2022年【優(yōu)化方案】2016年高考數學二輪復習第一部分專題五第3講圓錐曲線中的熱點問題專題強化精練提能理綜述

1、第一部分專題五解析幾何第 3 講圓錐曲線中的熱點問題專題強化精練提能理2 2 y 的兩個焦點,過F i 作垂直于x 軸的直線與雙曲線相1. 已知 F1, F2是雙曲線 X2 4 = 1 交, 其中一個交點為P,就|PFa| =（B. 4 D. 1 A. 6 解析：選 A.由題意知 | P 冋一 | PF | = 2a, 由雙曲線方程可以求出 4 + 2 = 6.應選 A.| PFF = | PF | = 4, a= 1,所以2 X 2 上的一點, Fi, F2 是 C2. （2022 .高考全國卷 I ）已知 Mxo, yo）是雙曲線C: 2 y = 1的兩個焦點 .如MF . MF v 0,

2、 就 y 的取值范疇是（ ）A. 3,3 B. .36 36,C. 2,2 3 D. 2 3 ,2 .3 勺3 A 卷 解析：選A.由題意知a= 2 , b= 1 , c = -. 3 , 所以 R（ 一3 , 0） , H（3 , 0）, 所以 MF=（ ：二 3 X；, y；） , MF = （ .3 x；, y；）. 由于 MF- MF v 0, 所以（3 X0）（ 3 X；）+ y0 0 , 即 X；一 3+ y； 0.X；由于點 Mx ；, y；）在雙曲線上,所以2 2 2 2 y0= 1, 即 X 0= 2 + 2y；, 所以 2+ 2y0 3+ y0 0, 所以一彳 0 , b0

3、）的兩個焦點分別為Fi、F2, 以線段 FiH 為直徑的圓與雙曲線漸近線的一個交點為2 2 y x A- 9 16 2 2 y x C. = 16 9= 114 , 3,就此雙曲線的方程為2 2 y x BZ = 1 4 3 2 2 y x D.L = 1 3 4 c= . 32+ 42= 5, 解析：選 A.由題意可知 所以 a2+ b2= c2= 25.又點（ 4 , 3）在 y= bx 上, a 3 故 b= 4.由解得 a= 3 , b= 4 , 2 2 所以雙曲線的方程為蒼 16= 1,應選 A.2 1（a0, b0）的左焦點,點E2 x y b2=4. （2022 .河南省洛陽市統(tǒng)

4、考）已知點 F 是雙曲線孑一是該雙曲線的右頂點,過三角 F 且垂直于 x 軸的直線與雙曲線交于eA, B 兩點,如 ABE 是銳角1形,就該雙曲線的離心率的取值范疇是 （）A. （1 ,+ ）B. （1 , 2）C. 2 , 1+ 2 D. 1 , 1+ 2b2 解析：選 B.如厶 ABE 是銳角三角形,只需 / AEF 45 , 在 Rt AFE 中, | AF = , I FE ab22 2 2 2 2 =a+ c, 貝 U a+ c. b 0. e e- 20. 1e1, 所以 1e0, b0的左、y 曲線左支上存在點P 與點 F2關于直線y = bx 對稱,就該雙曲線的離心率為 B.D

5、. 5 C. 2 解析：選 D.如下列圖,點 P 與點 F2關于直線 y= 對稱,所以 |op =|OF| =|OF | = c, a所以 PF 丄 PR, tan / PFF2=, 又| FiR| = 2c, 所以 | PR| = 2b, |PF | = 2a, 又由于點 b P 在雙 a線 y2= 4 5x 的焦點,就該雙曲線的標準方程為3C. 2 , 1+ 2 D. 1 , 1+ 2解析：由題意可知雙曲線的半焦距 c= 5, 2 2 x y 設雙曲線 尹 b2 = 1a,b0的一條漸近線方程為i 線的距離為半徑 一5, 又 a2+ b2= 52, 就 a2= 4, b2= 1, 所以雙曲

