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1、2.9 Schrodinger 方程的解1. Free Electrons (自由電子) V=0解這個(gè)微分方程 電子波函數(shù)為：本征能量：E 2. 勢(shì)井中的電子（束縛態(tài)）Bound electronVXa A, B由邊界條件確定：B=-An=1,2,3. 能級(jí)（energy level）能量量子化零點(diǎn)能簡并態(tài)E3 勢(shì)壘貫穿這是一個(gè)典型的量子力學(xué)效應(yīng)經(jīng)典力學(xué)：一個(gè)動(dòng)能為E的球滾向一個(gè)小山，球在山頂?shù)膭?shì)能為U，若UE，則球肯定不能越過包出現(xiàn)在右邊。U(x)U0 x0a（1）量子力學(xué)：即使UE，粒子也可能出現(xiàn)在勢(shì)壘的右邊，如同在勢(shì)壘上穿了一個(gè)洞，粒子穿洞而過，稱為勢(shì)壘貫穿或隧道效應(yīng)。薛定諤方程為：（2
2、）（3）（4）先討論EU0的情況（2）和（3）改寫為：（5）（6）（7）（8）（9）定態(tài)波函數(shù)是 乘上一個(gè)含時(shí)間的因子第一項(xiàng)是由左向右傳播的平面波，第二項(xiàng)是由右向左傳播的平面波由（9）式可以知：沒有向左傳播的波，所以有，（10）根據(jù)波函數(shù)及其微商在x=0和x=a連續(xù)的條件即得出C, A與A的關(guān)系（11）（12）給出了透射波和反射波振幅與入射波振幅之間的關(guān)系代入幾率流密度，得到入射波幾率流密度為：透射波的幾率流密度為：反射波的幾率流密度為：透射系數(shù)D：透射波幾率流密度與入射波幾率 流密度之比. （13）反射系數(shù)R：反射波幾率流密度與入射波 幾率流密度之比說明入射粒子一部分貫穿到xa區(qū)域，另一部分
3、被反射回去（14）再討論EU0的情況,k是虛數(shù)，令k2=ik3, k3是實(shí)數(shù)由（4）式得（15）將（11）可寫為：其中，雙曲正弦、雙曲余弦函數(shù)透射系數(shù): 如果粒子的能量很小，可以將透射系數(shù)寫成：透射系數(shù)隨著勢(shì)壘得寬度a的減小以電子為例，令U-E=5eV=8*10-19Ja(A)1.02.05.010.0D0.11.2*10-21.7*10-53.0*10-10如果勢(shì)壘不是方形，而是任意形狀時(shí)，Scanning Tunneling Microscope (STM)1981年Gerd Binnig(1947-) 和Heinrich Rohrer(1933-) 發(fā)明了STM1986年Gerd Binnig 和Heinrich R
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