連續(xù)時間信號采樣培訓課件

1、4.0 引言離散時間信號 實際存在 或 連續(xù)時間信號采樣 （常見）問題：連續(xù)時間信號 離散時間信號的完全準確表示 （包含全部信息）決定因素：采樣率（sampling rate）,采樣周期、采樣頻率方法：時域？頻域！恢復（表明問題的方法）：離散時間信號（恢復）連續(xù)時間信號或稱重構(gòu)4.1 周期采樣（Periodic sampling）xc(t) - 連續(xù)時間信號周期采樣后得到樣本序列：xn = xc(nT), n T - 采樣周期，等間隔采樣；fs = 1/T - 采樣頻率 - s = 2/T （弧度/秒）理想（C/D）轉(zhuǎn)換器（Continuous to Discrete）：實際實現(xiàn)：理想轉(zhuǎn)換器的

2、一種近似，A/D轉(zhuǎn)換器，Analog to Digital （量化級數(shù)，線性度，采樣保持）采樣的可逆性： xn xc(t) - 采樣的條件（輸入信號的限制）數(shù)學表示（兩步）：沖擊串調(diào)制器+沖擊串到序列的轉(zhuǎn)換器xs(t)與xn區(qū)別連續(xù)，離散時間歸一化沖擊面積，有限數(shù)值4.2 采樣的頻域表示數(shù)學上表示采樣的兩步：第一步： xc(t) xs(t) 第二步： xs(t) xn 首先考慮第一步，周期沖擊串調(diào)制：由沖擊函數(shù)的篩選性： xs(t)的傅立葉變換根據(jù)傅立葉變換的性質(zhì)：時域相乘頻域卷積先求S(j)，由傅里葉變換特性s(t)周期沖擊串S(j)周期沖擊串即： 證明：因為s(t)為周期函數(shù)，用傅立葉級數(shù)

3、可表示為： 由于t的區(qū)間：-1/T 1/T Xc(j)與Xs(j)的關(guān)系周期重復疊加Xs(j)重復部分不重疊的條件：s - N N 或：s 2N 結(jié)果：低通濾波器恢復出Xc(j)xc(t) 混疊 aliasingXr(j) = Hr(j) Xs(j) ，若 N c (s - N )，有Xr(j) = Xc(j)例子：xc(t) = cos0t xc(t) = cos0txc(t) = cos(s -0)tN - Nyquist Frequency2N - Nyquist Rate采樣頻率必須大于Nyquist Rate第二步： xs(t) xn 也就是Xs(j)，Xc(j) X (ej) xn

4、考慮Xs(j)的另一種表示形式對其做傅立葉變換：由于 最終可得：從Xs(j) X (ej)表示頻率尺度變換：=T 頻率軸歸一化 Xs(j) - =s X (ej) - = 2頻率軸歸一化 對應于時間軸的采樣周期T的歸一化。xn的間隔為1例：一個正弦信號的采樣與重建T=1/6000有其中0 = 4000T = 2/3, s = 2/T =12000 xc(t) = cos(4000t)xn = xc(nT) = cos(4000Tn) = cos(0n)信號的最高頻率N= 4000，滿足Nyquiest定理，沒有混疊。其傅立葉變換為：在s = 12000時 4.3 由樣本重構(gòu)帶限信號由xn (恢

5、復) xc(t)見圖4.4Xc(j) = Xr(j) = Hr(j) Xs(j) Xs(j) = X(ejT), X(ej)xc(t) = xr(t) = hr(t) xs(t) xs(t) = xn有前知，理想重構(gòu)濾波器增益為T（補償作用） 截止頻率為c，取c = s/2 = /T 理想離散到連續(xù)時間轉(zhuǎn)換器（D/C）頻域輸入輸出關(guān)系4.4 連續(xù)時間信號的離散時間處理過程的數(shù)學表示：C/D轉(zhuǎn)換器：xn=xc(nT)傅立葉變換的關(guān)系：D/C轉(zhuǎn)換器輸出：線性時不變離散時間系統(tǒng)如果上圖連續(xù)時間系統(tǒng)中的離散時間系統(tǒng)是線性和時不變的，有Y(ej) = H(ej)X(ej)H(ej) - 系統(tǒng)的頻率響應（

