng) h(t) 是傳遞函數(shù) H(s) 的拉氏逆變換?；騻鬟f函數(shù) H(s)是單位脈沖響應(yīng) h ( t ) 的拉氏變換。作拉氏變換：?jiǎn)巫杂啥认到y(tǒng)86時(shí)間域激勵(lì)f (t)單位脈沖響應(yīng)h(t)響應(yīng)x(t)頻率域激勵(lì)譜復(fù)頻響應(yīng)函數(shù)響應(yīng)譜復(fù)數(shù)域變換激勵(lì)f (s)傳遞函數(shù)H(s)變換響應(yīng)X(s)令復(fù)變量記：系統(tǒng)的復(fù)頻響應(yīng)函數(shù)與傳遞函數(shù)的關(guān)系。87 例

26、1.試建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。解：兩自由度系統(tǒng)多自由度系統(tǒng)多自由度系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程88多自由度系統(tǒng)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程89例2M1(t)，M2(t)I1 , I2 試：建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。解：受力分析 角振動(dòng)與直線(xiàn)振動(dòng)在數(shù)學(xué)描述上相同，在多自由度系統(tǒng)中也將質(zhì)量、剛度、位移、加速度以及力都理解為廣義的。多自由度系統(tǒng)多自由度系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程90例3.研究汽車(chē)上下振動(dòng)和俯仰振動(dòng)的力學(xué)模型，寫(xiě)出車(chē)體振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程。多自由度系統(tǒng)拉格朗日方程：為系統(tǒng)的總動(dòng)能、總勢(shì)能、總耗散能為第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)廣義坐標(biāo)、廣義力91解：建立所示簡(jiǎn)化的分析模型，多自由度系統(tǒng)92通過(guò)分析，得： 方程組各方程間在變量上存在相互聯(lián)系，也

27、就是說(shuō)一個(gè)方程包含多個(gè)變量及其導(dǎo)數(shù)，稱(chēng)耦合。 選取的廣義坐標(biāo)不同，所得到的運(yùn)動(dòng)微分方程不同，方程的耦合情況也不相同。 上式存在慣性耦合以及彈性耦合。多自由度系統(tǒng)93解：建立所示簡(jiǎn)化的分析模型，選質(zhì)心C的垂直位移和繞C點(diǎn)的角位移為廣義坐標(biāo)。多自由度系統(tǒng)94不存在慣性耦合。多自由度系統(tǒng)95多自由度系統(tǒng)的固有頻率作用力方程：自由振動(dòng)方程： 在考慮系統(tǒng)的固有振動(dòng)時(shí)，最感興趣的是系統(tǒng)的同步振動(dòng)，即系統(tǒng)在各個(gè)坐標(biāo)上除了運(yùn)動(dòng)幅值不相同外，隨時(shí)間變化的規(guī)律都相同的運(yùn)動(dòng) 。和單自由度系統(tǒng)一樣，自由振動(dòng)時(shí)系統(tǒng)將以固有頻率為振動(dòng)頻率。多自由度系統(tǒng)實(shí)模態(tài)分析96同步振動(dòng)：系統(tǒng)在各個(gè)坐標(biāo)上除了運(yùn)動(dòng)幅值不相同外，隨時(shí)間變

28、化的規(guī)律都相同的運(yùn)動(dòng) 。振動(dòng)形式1振動(dòng)形式2振動(dòng)形式3三自由度系統(tǒng)思考：同步振動(dòng)是不是解耦振動(dòng)？多自由度系統(tǒng)97多自由度系統(tǒng)的固有頻率作用力方程：自由振動(dòng)方程：代表著振動(dòng)的形狀常數(shù)列向量 和單自由度系統(tǒng)一樣，自由振動(dòng)時(shí)系統(tǒng)將以固有頻率為振動(dòng)頻率。同步振動(dòng)：系統(tǒng)在各個(gè)坐標(biāo)上除了運(yùn)動(dòng)幅值不相同外，隨時(shí)間變化的規(guī)律都相同的運(yùn)動(dòng)。 運(yùn)動(dòng)規(guī)律的時(shí)間函數(shù) 多自由度系統(tǒng)98代入，并左乘 ：常數(shù)M 正定，K 正定或半正定 對(duì)于非零列向量 ： 令：對(duì)于半正定系統(tǒng)，有 對(duì)于正定系統(tǒng)必有 多自由度系統(tǒng)99a、b、 為常數(shù)（1）正定系統(tǒng) 只可能出現(xiàn)形如 的同步運(yùn)動(dòng)。系統(tǒng)在各個(gè)坐標(biāo)上都是按相同頻率及初相位作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。

