現(xiàn)代設(shè)計方法 第1節(jié)

1、第三章 優(yōu)化設(shè)計Optimization Design本章主要內(nèi)容 優(yōu)化設(shè)計概述 優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ) 一維探索優(yōu)化方法 無約束多維問題的優(yōu)化方法 約束問題的優(yōu)化方法 多目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化方法 LINGO在優(yōu)化設(shè)計中的應(yīng)用本章重難點 優(yōu)化設(shè)計數(shù)學(xué)模型的建立，掌握常用的優(yōu)化方法，如一維探索優(yōu)化方法、無約束多維問題的優(yōu)化方法、約束問題的優(yōu)化方法、以及多目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化方法等。運用LINGO軟件解決工程應(yīng)用中的優(yōu)化設(shè)計問題。案例 外嚙合齒輪泵的優(yōu)化設(shè)計 外嚙合齒輪泵是一種應(yīng)用廣泛的齒輪泵，在輸出壓力、輸出流量、轉(zhuǎn)速分別為25Mpa、100L/min和1500 r/min的情況下，要求確定一臺具有流量均勻

2、性好、體積小、壽命長的外嚙合齒輪泵的幾何設(shè)計參數(shù)。設(shè)計參數(shù)：模數(shù)m,齒數(shù)z，變位系數(shù)x3.1 優(yōu)化設(shè)計概述3.1.1 優(yōu)化設(shè)計問題的提出1.傳統(tǒng)設(shè)計方法：確定產(chǎn)品結(jié)構(gòu)方案；尺寸計算和強度校核；調(diào)整方案，重新計算。（循環(huán)設(shè)計過程）缺點：煩瑣，耗時，以犧牲設(shè)計效率和質(zhì)量為代價2.優(yōu)化設(shè)計：轉(zhuǎn)化為最優(yōu)化問題，利用數(shù)學(xué)規(guī)劃的方法，借助于計算機（高速度、高精度和大存儲量）的處理，從滿足設(shè)計要求的一切可行方案中，按照預(yù)定的目標(biāo)自動尋找最優(yōu)設(shè)計的一種設(shè)計方法。優(yōu)化設(shè)計三要素：設(shè)計變量，目標(biāo)函數(shù)，約束條件。滿足：gu(m、z、x)的情況下尋找：一組設(shè)計參數(shù)m、z、x；（模數(shù)、齒數(shù)、變位系數(shù)）使得：設(shè)計目標(biāo)流量

3、最均勻, 體積最小, 壽命最長以齒輪泵為例，其優(yōu)化設(shè)計過程如下：3.1.2 優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型 優(yōu)化設(shè)計的問題首先是建立數(shù)學(xué)模型，即把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型的形式。優(yōu)化模型三要素：設(shè)計變量，目標(biāo)函數(shù)，約束條件。1.設(shè)計變量 設(shè)計過程中，進行選擇和調(diào)整，最終必須確定的獨立參數(shù)稱為設(shè)計變量；固定不變，需要事先給定的參數(shù)稱為設(shè)計常量。（1）維數(shù)：設(shè)計變量的個數(shù)稱為設(shè)計問題的維數(shù)。設(shè)計變量愈多，設(shè)計自由度愈大，可供選擇方案愈多，設(shè)計愈靈活，難度愈大，求解愈復(fù)雜。（2）設(shè)計空間: n 個設(shè)計變量的坐標(biāo)軸所形成的n維實空間稱為設(shè)計空間，用Rn表示。設(shè)計空間中，n 個設(shè)計變量的坐標(biāo)值組成一個設(shè)計點，并代表一

4、個設(shè)計方案，可采用如下向量表示： 其中，最優(yōu)設(shè)計方案用 表示，稱為最優(yōu)點或優(yōu)化點。二維設(shè)計空間三維設(shè)計空間x2x1X =x1 x2Tx1x2x3X= x1 x2 x3 T2.目標(biāo)函數(shù) 優(yōu)化設(shè)計的任務(wù)是在許多可行的方案中找出最優(yōu)的方案，所謂最優(yōu)方案是在設(shè)計變量中能最好的滿足所追求的某些特點的目標(biāo)，而這些目標(biāo)又可表達為設(shè)計變量的函數(shù)，稱為目標(biāo)函數(shù)。目標(biāo)函數(shù)可用來評價設(shè)計方案的好壞，又稱為評價函數(shù)。常表示為：目標(biāo)函數(shù)表征的是設(shè)計的某項或某些最重要的特征。優(yōu)化設(shè)計就是要通過優(yōu)選設(shè)計變量使目標(biāo)函數(shù)達到最優(yōu)值。目標(biāo)函數(shù)總可以轉(zhuǎn)化成求最小值的統(tǒng)一形式。等值曲面:目標(biāo)函數(shù)值相等的所有設(shè)計點的集合稱為目標(biāo)函數(shù)的

5、等值曲面。二維：等值線；三維：等值面；三維以上：等超越面。z等值線族形象地反映了目標(biāo)函數(shù)值的變化規(guī)律，越靠近極值點的等值線，表示的目標(biāo)函數(shù)值越小，其分布也越密集。xyo等高線x*（中心極值點）等值線族 二維設(shè)計變量下的等值線3.約束條件（函數(shù)） 對任何設(shè)計都有若干不同的要求和限制，將這些要求和限制表示成設(shè)計變量的函數(shù)并寫成一系列不等式和等式表達式，就構(gòu)成了設(shè)計的約束條件簡稱約束。其作用是對設(shè)計變量的取值加以限制。（1）分類 根據(jù)對設(shè)計變量取值的限制形式：顯約束（直接限制）和隱約束（間接限制）根據(jù)性質(zhì)的不同：邊界約束和性能約束。 邊界約束：直接限制每個設(shè)計變量的取值范圍或彼此相互關(guān)系的一些輔助的