6、線的標準方程為2 x 一 y2= 1.4 2 kx y= 0, 依據圓心 1 , 0到該直答案： X y2= ii &已知動點 Px, y在橢圓 42 2 x +魯=1 上, 如 A 點坐標為 3 , 0 , |AM = 1, 且 PM-AM= 25 16 o, 就| PM 的最小值是 _ . 解析：由于 PM- AM= 0, 所以 XM L PM 所以 |PM2= |AP2 |AM2= I AP21. 由于橢圓右頂點到右焦點 A 的距離最小,所以 | A” min = 2, 所以 | PMmin=寸一 3. 答案： 39. _ 在直線 y= 2 上任取一點 Q 過 Q 作拋物線 x2= 4y

7、 的切線,切點分別為 A、B,就 直線 AB 恒過定點為 . 1 2 1 解析： 設 Qt, 2 , AX1, y , Bx2, y2 ,拋物線方程變?yōu)?y= 4X , 就 y = 尹,就1 1 在點 A 處的切線方程為 y y1 =尹 x xj,化簡得, y = .X 1X y1, 同理,在點 B 處的切線1 一 1 方程為 y =尹次 y2.又點 Qt , 2的坐標滿意這兩個方程,代入得：一 2 = yd y1, 21 1 =qX 2t y2, 就說明 AX1, y , BX2, 帕 都滿意方程一 2= 2xty, 即直線 AB 的方程為： y1 2 = tx,因此直線 AB 恒過定點 0

8、, 2. 答案： 0 , 2 2 2 2 2 寸,離心率為2 2 10. 如雙曲線X2右 =1 a0, b0的一條漸近線的傾斜角為 a b e, 就旦護的最小值為 _ .2 , 小解析：由題意, a=；3,所以 b=#3a, 所以 c=2a, e= 2, a + e a + 4 a 2 2b 2 3a 2 飛3a 穿 當且僅當 a= 2 時取等號 ,就旦薛的最小值為辛. 答案：穿4. . 2 2 11. 2022 .山西省四校第三次聯考 已知點 A1 , 0,點 P 是圓 C X + 1 + y = 8 上 的任意一 點,線段 PA 的垂直平分線與直線 CP 交于點 E.1 求點 E 的軌跡方

9、程；2 如直線 y = kx + m 與點 E 的軌跡有兩個不同的交點 徑的圓的內部,求實數 m 的取值范疇 . F 和 G 且原點 O 總在以 FG 為直解：由題意知|EP =|EA , |CE + |EP = 2 羽,所以|CE + |EA = 2 賈2= | CA , x 2 -+ y2= 1.y = kx + m 2x + 2y = 2, 所以 E 的軌跡是以 C, A 為焦點的橢圓,其軌跡方程為2設 FX1, y1, GX2, y2,就將直線與橢圓方程聯立得消去 y, 得2 k2+ 1x2+ 4kmx + 2ni- 2 = 0, 2 2由 0, 得 m2k +1* , 4km 2 2

10、m- 2X1+ X2=_-, X1X2= 2_-, 2k + 1 2k + 1 由于 O 總在以 FG 為直徑的圓的內部,所以OF- OG0 , 即 X1X2 + y1y20 , m 2k 而 = kx1+m kx2 + m = 2k2+1, 亠 2m- 2 m- 2k2.2 得 m 2k + 2 , 所以 m3 , 且滿意 *式, 2 2 3 由X1X2+y1y2=打+汞 R 0于 A, B 兩點,直線 l 2： x =- 2 交 x 軸于點 Q1 設直線 QA QB 的斜率分別為 k1 , k2 , 求剛 + k2的值；52 點 P 為拋物線 C 上異于 A, B 的任意一點,直線PA,