29、（2）半正定系統(tǒng) 可能出現(xiàn)形如 的同步運(yùn)動(dòng)。也可能出現(xiàn)形如 的同步運(yùn)動(dòng)（不發(fā)生彈性變形 ）。主振動(dòng)多自由度系統(tǒng)100首先討論正定系統(tǒng)的主振動(dòng)： M 正定，K 正定主振動(dòng)：正定系統(tǒng)：將常數(shù) a 并入 中代入振動(dòng)方程： 有非零解的充分必要條件：特征方程 多自由度系統(tǒng)101解出 n 個(gè)值，按升序排列為： ：第 i 階固有頻率頻率方程或特征多項(xiàng)式僅取決于系統(tǒng)本身的剛度、質(zhì)量等物理參數(shù)。：基頻。多自由度系統(tǒng)102例：三自由度系統(tǒng)m2kmmk2kkx1x2x3多自由度系統(tǒng)103多自由度系統(tǒng)的模態(tài)（主振型）正定系統(tǒng)：主振動(dòng)：特征值問(wèn)題：特征值特征向量 n 自由度系統(tǒng)：（固有頻率）（模態(tài)向量）一一對(duì)應(yīng)代入，有

30、：第i 階模態(tài)特征值問(wèn)題。振動(dòng)的形狀多自由度系統(tǒng)104令：解得：的值也可以取任意非零常數(shù)將解得 特征向量 在特征向量中規(guī)定某個(gè)元素的值以確定其他各元素的值的過(guò)程稱(chēng)為歸一化 。多自由度系統(tǒng)105正定系統(tǒng)：主振動(dòng)：將 ， 代入主振動(dòng)方程,并將改為第 i 階主振動(dòng) ：系統(tǒng)在各個(gè)坐標(biāo)上都將以第 i 階固有頻率wi 做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，并且同時(shí)通過(guò)靜平衡位置。 多自由度系統(tǒng)106第一階主振動(dòng)第二階主振動(dòng)第三階主振動(dòng)三自由度系統(tǒng)系統(tǒng)在各個(gè)坐標(biāo)上都將以第 i 階固有頻率wi 做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，并且同時(shí)通過(guò)靜平衡位置 w1w2w3多自由度系統(tǒng)107第 i 階主振動(dòng) ：多自由度系統(tǒng)108第 i 階主振動(dòng) ：比值： 雖然各坐標(biāo)

31、上振幅的精確值并沒(méi)有確定，但是所表現(xiàn)的系統(tǒng)振動(dòng)形態(tài)已確定 。描述了系統(tǒng)做第 i 階主振動(dòng)時(shí)具有的振動(dòng)形態(tài)，稱(chēng)為第 i 階主振型，或第 i 階模態(tài)。主振型僅取決于系統(tǒng)的 M 陣、K 陣等物理參數(shù)。第 i 階特征向量 ，就是系統(tǒng)做第 i 階主振動(dòng)時(shí)各個(gè)坐標(biāo)上位移（或振幅）的相對(duì)比值 。多自由度系統(tǒng)109正定系統(tǒng)：第 i 階主振動(dòng) ：系統(tǒng)的自由振動(dòng)：n個(gè)主振動(dòng)的疊加 模態(tài)疊加法 由于各個(gè)主振動(dòng)的固有頻率不相同，多自由度系統(tǒng)的固有振動(dòng)一般不是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，甚至不是周期振動(dòng)。 初始條件決定多自由度系統(tǒng)110例：兩自由度彈簧質(zhì)量系統(tǒng)m2m2kkkx1x2求：固有頻率和主振型。多自由度系統(tǒng)111解：動(dòng)力學(xué)方程：