6、區(qū)域約束。 性能約束：由產(chǎn)品性能或設(shè)計者要求推導(dǎo)出來的用以間接限制設(shè)計變量取值范圍的一種約束。 （2）可行域 任何一個不等式約束都把設(shè)計空間分為兩部分，一部分是滿足約束條件的稱為可行域，另一部分是不滿足約束條件的稱為非可行域，這兩部分的分界是 (約束方程)。 在約束邊界上的點稱為邊界點 兩個以上約束邊界的交點稱為角點等式約束同樣把設(shè)計空間分成兩部分。不等式約束與等式約束的幾何意義：在一個優(yōu)化設(shè)計問題的設(shè)計空間中，滿足所有約束條件的點構(gòu)成的子空間，稱為可行域?！纠?】作出下列約束條件構(gòu)成的可行域：【例2】根據(jù)下列約束條件畫出可行域。 可行域在約束邊界的哪一邊怎么確定？（3）起作用約束設(shè)X為設(shè)計空

7、間中的一個點：滿足所有約束條件的點稱為可行點（內(nèi)點和邊界點）不滿足所有約束條件的點稱為非可行點（外點）X在某個約束邊界上，則這個約束條件稱為X的起作用約束X不在某個約束邊界上，則這個約束條件稱為X的不起作用約束起作用約束設(shè)計點X(k)的所有起作用約束的函數(shù)序號下標(biāo)集合用Ik表示，即一般形式： 4.優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型 用“max、min”表示極大、極小化，用“s.t”表示“滿足于”，“m、p”表示不等式約束與等式約束的個數(shù)，則表示如下形式： 本課程中，所有的優(yōu)化設(shè)計問題都是求目標(biāo)函數(shù)的極小值。遇到求極大值的問題，則先通過轉(zhuǎn)化變成極小值問題。 與此同時，所有的不等式約束都采用的形式。5. 優(yōu)化設(shè)計

8、問題的求解（1）圖解法 【例3】求解下列優(yōu)化問題：最優(yōu)解是等值線在函數(shù)值下降方向上與可行域的最后一個交點?！纠?】求解下列優(yōu)化問題：最優(yōu)解是等值線在函數(shù)值下降方向上與可行域的最后一個交點。非線性問題的最優(yōu)解要么是一個內(nèi)點，要么是一個邊界點；非線性問題的最優(yōu)解如果是一個邊界點，那么它必定是等值線（面）在函數(shù)值下降方向上與可行域的最后一個交點；線性問題的最優(yōu)解必定是等值線（面）在函數(shù)值下降方向上與可行域的最后一個交點；一般情況下：（2）數(shù)值迭代法數(shù)值迭代法的基本思想：從一個初始點X(0)出發(fā)，按照一個可行的搜索方向和適當(dāng)?shù)牟介L走一步，到達 X(1)，再從X(1)出發(fā)，選一個可行的搜索方向和適當(dāng)?shù)牟?/p>

9、長走一步，到達 X(2) ，并保證每一步函數(shù)值都是下降的，即必須滿足 f(X(i) f(X(i-1)（稱為新點的適用性） ，這樣一步一步地重復(fù)進行數(shù)值計算，直至達到目標(biāo)函數(shù)的極小點。無約束優(yōu)化問題初始點 用某種優(yōu)化方法確定 確定前進步長 計算 檢查 若不滿足則改變步長，滿足則進入下一步從 出發(fā) 用某種優(yōu)化方法確定 確定前進步長 計算 檢查 若不滿足則改變步長，滿足則進入下一步從 出發(fā) 用某種優(yōu)化方法確定 確定前進步長 計算 檢查 若不滿足則改變步長，滿足則進入下一步從 出發(fā) 用某種優(yōu)化方法確定 確定前進步長 計算 檢查 若不滿足則改變步長，滿足則進入下一步第k個迭代點從第k個迭代點出發(fā)尋找下一

10、個迭代點的搜索方向沿 前進的步長基本迭代公式 由于每次迭代求得的新點均為使函數(shù)值有所下降的適用點（如果不是適用點，可改變方向和步長另行搜索適用點），則所得各點必將逐步向該函數(shù)的極小值點逼近，最后總可求得非常接近該函數(shù)理論最優(yōu)點的近似最優(yōu)點 。2）約束優(yōu)化問題 對于約束優(yōu)化問題，除了檢查每個新點的適用性外，還要檢查其可行性，即是否滿足 的約束條件，如果適用性和可行性兼?zhèn)?，再進行下一次迭代，最終自然也能求得非常接近約束最優(yōu)點的近似最優(yōu)點 。 綜上所述，采用數(shù)值法進行迭代求優(yōu)時，除了選擇初始點 以外，如何確定迭代方向 和步長 成為非常重要的環(huán)節(jié)，他們將直接決定著搜索的效率、函數(shù)值逐步下降的穩(wěn)定性和優(yōu)化過程所需的時間等。A. 點距準(zhǔn)則 根據(jù)相鄰兩迭代點 與 間的距離足夠小而建立的準(zhǔn)則，點距準(zhǔn)則可表示為或 數(shù)值迭代終止準(zhǔn)則（計算精度 的確定） B. 值差準(zhǔn)則 根據(jù)相鄰的兩迭代點的函數(shù)值下降量足夠小而建立的準(zhǔn)則。絕對下降量準(zhǔn)則：相對下降量準(zhǔn)則：