實(shí)變函數(shù)第五章積分理論53Lesbesgue積分的極限定理課件

1、第三節(jié) Lesbesgue積分的極限定理第五章 積分理論1.Levi逐項(xiàng)積分定理只要證明大于等于，但一般而言fn(x)不會(huì)跑到f(x)上方,所以我們有必要先把f(x)下移一點(diǎn)。 f(x)cf(x) fn(x)注意：當(dāng)fn(x)一致收斂f(x)時(shí)， fn(x)才會(huì)整體跑到f(x)上方。若fn(x)為E上非負(fù)可測(cè)函數(shù)列，說(shuō)明：小于等于顯然成立，因?yàn)閒n(x)總在f(x)的下方,Levi逐項(xiàng)積分定理的證明引理1：設(shè)En是遞增集列， 是Rn上的非負(fù)可測(cè)簡(jiǎn)單函數(shù)，則引理2：設(shè)f(x)是E上的非負(fù)可測(cè)函數(shù)，A是E中可測(cè)子集，則證明：由條件知fn(x)為E上非負(fù)可測(cè)函數(shù)遞增列，有定義，且從函數(shù)列的漸升性知道

2、下證大于等于號(hào)Levi逐項(xiàng)積分定理的證明證明：令c滿足0c1， 是Rn上的非負(fù)可測(cè)簡(jiǎn)單函數(shù)，且則En是遞增集列，由引理1知 c(x) f(x) fn(x)(x)Levi逐項(xiàng)積分定理的證明再由的積分定義知于是從（應(yīng)用引理2） f(x)(x)c(x) fn(x)對(duì)Levi逐項(xiàng)積分定理的說(shuō)明 f(x)fn(x) fn+1(x)積分的幾何意義（函數(shù)非負(fù)）：若fn(x)為E上非負(fù)可測(cè)函數(shù)列，單調(diào)增集列測(cè)度的性質(zhì)2.Lebesgue逐項(xiàng)積分定理（級(jí)數(shù)形式）然后利用Levi逐項(xiàng)積分定理即可對(duì)應(yīng)于測(cè)度的可數(shù)可加性若fn(x)為E上非負(fù)可測(cè)函數(shù)列， 則對(duì)比:積分的線性(有限個(gè)函數(shù)作和)例 試求 為非負(fù)連續(xù)函數(shù)，

3、當(dāng)然為非負(fù)可測(cè)函數(shù)，定理：若f(x)在a,b上Riemann可積，則f(x)在a,b上Lebesgue可積，且例 從而結(jié)論成立則 為非負(fù)連續(xù)函數(shù)，當(dāng)然為可測(cè)函數(shù)，從而由Lebesgue逐項(xiàng)積分定理知：3.積分的可數(shù)可加性然后利用Lebesgue逐項(xiàng)積分定理即可對(duì)應(yīng)于測(cè)度的可數(shù)可加性Lebesgue逐項(xiàng)積分定理是關(guān)于被積函數(shù)積分的可數(shù)可加性是關(guān)于積分區(qū)域 若f(x)在 （En可測(cè)且兩兩不交）上非負(fù)可測(cè)或可積，則注：在一零測(cè)度集上改變函數(shù)的取值不影響函數(shù)的可測(cè)性推論：在一零測(cè)度集上改變函數(shù)的取值，不影響其可積性且積分值不變證明：令E 1= Efg， E 2= Ef=g，則m E1=0從而即： 設(shè)f

4、(x)=g(x) a.e.于E， f(x)在E上可積，則g(x)在E上也可積且 例 設(shè)0,1上的函數(shù)f(x)在Cantor集P上定義為0，在Cantor集余集中長(zhǎng)度為1/3n的構(gòu)成區(qū)間上定義為n(n=1,2,3，) ，求f(x)在0,1上的Lebesgue積分值 解：令Gn為Cantor集P的余集中長(zhǎng)度為1/3n的構(gòu)成區(qū)間的并，由條件知f(x)是0,1上的非負(fù)可測(cè)函數(shù)，根據(jù)積分的可數(shù)可加性知 4.Fatou引理然后利用Levi逐項(xiàng)積分定理即可 若fn(x)為E上非負(fù)可測(cè)函數(shù)列，Levi逐項(xiàng)積分定理：若fn(x)為E上非負(fù)可測(cè)函數(shù)列，則注：嚴(yán)格不等號(hào)可能成立注：fn(x)為E上非負(fù)可測(cè)函數(shù)列且一致收斂到0.1/nn5.Lebesgue控制收斂定理證明：顯然f(x)為E上可測(cè)函數(shù)（可測(cè)函數(shù)列的極限函數(shù)是可測(cè)函數(shù)）設(shè)fn(x)為E上可測(cè)函數(shù)列， a.e.于E，且存在非負(fù)可積函數(shù)F(x)，使得|fn(x)| F(x) a.e.于E，且由|fn(x)| F(x) a.e.于E，知|f(x)| F(x) a.e.于E，所以fn(x)， f(x)都為E上可積函數(shù)則f(x)在E上可積且由|fn(x)| F(x) a.e.于E，知F(x)fn(x) 0 a.