32、令主振動(dòng)： 或直接用 得： m2m2kkkx1x2多自由度系統(tǒng)112令 特征方程： 為求主振型，先將 代入 ：一個(gè)獨(dú)立 令則第一階主振型：令則代入第二階主振型：同理： 多自由度系統(tǒng)113第一階主振型：第二階主振型：畫(huà)圖：橫坐標(biāo)表示靜平衡位置，縱坐標(biāo)表示主振型中各元素的值。 第一階主振動(dòng):11m2m2kkkx1x2兩個(gè)質(zhì)量以w1為振動(dòng)頻率，同時(shí)經(jīng)過(guò)各自的平衡位置，方向相同，而且每一時(shí)刻的位移量都相同。aa同向運(yùn)動(dòng)多自由度系統(tǒng)114第一階主振型：第二階主振型：畫(huà)圖：橫坐標(biāo)表示靜平衡位置，縱坐標(biāo)表示主振型中各元素的值 -21m2m2kkkx1x2第二階主振動(dòng): 兩個(gè)質(zhì)量以w2為振動(dòng)頻率，同時(shí)經(jīng)過(guò)各自

33、的平衡位置，方向相反，每一時(shí)刻第一個(gè)質(zhì)量的位移都是第二個(gè)質(zhì)量的位移的兩倍。 異向運(yùn)動(dòng) 2aa多自由度系統(tǒng)115第一階主振型：第二階主振型：第一階主振動(dòng):同向運(yùn)動(dòng)始終不振動(dòng)點(diǎn)11-21無(wú)節(jié)點(diǎn) 一個(gè)節(jié)點(diǎn) m2m2kkkx1x2第二階主振動(dòng):異向運(yùn)動(dòng) 節(jié)點(diǎn) 如果傳感器放在節(jié)點(diǎn)位置，則測(cè)量的信號(hào)中將不包含有第二階模態(tài)的信息 。多自由度系統(tǒng)116解：動(dòng)力學(xué)方程：主振動(dòng)： 或 2kmmmk2kkx1x2x3多自由度系統(tǒng)117解：動(dòng)力學(xué)方程：主振動(dòng)： 或 2kmmmk2kkx1x2x3多自由度系統(tǒng)118令 行列式0單根 分別代入，得 第二階模態(tài)有 1 個(gè)節(jié)點(diǎn)，第三階模態(tài)有 2 個(gè)節(jié)點(diǎn)，這由主振型內(nèi)元素符號(hào)變

34、號(hào)的次數(shù)可以判斷出。多自由度系統(tǒng)119模態(tài)圖形：1121-11-11第一階模態(tài)：第二階模態(tài)：第三階模態(tài)：2kmmmk2kkx1x2x3無(wú)節(jié)點(diǎn)一個(gè)節(jié)點(diǎn)兩個(gè)節(jié)點(diǎn)多自由度系統(tǒng)120單自由度系統(tǒng)多自由度系統(tǒng)121兩自由度系統(tǒng)第一階模態(tài)第二階模態(tài)一個(gè)節(jié)點(diǎn)無(wú)節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)位置多自由度系統(tǒng)122第一階模態(tài)第二階模態(tài)第三階模態(tài)三自由度系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)位置無(wú)節(jié)點(diǎn)一個(gè)節(jié)點(diǎn)兩個(gè)節(jié)點(diǎn)多自由度系統(tǒng)123第一階模態(tài)第二階模態(tài)第三階模態(tài)第四階模態(tài)四自由度系統(tǒng)一個(gè)節(jié)點(diǎn)兩個(gè)節(jié)點(diǎn)三個(gè)節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)位置無(wú)節(jié)點(diǎn)多自由度系統(tǒng)124模態(tài)的正交性，主質(zhì)量和主剛度兩式相減：轉(zhuǎn)置右乘左乘若 時(shí)， 模態(tài)關(guān)于質(zhì)量的正交性模態(tài)關(guān)于剛度的正交性均滿(mǎn)足：當(dāng) ij 時(shí)第 i

