算法以及其推廣

1、關(guān)于算法及其推廣第一張，PPT共二十六頁，創(chuàng)作于2022年6月EM算法是一種迭代算法，1977年由Dempster 等人總結(jié)提出，用于含有隱變量的概率模型參數(shù)的極大似然估計，或極大后驗概率估計。EM算法的每次迭代由兩步組成：E步，求期望；M步，求極大。所以這一算法稱為期望極大算法（Expectation Maximization）,簡稱EM算法。第二張，PPT共二十六頁，創(chuàng)作于2022年6月極大似然估計極大似然估計是概率論在統(tǒng)計學(xué)中的應(yīng)用，它是參數(shù)估計的方法之一。說的是已知某個隨機樣本滿足某種概率分布，但是其中具體的參數(shù)不清楚，參數(shù)估計就是通過若干次實驗，觀察其結(jié)果，利用結(jié)果推出參數(shù)的大概值。

2、第三張，PPT共二十六頁，創(chuàng)作于2022年6月 極大似然估計似然函數(shù)：已知樣本集X,X是通過概率密度p(x|)抽取。樣本集X中各個樣本的聯(lián)合概率：為了便于分析，由于L()是連乘的，還可以定義對數(shù)似然函數(shù)，將其變成連加的：第四張，PPT共二十六頁，創(chuàng)作于2022年6月 極大似然估計求極值可以轉(zhuǎn)換為以下方程：的極大似然估計量表示為：第五張，PPT共二十六頁，創(chuàng)作于2022年6月9.1 EM算法的引入9.1.1EM算法9.1.2EM算法的導(dǎo)出9.1.3EM算法在非監(jiān)督學(xué)習(xí)中的應(yīng)用9.2 EM算法的收斂性第六張，PPT共二十六頁，創(chuàng)作于2022年6月9.1.1 EM算法例9.1（三硬幣模型）假設(shè)有3枚

3、硬幣，分別記作A, B, C. 這些硬幣正面出現(xiàn)的概率分別是, p, q. 進行如下擲硬幣試驗：先擲硬幣A，根據(jù)其結(jié)果選出硬幣B或硬幣C，正面選硬幣B，反面選硬幣C；然后擲選出的硬幣，擲硬幣的結(jié)果，出現(xiàn)正面記作1，出現(xiàn)反面記作0；獨立地重復(fù)n次試驗（這里，n=10），觀測結(jié)果如下：1,1,0,1,0,0,1,0,1,1假設(shè)只能觀測到擲硬幣的結(jié)果，不能觀測擲硬幣的過程。問如何估計三硬幣正面出現(xiàn)的概率，即三硬幣模型的參數(shù)。第七張，PPT共二十六頁，創(chuàng)作于2022年6月解 三硬幣模型可以寫作y: 觀測變量，表示一次試驗觀測的結(jié)果是1或0z: 隱變量，表示未觀測到的擲硬幣A的結(jié)果：=(,p,q)是模型

4、參數(shù)第八張，PPT共二十六頁，創(chuàng)作于2022年6月將觀測數(shù)據(jù)表示為Y=(Y1,Y2,Yn)T,未觀測數(shù)據(jù)表示為Z=(Z1,Z2,Zn)T,則觀測數(shù)據(jù)的似然函數(shù)為即考慮求模型參數(shù)=(,p,q)的極大似然估計，即 第九張，PPT共二十六頁，創(chuàng)作于2022年6月EM算法首先選取參數(shù)的初值，記作 ，然后通過下面的步驟迭代計算參數(shù)的估計值，直至收斂為止。第i次迭代參數(shù)的估計值為 。EM算法的第i+1次迭代如下E步：計算在模型參數(shù) 下觀測數(shù)據(jù)yj 來自擲硬幣B的概率那么觀測數(shù)據(jù)yj 來自硬幣C的概率為1-(i+1)第十張，PPT共二十六頁，創(chuàng)作于2022年6月M步：先寫出期望然后分別求導(dǎo)，計算模型參數(shù)的新

5、估計值第十一張，PPT共二十六頁，創(chuàng)作于2022年6月假設(shè)模型參數(shù)的初值取為由E步公式對yj=1與yj=0均有j(1)=0.5利用M步迭代公式，得到繼續(xù)計算j(2)=0.5，j=1,2,10繼續(xù)迭代，得于是得到模型參數(shù)的極大似然估計：EM算法與初值的選擇有關(guān)，選擇不同的初值可能得到不同的參數(shù)估計值。如果取初值那么得到的模型參數(shù)的極大似然估計是第十二張，PPT共二十六頁，創(chuàng)作于2022年6月算法9.1（EM算法）輸入：觀測變量數(shù)據(jù)Y，隱變量數(shù)據(jù)Z，聯(lián)合概率分布P(Y,Z|)，條件概率分布P(Z,Y|)；輸出：模型參數(shù).（1）選擇參數(shù)的初值 ，開始迭代，參數(shù)的初值可以任意選擇，但需注意EM算法對初