6、單位脈沖響應的傅立葉變換）X(ej)，Y(ej) - 輸入輸出的傅立葉變換考慮D/C轉(zhuǎn)換器的濾波器Hr(j): Yr(j) = Hr(j) H(ejT)X(ejT)再考慮C/D轉(zhuǎn)換器的傅立葉變換的關(guān)系，并用=T得到連續(xù)系統(tǒng)輸入、輸出的頻域關(guān)系：如果輸入是帶限的，經(jīng)過D/C理想低通重構(gòu)濾波器，連續(xù)時間系統(tǒng)的輸入輸出頻域關(guān)系：或?qū)憺椋菏街蠬eff(j) 為有效頻率響應（effective frequency response）表示：連續(xù)時間系統(tǒng) （等效）線性時不變系統(tǒng)4.4.2 脈沖響應不變（Impulse invariance）已知 連續(xù)時間系統(tǒng) （實現(xiàn)）離散時間系統(tǒng)也就是：Hc(j) H(ej

7、)本節(jié)討論：hc(t)hn關(guān)系實現(xiàn)的頻域表示：實現(xiàn)的時域關(guān)系：由連續(xù)時間信號的采樣，用hn,hc(t)代替xn,xc(t)考慮幅度因子T,脈沖響應不變例：連續(xù)理想低通濾波器（沖擊響應不變）離散理想低通濾波器c= c/T /T c N 并且/T= /(MT) N xdn xc(t) 減采樣（downsampling）減采樣前后的傅立葉變換之間關(guān)系xn = xc(nT)的傅里葉變換xdn = xnM = xc(nT) = xc(nMT)的傅里葉變換即將求和指數(shù)r表示為:r = i + kM， i 和 k均為整數(shù)若 k 和 0 i M-1 r 上式可寫為：方括號項：減采樣前后的傅立葉變換關(guān)系：Xd(

8、ej)的兩個解釋：（1）與Xc(j)的關(guān)系：= T，2/T 周期重復（疊加）（2）與X(ej)的關(guān)系：頻率M倍擴展， 2/M整數(shù)倍移位，M個周期疊加 Xd(ej)的性質(zhì)：周期性，周期為2若X (ej)帶限，即和2/M 2N ，不產(chǎn)生混疊M因子減采樣時不產(chǎn)生混疊的條件：N M 或N /M如果不能滿足上面的條件，則可以在減采樣前減小信號xn的帶寬。但減采樣后的序列已不再代表原來的連續(xù)時間信號，盡管在減采樣過程中沒有產(chǎn)生混疊。4.6.2 采樣率按整數(shù)因子增加 xn的采樣率增加L倍， xin為： xin = xc(nT) 其中的采樣率T = T/L關(guān)心 xin xn增采樣（upsampling）采樣擴

9、展器（sampling rate expander）（左邊）擴展器的輸出為：系統(tǒng)右邊：低通離散時間濾波器（截止頻率/L，增益L）頻域解釋（upsampling）/T = N具體由xn xin 內(nèi)插公式低通濾波器單位脈沖響應濾波后輸出：單位脈沖響應hin有：表示：在n=0,L, 2L, 上xin與xn相等，在其它n，xin由內(nèi)插公式求得。與真正xc(t)采樣得到的xcnT完全相同。內(nèi)插公式實際中使用簡單的線性內(nèi)插：相應濾波器的內(nèi)插輸出：線性內(nèi)插濾波器與理想低通內(nèi)插濾波器的頻率響應：說明：在n=0,L, 2L, 點上xlinn與xn相等，在其它n， xlinn與真正xc(t)采樣得到的xcnT不同。相同程度取決x n序列的原采樣率，原采樣率越高，xlinn越逼近。4.6.3 采樣率按非整數(shù)因子變化T = TM/L4.7 多采樣率信號處理（multirate signal processing ）4.8 模擬信號的數(shù)字處理理想情況：輸入帶限+Nyquist抽樣 離散系統(tǒng) = 連續(xù)系統(tǒng)實際情況：非帶限、非理想濾波器、C/D和D/C的近似性實際模型4.8.1 消除混疊的預濾波（抗混疊低通濾波）輸入信號頻帶與采樣率的矛盾 采樣率盡可能低噪聲的混入（