35、 階模態(tài)主質(zhì)量第 i 階模態(tài)主剛度第 i 階主模態(tài)恒成立多自由度系統(tǒng)K、M是對(duì)稱(chēng)陣KKT MMT125模態(tài)關(guān)于質(zhì)量的正交性模態(tài)關(guān)于剛度的正交性當(dāng) ij 時(shí)主質(zhì)量主剛度當(dāng) 時(shí)利用 Kronecker 符號(hào)： 第 i 階固有頻率：多自由度系統(tǒng)126主模態(tài)：第 i 階模態(tài)主質(zhì)量第 i 階模態(tài)主剛度第 i 階主模態(tài)多自由度系統(tǒng)：另一種模態(tài)：正則模態(tài)定義：全部主質(zhì)量皆為1的主模態(tài) 令：正則模態(tài)和主模態(tài)之間的關(guān)系：相對(duì)于 的主剛度：多自由度系統(tǒng)127正則模態(tài)的正交性條件：主模態(tài)的正交性條件：第 i 階模態(tài)主質(zhì)量第 i 階模態(tài)主剛度第 i 階主模態(tài)主模態(tài)：主質(zhì)量為1固有頻率的平方第 i 階正則模態(tài)正則模態(tài)：

36、多自由度系統(tǒng)128多自由度系統(tǒng)：主模態(tài)將 組成矩陣模態(tài)矩陣主質(zhì)量矩陣主剛度矩陣正交性條件：對(duì)角陣多自由度系統(tǒng)129推導(dǎo)：對(duì)角陣多自由度系統(tǒng)130多自由度系統(tǒng)：正則模態(tài)將 組成矩陣正則模態(tài)矩陣單位矩陣譜矩陣正交性條件：多自由度系統(tǒng)131多自由度系統(tǒng)：特征值問(wèn)題：依次取 ，得到的 n 個(gè)方程，可合寫(xiě)為：主模態(tài)正交性條件：左乘 ：多自由度系統(tǒng)132模態(tài)疊加法物理空間耦合主模態(tài)空間解耦物理空間耦合正則模態(tài)空間解耦133例：三自由度系統(tǒng)模態(tài)矩陣：主質(zhì)量矩陣：主剛度矩陣： Kp、Mp非對(duì)角線(xiàn)項(xiàng)等于零說(shuō)明主振型是關(guān)于剛度陣及質(zhì)量陣相互正交的. 譜矩陣：2kmmmk2kkx1x2x3多自由度系統(tǒng)134方程 引

37、入輔助方程令狀態(tài)空間方程多自由度系統(tǒng)復(fù)模態(tài)分析不滿(mǎn)足廣義的比例阻尼 令解代入上式，得：齊次方程135設(shè)其解為特征方程 2n個(gè)特征值多自由度系統(tǒng)復(fù)模態(tài)分析狀態(tài)空間方程代入上式，得：由得到2n個(gè)2n維特征向量 并有 136 復(fù)特征向量的正交性i，j=1，2，,n多自由度系統(tǒng)復(fù)模態(tài)分析定義：137 定義線(xiàn)性變換：多自由度系統(tǒng)復(fù)模態(tài)分析代入兩邊左乘其中138多自由度系統(tǒng)復(fù)模態(tài)分析兩邊進(jìn)行拉普拉斯變換，得：對(duì)上式兩邊進(jìn)行拉普拉斯逆變換，得：求得：139得：多自由度系統(tǒng)復(fù)模態(tài)分析將 代入得：140多自由度系統(tǒng)復(fù)模態(tài)分析粘性阻尼系統(tǒng)的利用復(fù)模態(tài)疊加的包括初始條件和任意激勵(lì)的相應(yīng)。141 實(shí)際的振動(dòng)系統(tǒng)都是連