6、值是敏感的；（2）E步：記 為第i次迭代參數(shù)的估計值，在第i+1次迭代得E步，計算這里， 是在給定觀測數(shù)據(jù)Y和當(dāng)前的參數(shù)估計 下隱變量數(shù)據(jù)Z的條件概率分布.注意， 的第一個變元表示要極大化的參數(shù)，第2個變元表示參數(shù)的當(dāng)前估計值.每次迭代實際在求Q函數(shù)及其極大；第十三張，PPT共二十六頁，創(chuàng)作于2022年6月（3）M步：求使 極大化的，確定i+1次迭代得參數(shù)的估計值（4）重復(fù)第（2）步和第（3）步，直到收斂，這里給出停止迭代得條件，一般是對較小的正數(shù) ，若滿足則停止迭代.第十四張，PPT共二十六頁，創(chuàng)作于2022年6月定義9.1（Q函數(shù)）完全數(shù)據(jù)（觀測變量數(shù)據(jù)Y和隱變量數(shù)據(jù)Z）的對數(shù)似然函數(shù) 關(guān)

7、于在給定觀測數(shù)據(jù)Y和當(dāng)前參數(shù) 下對未觀測數(shù)據(jù)Z的條件概率分布 的期望稱為Q函數(shù)，即第十五張，PPT共二十六頁，創(chuàng)作于2022年6月9.1.2 EM算法的導(dǎo)出琴生（ Jensen ）不等式如果f是凸函數(shù)，X是隨機變量，那么Ef(X)f(EX)特別地，如果f是嚴格凸函數(shù),Ef(X)f(EX)那么當(dāng)且僅當(dāng)p(x=EX)=1，也就是說X是常量。這里我們將f(EX)簡寫為f(EX)Jensen不等式應(yīng)用于凹函數(shù)時，不等號方向反向，也就是 Ef(X)f(EX)第十六張，PPT共二十六頁，創(chuàng)作于2022年6月下面通過近似求解觀測數(shù)據(jù)的對數(shù)似然函數(shù)的極大化問題來導(dǎo)出EM算法，由此可以清楚地看出EM算法的作用。

8、假設(shè)在第i次迭代后的估計值是 .我們希望新估計值能使L()增加，即L()L( ),并逐步達到極大值.為此，考慮兩者的差：第十七張，PPT共二十六頁，創(chuàng)作于2022年6月利用Jensen不等式得到其下界：令則 第十八張，PPT共二十六頁，創(chuàng)作于2022年6月任何可以使 增大的，也可以使L()增大.為了使L()有盡可能大的增長，選擇 使 達到極大，即現(xiàn)在求 的表達式.省去對的極大化而言是常數(shù)的項，有上式等價于EM算法的一次迭代，即求Q函數(shù)及其極大化.EM算法是通過不斷求解下界的極大化逼近求解對數(shù)似然函數(shù)極大化的算法.第十九張，PPT共二十六頁，創(chuàng)作于2022年6月第二十張，PPT共二十六頁，創(chuàng)作于

9、2022年6月9.1.3 EM算法在非監(jiān)督學(xué)習(xí)中的應(yīng)用有時訓(xùn)練數(shù)據(jù)只有輸入沒有對應(yīng)的輸出(x1,),(x2,),(xn,)，從這樣的數(shù)據(jù)學(xué)習(xí)模型稱為非監(jiān)督學(xué)習(xí)問題EM算法可以用于生產(chǎn)模型的非監(jiān)督學(xué)習(xí)生成模型由聯(lián)合概率分布P(X,Y)表示，可以認為非監(jiān)督學(xué)習(xí)訓(xùn)練數(shù)據(jù)是聯(lián)合概率分布產(chǎn)生的數(shù)據(jù).X為觀測數(shù)據(jù)，Y為未觀測數(shù)據(jù).第二十一張，PPT共二十六頁，創(chuàng)作于2022年6月9.2 EM算法的收斂性定理9.1 設(shè)P(Y|)為觀測數(shù)據(jù)的似然函數(shù)， (i=1,2,)為EM算法得到的參數(shù)估計序列，則 (i=1,2,)為對應(yīng)的似然函數(shù)序列，則 是單調(diào)遞增的，即第二十二張，PPT共二十六頁，創(chuàng)作于2022年6月證明由于取對數(shù)有由令于是對數(shù)似然函數(shù)可以寫成第二十三張，PPT共二十六頁，創(chuàng)作于2022年6月只需證明右端為非負值即得出結(jié)果，由于使 達到極大，所以有其第二項，由得出第二十四張，PPT共二十六頁，創(chuàng)作于2022年6月定理9.2 設(shè)L()=logP(Y|)為觀測數(shù)據(jù)的對數(shù)似然函數(shù)， (i=1,2,)為EM算法得到的參數(shù)估計序列， (i=1,2,)為對應(yīng)的對數(shù)似然函數(shù)序列.（1）如果 P(Y|)有上界，則收斂到某