空間曲線切線和法平面_第1頁
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文檔簡介

1、關(guān)于空間曲線的切線與法平面第一張,PPT共十八頁,創(chuàng)作于2022年6月一、空間曲線的切線與法平面過點(diǎn) M 與切線垂直的平面稱為曲線在該點(diǎn)的法位置.空間光滑曲線在點(diǎn) M 處的切線為此點(diǎn)處割線的極限平面.第二張,PPT共十八頁,創(chuàng)作于2022年6月 設(shè)空間曲線的參數(shù)方程為 x(t), y(t), z(t), 這里假定(t), (t), (t)都在 上可導(dǎo) 設(shè)tt0和tt0t分別對(duì)應(yīng)于曲線上的點(diǎn)M0(x0, y0, z0)和M(x0+x, y0+y, z0+z) 當(dāng)MM0, 即t0時(shí), 作曲線的割線MM0, 其方程為 得曲線在點(diǎn)M0處的切線方程為 一、空間曲線的切線與法平面第三張,PPT共十八頁,創(chuàng)

2、作于2022年6月 設(shè)空間曲線的參數(shù)方程為 x(t), y(t), z(t), 這里假定(t), (t), (t)都在 上可導(dǎo) 過曲線上tt0所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)M0切線方程為 向量T(j(t0), y(t0), w(t0)稱為曲線在點(diǎn)M0的切向量. 通過點(diǎn)M0而與切線垂直的平面稱為曲線在點(diǎn)M0處的法平面, 其法平面方程為j(t0)(xx0)y(t0)(yy0)w(t0)(zz0)0. 一、空間曲線的切線與法平面第四張,PPT共十八頁,創(chuàng)作于2022年6月例1.求圓柱螺旋線 對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的切線方程和法平面方程.切線方程法平面方程即即解: 由于對(duì)應(yīng)的切向量為在, 故第五張,PPT共十八頁,創(chuàng)作于2022年6月

3、討論: 1. 若曲線的方程為yj(x), zy(x), 則切向量T? 提示: 1. 曲線的參數(shù)方程可視為: xx, yj(x), zy(x), 切向量為T (1, j(x), y(x). 曲線x(t), y(t), z(t)在tt0所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)M0的切向量為T(j(t0), y(t0), w(t0). 2. 若曲線的方程為F(x, y, z)0, G(x, y, z)0, 則切向量T? 2. 兩方程可確定兩個(gè)隱函數(shù): yj(x), zy(x). 切向量為T (1, j(x), y(x), 而j(x), y(x)要通過解方程組得到. 第六張,PPT共十八頁,創(chuàng)作于2022年6月例2. 求曲線在點(diǎn)M

4、 ( 1,2, 1) 處的切線方程與法平面方程. 解. 方程組兩邊對(duì) x 求導(dǎo), 得曲線在點(diǎn) M(1,2, 1) 處有:切向量解得第七張,PPT共十八頁,創(chuàng)作于2022年6月切線方程即法平面方程即點(diǎn) M (1,2, 1) 處的切向量第八張,PPT共十八頁,創(chuàng)作于2022年6月二、曲面的切平面與法線 設(shè) 有光滑曲面通過其上定點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn) M,切線方程為不全為0 . 則 在且點(diǎn) M 的切向量為任意引一條光滑曲線下面證明:此平面稱為 在該點(diǎn)的切平面. 上過點(diǎn) M 的任何曲線在該點(diǎn)的切線都在同一平面上. 第九張,PPT共十八頁,創(chuàng)作于2022年6月證:在 上,得令由于曲線 的任意性 , 表明這些切線都在以

5、為法向量的平面上 ,從而切平面存在 .第十張,PPT共十八頁,創(chuàng)作于2022年6月曲面 在點(diǎn) M 的法向量法線方程切平面方程第十一張,PPT共十八頁,創(chuàng)作于2022年6月曲面時(shí), 則在點(diǎn)故當(dāng)函數(shù) 法線方程令特別, 當(dāng)光滑曲面 的方程為顯式 在點(diǎn)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)時(shí), 切平面方程第十二張,PPT共十八頁,創(chuàng)作于2022年6月法向量用將法向量的方向余弦:表示法向量的方向角,并假定法向量方向分別記為則向上,第十三張,PPT共十八頁,創(chuàng)作于2022年6月例3. 求橢球面在點(diǎn)(1 , 2 , 3) 處的切平面及法線方程. 解:所以球面在點(diǎn) (1 , 2 , 3) 處有:切平面方程 即法線方程法向量令第十四張,PPT共十八頁,創(chuàng)作于2022年6月解切平面方程為法線方程為例4求旋轉(zhuǎn)拋物面在點(diǎn)(2,1,4)處的切平面及法線方程.第十五張,PPT共十八頁,創(chuàng)作于2022年6月例5. 確定正數(shù) 使曲面在點(diǎn)解: 二曲面在 M 點(diǎn)的法向量分別為二曲面在點(diǎn) M 相切, 故又點(diǎn) M 在球面上,于是有相切.與球面, 因此有第十六張,PPT共十八頁,創(chuàng)作于2022年6月例6. 求曲線在點(diǎn)(1,1,1) 的切線解: 點(diǎn) (1,1,1

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