38、續(xù)體，它們具有連續(xù)分布的質(zhì)量與彈性，因而又稱(chēng)連續(xù)系統(tǒng)或分布參數(shù)系統(tǒng)。 由于確定連續(xù)體上無(wú)數(shù)質(zhì)點(diǎn)的位置需要無(wú)限多個(gè)坐標(biāo)，因此連續(xù)體是具有無(wú)限多自由度的系統(tǒng)。 連續(xù)體的振動(dòng)要用時(shí)間和空間坐標(biāo)的函數(shù)來(lái)描述，其運(yùn)動(dòng)方程不再像有限多自由度系統(tǒng)那樣是二階常微分方程組，它是偏微分方程。 在物理本質(zhì)上，連續(xù)體系統(tǒng)和多自由度系統(tǒng)沒(méi)有什么差別，連續(xù)體振動(dòng)的基本概念與分析方法與有限多自由度系統(tǒng)是完全類(lèi)似的。連續(xù)系統(tǒng)振動(dòng)1421.弦的橫向振動(dòng)弦兩端固定，以張力 F 拉緊在分布力作用下作橫向振動(dòng) 建立坐標(biāo)系弦上距原點(diǎn) x 處的橫截面在 t 時(shí)刻的橫向位移 單位長(zhǎng)度弦上分布的作用力 單位長(zhǎng)度弦的質(zhì)量 微段受力情況 達(dá)朗貝

39、爾原理： 弦的橫向強(qiáng)迫振動(dòng)方程令：并考慮到：得：連續(xù)系統(tǒng)振動(dòng)一維彈性體振動(dòng)1431.弦的橫向振動(dòng)當(dāng) 連續(xù)系統(tǒng)振動(dòng)一維彈性體振動(dòng)無(wú)阻尼自由振動(dòng) 設(shè)系統(tǒng)邊界條件： 初始條件：假設(shè)：時(shí)間函數(shù)和空間函數(shù)的乘積變?yōu)椋?441.弦的橫向振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)振動(dòng)一維彈性體振動(dòng)兩邊都等于同一常數(shù)。左邊是x的函數(shù)，右邊是t的函數(shù)。只有 小于零 才能代表振動(dòng)運(yùn)動(dòng)。令：1451.弦的橫向振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)振動(dòng)一維彈性體振動(dòng)其解分別為：由邊界條件，可知?jiǎng)t有：兩端固定的弦橫向振動(dòng)的特征方程。特征值固有頻率特征函數(shù)1461.弦的橫向振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)振動(dòng)一維彈性體振動(dòng)主振動(dòng)為：弦自由振動(dòng)的響應(yīng)是主振動(dòng)的疊加。連續(xù)系統(tǒng)的自由振動(dòng)響應(yīng)與集中參數(shù)

40、系統(tǒng)的響應(yīng)沒(méi)有本質(zhì)區(qū)別，仍然適用模態(tài)疊加法。147討論等截面細(xì)直桿的縱向振動(dòng) 桿長(zhǎng) l假定振動(dòng)過(guò)程中各橫截面仍保持為平面截面積 A材料密度彈性模量 E忽略由縱向振動(dòng)引起的橫向變形單位長(zhǎng)度桿上分布的縱向作用力 桿參數(shù)：2.桿的縱向振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)振動(dòng)148桿上距原點(diǎn) x 處截面在時(shí)刻 t 的縱向位移微段分析 微段應(yīng)變： 橫截面上的內(nèi)力：由達(dá)朗貝爾原理： 2.桿的縱向振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)振動(dòng)149桿上距原點(diǎn) x 處截面在時(shí)刻 t 的縱向位移橫截面上的內(nèi)力：由達(dá)朗貝爾原理： 代入，得： 桿的縱向強(qiáng)迫振動(dòng)方程 對(duì)于等直桿，AE 為常數(shù) 彈性縱波沿桿的縱向傳播速度 有： 2.桿的縱向振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)振動(dòng)150 固有頻率