11、PB 交直線 丨2于 M N 兩點, OMON=2,求拋物線 C 的方程 . 解： 設直線 l i的方程為 x = my+ 2, 點 Axi, yi , Bx2, y2 . 7x= my + 2 得 y 2pmy- 4p= 0, yi + y2= 2pm , 2 yi . y2= 4p.y2= 2px ,ki + k2 yi y2 yi y2 2myy2 + 4 yi+ y2 Xi+ 2 X2+ 2 my + 4 my + 4 my + 4 my 2 + 4 8m 葉 8mp =0. my + 4 my + 4 2設點 Pxo, yo,直線 PA yi 一 yo yyi=x； xxi,當 x=

12、- 2 時, , yM= 4p+ yiyo yi + yo同理 yN= 土空 . ,y2+ yo 由于 6M ON= 2, 所以 4+ yNyM= 2, 4p + y2yo 4p+ yiyoy2 + yo yi + yo =2, 2 2 i6p 4pyo y2+ yi+ yoyiy2 2 = Fi , 0, A B 分y2yi + yo y2+ yi+ yo i6p2 8p2my 4py2 ,2 4p+ 2pmy + y2=i i4. 20i5 .江西省九江市第一次統(tǒng)考y = x. 已知橢圓 C 的中心為坐標原點,右焦點為別是橢圓 C 的左、右頂點, D 是橢圓 C 上異于 A B 的動點,且

13、 ADE 面積的最大值為2.1 求橢圓 C 的方程；2 是否存在肯定點 Exo, 00 xob0 , 由已知可得 SMDI max= 1. 2a . b= ab = 2, 由于 F1 , 0為橢圓右焦點,所以 2 x 2 所以橢圓 C 的方程為 -+ y2= 1.a2= b2+ 1, 由可得 a=曲 2, b= 1, 過點 E 取兩條分別垂直于 nt 1 1 1 1 x 軸和 y 軸的弦 MN、M2, + 一,就 + = | EM |2| EN|2 | EM|2 | EN|22 1 1 即 2= - 2 + - - 2, 里 Xo + 2 xo 2 | 2 解得 Xonf,所以如 E 存在,必

14、為 if, 0,定值為 3, 下證 , 0 滿意題意 . 8設過點 E 電6, 0 的直線方程為 4 =0 3 0,設 Mx , y 、NX2, y ,就yi* y2= 予= X= ty +W6,代入橢圓 C 的方程中得 t2+ 2y2+ i i i i 2= 2 . 2 - 2 =i +1 yi + y2 2 2yiy2 - * |EM2 |EN 2= i+12 y2+ i+12 22 yiy2 _2+ 28* 3 t + 2 = 3.4 y2 i +1 yi y2 3 i +12-F 2, 0,定值為 綜上得定點為 3. B 卷 1. 2022 .煙臺模擬 已知橢圓 C: X 的焦點恰好是

15、橢圓 C 的一個焦點 . 孑+ p= i ab0 的離心率為 -2 ,且拋物線 y2= 4 32過點 Q0 , 3作直線 求四邊形l 與橢圓 C 交于 A, B 兩點,點 并N 滿意 ON= OA OB o 為原點 ,OAN 面積的最大值,求此時直線l 的方程 . 解： i設橢圓的焦距為2c, 由于離心率為 -2,所以3 2 2 4,所以3a = 4c , 又點 .3, 0是拋物線的焦點,所以 2 X 2 所以橢圓 C 的方程為 -+ y = i.c2= 3. 由于 6N= OA * 6B 所以四邊形OAN 為平行四邊形,當直線 i 的斜率不存在時,明顯不符合題意；當直線 I 的斜率存在時,設

16、直線l 的方程為 y= kx + 3, I 與橢圓交于 Axi, yi , BX2, y2兩點,y = kx + 3, 2 2 2 由 x 2. i + 4kx * 24kx + 32= 0. 4 * y=i由 = 24 k2 i28i + 4k20 . k22. 24 k 32 S . OANB= 2S OAB= 3| Xi 一 X2| =9Xi* X2=2, XiX2= 2.i + 4k i * 4k 3 S OABi OD Xi X2| = 2 | Xi X2| , 所以3 V Xi + X2 4xiX232 3 I 2 2 24 k128 i + 4k2 2 2 i + 4 k2i +