41、和模態(tài)函數(shù)方程：縱向自由振動(dòng)方程：假設(shè)桿的各點(diǎn)作同步運(yùn)動(dòng)，即設(shè) ：q(t) 表示運(yùn)動(dòng)規(guī)律的時(shí)間函數(shù) 桿上距原點(diǎn) x 處的截面的縱向振動(dòng)振幅 代入，得：2.桿的縱向振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)振動(dòng)151記：通解：（確定桿縱向振動(dòng)的形態(tài)，稱(chēng)為模態(tài) ）由桿的邊界條件確定 與有限自由度系統(tǒng)不同，連續(xù)系統(tǒng)的模態(tài)為坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù) ，表示各坐標(biāo)振幅的相對(duì)比值 由頻率方程確定的固有頻率 有無(wú)窮多個(gè) 2.桿的縱向振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)振動(dòng)152第 i 階主振動(dòng)：一一對(duì)應(yīng)系統(tǒng)的自由振動(dòng)是無(wú)窮多個(gè)主振動(dòng)的疊加： 2.桿的縱向振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)振動(dòng)153幾種常見(jiàn)邊界條件下的固有頻率和模態(tài)函數(shù) （1）兩端固定邊界條件： 不能恒為零 故：代入模態(tài)函數(shù)

42、得： （桿的縱向振動(dòng)頻率方程 ）無(wú)窮多個(gè)固有頻率：由于零固有頻率對(duì)應(yīng)的模態(tài)函數(shù)為零，因此零固有頻率除去 特征：兩端位移為零模態(tài)函數(shù) ：2.桿的縱向振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)振動(dòng)154（2）兩端自由特征：自由端的軸向力為零 邊界條件 ：得：零固有頻率對(duì)應(yīng)的常值模態(tài)為桿的縱向剛性位移頻率方程和固有頻率與兩端固定桿的情況相同固有頻率：模態(tài)函數(shù)：得出：2.桿的縱向振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)振動(dòng)155（3）左端固定，右端自由特征：固定端位移為零 自由端軸向力為零 邊界條件 ：得：固有頻率：模態(tài)函數(shù)：或：2.桿的縱向振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)振動(dòng)156(4)左端自由，右端固定特征：固定端位移為零 自由端軸向力為零 邊界條件 ：得：固有頻率：模態(tài)函

43、數(shù)：2.桿的縱向振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)振動(dòng)157邊界條件模態(tài)函數(shù)頻率方程固有頻率2.桿的縱向振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)振動(dòng)158例：一均質(zhì)桿，左端固定，右端與一彈簧連接。推導(dǎo)系統(tǒng)的頻率方程。2.桿的縱向振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)振動(dòng)159解：邊界條件：得出：頻率方程振型函數(shù)：2.桿的縱向振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)振動(dòng)160主振型的正交性只對(duì)具有簡(jiǎn)單邊界條件的桿討論主振型的正交性 桿可以是變截面或勻截面的 即質(zhì)量密度及截面積 A 等都可以是 x 的函數(shù) 桿的動(dòng)力學(xué)方程 ：自由振動(dòng)：主振動(dòng) ：代入，得 ：2.桿的縱向振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)振動(dòng)161桿的簡(jiǎn)單邊界 ：固定端x = 0 或 l 自由端x = 0 或 l 設(shè)：代入：乘 并沿桿長(zhǎng)對(duì) x 積分： 利用分

44、部積分： 桿的任一端上總有或者成立 得：162乘 并沿桿長(zhǎng)對(duì) x 積分： 同理乘 并沿桿長(zhǎng)對(duì) x 積分： 相減：時(shí)則必有：桿的主振型關(guān)于質(zhì)量的正交性 進(jìn)而：桿的主振型關(guān)于剛度的正交性 163關(guān)于質(zhì)量的正交性 關(guān)于剛度的正交性 當(dāng)時(shí) 恒成立令：第 i 階模態(tài)主質(zhì)量 第 i 階模態(tài)主剛度 第 i 階固有頻率：主振型歸一化： 正則振型 則第 i 階主剛度：合寫(xiě)為： 164桿的縱向強(qiáng)迫振動(dòng) 采用振型疊加法進(jìn)行求解 強(qiáng)迫振動(dòng)方程：初始條件： 假定 ，已經(jīng)得出令：正則坐標(biāo) 代入方程：兩邊乘并沿桿長(zhǎng)對(duì) x 積分 ：利用正交性條件：第 j 個(gè)正則坐標(biāo)的廣義力 165模態(tài)初始條件的求解乘并沿桿長(zhǎng)對(duì) x 積分，由

45、正交性條件，知有： 得：求得 后可得166如果沿桿身作用的不是分布力，而是集中力 可表達(dá)成分布力形式：正則坐標(biāo)的廣義力： 前述外部激勵(lì)為分布力167細(xì)長(zhǎng)圓截面等直桿在分布扭矩作用下作扭轉(zhuǎn)振動(dòng) 假定振動(dòng)過(guò)程中各橫截面仍保持為平面截面的極慣性矩 Ip材料密度切變模量 G：?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度桿上分布的外力偶矩 桿參數(shù)：為桿上距離原點(diǎn) x 處的截面在時(shí)刻 t 的角位移截面處的扭矩為 T微段 dx 受力：微段繞軸線(xiàn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量3.桿的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)振動(dòng)168代入，得：微段 dx 受力達(dá)朗貝爾原理：材料力學(xué)：即：圓截面桿的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)強(qiáng)迫振動(dòng)方程對(duì)于等直桿，抗扭轉(zhuǎn)剛度 GIp 為常數(shù)有：剪切彈性波的縱向傳播速度169小

46、結(jié)：（2）桿的縱向振動(dòng) （1）弦的橫向振動(dòng)雖然它們?cè)谶\(yùn)動(dòng)表現(xiàn)形式上并不相同，但它們的運(yùn)動(dòng)微分方程是類(lèi)同的，都屬于一維波動(dòng)方程 。（3）桿的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)170考慮細(xì)長(zhǎng)梁的橫向彎曲振動(dòng) 梁各截面的中心慣性軸在同一平面 xoy 內(nèi)在低頻振動(dòng)時(shí)可以忽略剪切變形以及截面繞中性軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響外載荷作用在該平面內(nèi)梁在該平面作橫向振動(dòng)（微振）這時(shí)梁的主要變形是彎曲變形伯努利歐拉梁（Bernoulli-Euler Beam） f(x,t): 單位長(zhǎng)度梁上分布的外力 m(x,t): 單位長(zhǎng)度梁上分布的外力矩 梁參數(shù)：I 截面對(duì)中性軸的慣性積 單位體積梁的質(zhì)量S 梁橫截面積E 彈性模量外部力：假設(shè)：連續(xù)系統(tǒng)振動(dòng)梁的彎

47、曲振動(dòng)EI 抗彎剛度梁上各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)只需用梁軸線(xiàn)的橫向位移表示。171f(x,t):單位長(zhǎng)度梁上分布的外力 m(x,t):單位長(zhǎng)度梁上分布的外力矩 微段受力分析令：y(x,t):距原點(diǎn)x處的截面在t時(shí)刻 的橫向位移 截面上的剪力和彎矩 微段的慣性力 微段所受的外力 微段所受的外力矩 連續(xù)系統(tǒng)振動(dòng)梁的彎曲振動(dòng)172力平衡方程 ：即 ：以右截面上任一點(diǎn)為矩心，力矩平衡： 略去高階小量：由材料力學(xué)可知，彎矩與撓度的關(guān)系：變截面梁的動(dòng)力學(xué)方程：連續(xù)系統(tǒng)振動(dòng)梁的彎曲振動(dòng)173變截面梁的動(dòng)力學(xué)方程：等截面梁的動(dòng)力學(xué)方程：連續(xù)系統(tǒng)振動(dòng)梁的彎曲振動(dòng)174固有頻率和模態(tài)函數(shù)變截面梁的動(dòng)力學(xué)方程：討論梁的自由振動(dòng)