17、 4k i求橢圓 C 的方程；一. / k2 2324k 2一 4 乂i + 4 k224 2 2,y k2= t + 2由上式知t0,丫 i + 4k 令 k2 2= t,貝10當且僅當 t =專,即 k2= 時取等 17 弓時,平行四邊形口 號 OANB 勺面積的最大值為2. 此時直線11 的方程為 y = 27x + 3.F1 , 0,且離心率為壬2 .已知橢圓 C：y b2= 1ab0 的一個焦點是1 求橢圓 C 的方程；所以 S.O 2 設經過點 F 的直線交橢圓C 于 M N 兩點,線段MN 的垂直平分線交y 軸于點 R0 , yo,求 yo 的取值范疇 . 解： 1設橢圓 C 的

18、半焦距是 c. 依題意,得 c= 1. 24 2, 1 由于橢圓 C 的離心率為 , 所以 a= 2c = 2, b2= a2 c2= 3.2 2 故橢圓 C 的方程為 +y=1. 4 3 當 MNL x 軸時,明顯 y0= 0.當 Mh 與 x 軸不垂直時,可設直線 MN 的方程為 y= kx 1 k 豐 0. y=k x 1, 22k 1 2 由 x2 y2消去 y 并整理得 , 4 + 3 =1 2 2 2 2 設 Mx 1, yd , NX 2, y2 ,線段 MN 的中點為 8 k2 X1+ X2 = 3 + 4k2. QX3, ys. 所以X3 =X1+ X2 4k23 + 3 +

19、 4k x 8k x + 4k 3 = 0. 4k2,y3= kX3 1 = R. 3k 線段 MN 的垂直平分線的方程為 2 3k 1 4k y+ 3*.= k X 3P . 在上述方程中,令x = 0, 得 y0= 3 + 4k 3 + 4k 當 k0 時,j+ 4k4 k3. 11所以一 yoo 或 0y0b0 的離心率是 -2 ,點 F0 , 1在短軸 CD , 且 PC- PD= - 1. 1 求橢圓 E 的方程；2 設 O 為坐標原點,過點P 的動直線與橢圓交于A,B 兩點 . 是否存在常數入,使得 OA-OB +入PA- 砌定值？如存在,求入的值；如不存在,請說明理由. D 的坐

20、標分別為 0,- b , 0 , b. 解：由已知,點 C,又點 P 的坐標為 0 , 11- b2=- 1, , 且 PC- PD=- 1, c=, a= 2,2 . 2 2 解得a= 2, b=-j2.a - b = c . 2 . 一 .、一 .x2 所以橢圓 E 的方程為 4 + 1 = 1.y2 . 2當直線 AB 的斜率存在時,設直線AB 的方程為 y= kx + 1, A, B 的坐標分別為 X1, yj , X2, 0 , 所以 X1 + X2=- 4k X1X2=- 2- , 2k + 1 .2k +1從而, OA- OB 入 PA- PB =X 1X2 + y1y2 + 入

21、X 1X2+ y1 1 y2 1 2 =1 + 入1 + k x1x2+ kx1+ X 2 +1 2 - 2 入一 4 k+ 2 入一 1 2k2+ 1 入一 1 C 2 入 2 2k2+1 人 入一 1 所以,當入 =1 時,一 2kT1-入-2=- 3.此時, OA- OB 入 PA- PB= - 3 為定值 .當直線 AB 斜率不存在時,直線AB 即為直線CD此時, OA- 為入 PA- PB= C- &配. PD 12=- 2- 1 = - 3.故存在常數入 =1, 使得 OA 3 內入 PA- PB 為定值 3.4. 2022 .泉州市監(jiān)測考試 已知橢圓 C 的兩個焦點是 0,3和0, .3 ,并且經過點 -2. , 1 , 拋物線 E 的頂點在坐標原點,焦點恰好是橢圓C 的右頂點 F.1 求橢圓 C 和拋物線 E 的標準方程；2 過點 F 作兩條斜率都存在且