48、自由振動(dòng)方程： 根據(jù)對(duì)桿縱向振動(dòng)的分析，梁的主振動(dòng)可假設(shè)為： 代入自由振動(dòng)方程：對(duì)于等截面梁：通解：和應(yīng)滿(mǎn)足的頻率方程由梁的邊界條件確定 連續(xù)系統(tǒng)振動(dòng)梁的彎曲振動(dòng)175等截面梁的自由振動(dòng)方程： 梁的主振動(dòng)： 通解：代入，得：第 i 階主振動(dòng)： 無(wú)窮多個(gè)和 由系統(tǒng)的初始條件確定 系統(tǒng)的自由振動(dòng)是無(wú)窮多個(gè)主振動(dòng)的疊加： 連續(xù)系統(tǒng)振動(dòng)梁的彎曲振動(dòng)176常見(jiàn)的約束狀況與邊界條件 （1）固定端撓度和截面轉(zhuǎn)角為零（2）簡(jiǎn)支端撓度和彎矩為零（3）自由端彎矩和剪力為零177例：求懸臂梁的固有頻率和模態(tài)函數(shù)解：一端固定，一端自由邊界條件固定端：撓度和截面轉(zhuǎn)角為零自由端：彎矩和截面剪力為零得：以及：非零解條件：1

49、78簡(jiǎn)化后，得：頻率方程當(dāng) i=1,2,3時(shí)解得：當(dāng) 時(shí)各階固有頻率：對(duì)應(yīng)的各階模態(tài)函數(shù)：其中：179鉛垂梁的前三階模態(tài)形狀第一階模態(tài)第二階模態(tài)第三階模態(tài)一個(gè)節(jié)點(diǎn)兩個(gè)節(jié)點(diǎn)無(wú)節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)位置180例：簡(jiǎn)支梁的固有頻率和模態(tài)函數(shù)解：一端圓柱固定鉸另一端圓柱滑動(dòng)鉸固定鉸：撓度和截面彎矩為零滑動(dòng)鉸：撓度和截面彎矩為零得：以及：頻率方程：固有頻率：181頻率方程：固有頻率：模態(tài)函數(shù)：第一階模態(tài)第二階模態(tài)第三階模態(tài)第四階模態(tài)模態(tài)形狀節(jié)點(diǎn)位置無(wú)節(jié)點(diǎn)一個(gè)節(jié)點(diǎn)兩個(gè)節(jié)點(diǎn)三個(gè)節(jié)點(diǎn)182例：兩端自由梁的固有頻率和模態(tài)函數(shù)背景：導(dǎo)彈飛行系統(tǒng)類(lèi)別：半正定系統(tǒng)存在剛體模態(tài)183頻率方程：模態(tài)函數(shù)：其中：當(dāng) i=1,2,3時(shí)解得：當(dāng) 時(shí)自由端：彎矩和截面剪力為零當(dāng) 時(shí)對(duì)應(yīng)剛體模態(tài)184第二階模態(tài)第三階模態(tài)第四階模態(tài)第五階模態(tài)自由梁的模態(tài)形狀185例：試用數(shù)值確定一根一端固定另一端簡(jiǎn)支的梁的頻率方程，并且繪出第一階模態(tài)和第二階模態(tài)的撓度曲線(xiàn)。186解：梁的自由振動(dòng)方程： 邊界條件固定端：自由端：模態(tài)函數(shù)：187188非零解條件：頻率方程：求得：對(duì)應(yīng)的各階模態(tài)函數(shù)：代入：189第一階模態(tài)：第二階模態(tài)：190例：懸臂梁一端固定，另一端