北航數(shù)理統(tǒng)計(jì)期末考試題

1、材料學(xué)院研究生會(huì)學(xué)術(shù)部2011年12月2007-2008學(xué)年第一學(xué)期期末試卷一、(6分，A班不做)設(shè)X,X2，,xn是來(lái)自正態(tài)總體N(PQ2)的樣本，令x-x)2試證明T服從t-分布t(2)二、(6分，B班不做)統(tǒng)計(jì)量F-F(n,m)分布，證明-的a(01，是位置參數(shù)。X1，X2，X是來(lái)自總體X的簡(jiǎn)單樣本,12n試求參數(shù)a的矩估計(jì)和極大似然估計(jì)。四、(12分)設(shè)總體X的密度函數(shù)為TOC o 1-5 h z1X-一expp(x;Q)=2J0,其它其中8vyv+8,卩已知，QOq是未知參數(shù)。X，X2，Xn是來(lái)自總體X的簡(jiǎn)單樣本。試求參數(shù)Q的一致最小方差無(wú)偏估計(jì)Q；Q是否為Q的有效估計(jì)？證明你的結(jié)論

2、。五、（6分，A班不做）設(shè)X,x2,，x是來(lái)自正態(tài)總體n（卩,o2）的12n11簡(jiǎn)單樣本，y,y2，yn是來(lái)自正態(tài)總體n（卩q2）的簡(jiǎn)單樣本，且兩樣本相互獨(dú)立，其中卩Q2，PQ2是未知參數(shù)，o22。為檢驗(yàn)假222設(shè)H:,H:卩北卩，可令zxy.iI2，n,卩=卩卩,022iii2則上述假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題等價(jià)于H屮二0,H屮豐0,這樣雙樣本檢驗(yàn)問(wèn)題0就變?yōu)閱螜z驗(yàn)問(wèn)題?；谧儞Q后樣本z，Z2，z，在顯著性水平a2n下，試構(gòu)造檢驗(yàn)上述問(wèn)題的t-檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及相應(yīng)的拒絕域。六、（6分，B班不做）設(shè)x，x2，x是來(lái)自正態(tài)總體n（卩,o2）的2n0簡(jiǎn)單樣本，卩已知，o2未知，試求假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題0H:o2o2,H:o

3、2o2的水平為a的UMPT。000七、（6分）根據(jù)大作業(yè)情況，試簡(jiǎn)述你在應(yīng)用線性回歸分析解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)應(yīng)該注意哪些方面？八、（6分）設(shè)方差分析模型為總離差平方和試求E（S），并根據(jù)直觀分析給出檢驗(yàn)假設(shè)H:a=a二=a=0的拒絕A02P域形式。九、（8分）某個(gè)四因素二水平試驗(yàn)，除考察因子A、B、C、D外，還需考察AxB，BxC。今選用表L（27），表頭設(shè)計(jì)及試驗(yàn)數(shù)據(jù)如表所8示。試用極差分析指出因子的主次順序和較優(yōu)工藝條件。列號(hào)試驗(yàn)號(hào)ABCD實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)12345671111111112.82111222228.2312211222635212121230.562122121

4、4.37221122133.3822121124.0十、(8分)對(duì)某中學(xué)初中12歲的女生進(jìn)行體檢，測(cè)量四個(gè)變量，身高X,體重x2,胸圍x3,坐高x4o現(xiàn)測(cè)得58個(gè)女生，得樣本數(shù)據(jù)(略)經(jīng)計(jì)算指標(biāo)X=(x,x,x,x)T的協(xié)方差陣V的極大似然估計(jì)為234且其特征根為咒=50.46,律665,尤=3.38,尤=.00234)試根據(jù)主成分85%的選擇標(biāo)準(zhǔn),應(yīng)選取幾個(gè)主要成分？(2)試求第一主成分。2006級(jí)碩士研究生應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)試題一、選擇題(每小題3分,共2分).統(tǒng)計(jì)量Tt(n)分布，則統(tǒng)計(jì)量T2的a(0a)分位點(diǎn)xa(PT2Wxa=a)是()t(n)2t(n)t(n)t(n)A.i=a2Bi亠a

5、CiaC.2Dua22.設(shè)隨機(jī)變量XN(0,1),YN(0,1),則()X/A./2服從t-分布B.X2+Y2服從咒2-分布C.X2和Y2都服從咒2-分布D.X2/Y2服從F-分布某四因素二水平實(shí)驗(yàn)，選擇正交表L8（27）,已填好A，B，C三個(gè)因子，分別在第一，第四，第七列，若要避免“混雜”，應(yīng)安排因子D在第（）列.A.5B.2C.3D.6123451）325476（2）16745（3）7654（4）123（5）32（6）1（7）4.假設(shè)總體X服從兩點(diǎn)分布，分布率為PX=x=px（1-p）1-x,其中x=0或1，p為未知參數(shù)，X1,X2,，Xn是來(lái)自總體的簡(jiǎn)單樣本，則下面統(tǒng)計(jì)量中不是充分統(tǒng)計(jì)量

6、的是（）工X1工X丄EX-11工X-pA.iB.niC.niD.ni乂X.i_11Ji_1i_1丿i_1二.填空題（每小題3分,共12分）1.設(shè)X1,X2,，Xn是來(lái)自總體N（0，&2）的簡(jiǎn)單樣本，則常數(shù)JExi1屮ex0 x0的簡(jiǎn)Z=令(XX)-1XYJ-X(XX)-1XY丿，當(dāng)8n（0Q21）時(shí)，Z服從多元正態(tài)分布。c=時(shí)統(tǒng)計(jì)量Y匸m+1服從t-分布（1mn）,其自由度為試證明金與e相互獨(dú)立。（6分，A班不做）設(shè)某切割機(jī)切割金屬棒的長(zhǎng)度X服從正態(tài)分布，正常工作時(shí)，切割每段金屬棒的平均長(zhǎng)度為10.5cm。某日為了檢驗(yàn)切割機(jī)工作是否正常，隨機(jī)抽取15段進(jìn)行測(cè)量，得平均樣本值X=10.48cm，

7、樣本方差s2=0.056cm2。在顯著性水平a=0.05下，試問(wèn)該切割機(jī)工作是否正常？z=1.64,z=1.96,t（14）=1.7631,t（14）=2.1448（0.950.9750.950.975）（6分，B班不做）設(shè)XN（e，b2）,e已知，X1,X2,，Xn來(lái)自X的樣本，并設(shè)e的先驗(yàn)分布為en（卩,t2）,X2已知，則可知均值e的Bayes估計(jì)為試通過(guò)此例說(shuō)明Bayes估計(jì)的特點(diǎn)。（B班不做）設(shè)總體X服從正態(tài)總體N（0，a2），X1,X2,，Xn是來(lái)自總體的簡(jiǎn)單樣本，考慮檢驗(yàn)問(wèn)題在顯著水平a=0.05下，求最優(yōu)檢驗(yàn)（MP）的拒絕域。八研究小麥品種與施肥的農(nóng)田實(shí)驗(yàn)，考察的因素與水平如下

8、表所示:水平/因素A小麥品種B.施肥量C澆水遍數(shù)D除草遍數(shù)1甲16122乙1223據(jù)經(jīng)驗(yàn)需考慮交互作用AXB，選用正交表L8（27），數(shù)據(jù)如表所示。試驗(yàn)號(hào)/列號(hào)ABAXBC實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)D12345671234567811111111112222122112212222112121212212212122112212212112115160145155140155100125用極差分析確定最優(yōu)方案(以數(shù)據(jù)大者為好)九.(6分)設(shè)X=(X1,X2,X3,X4)的協(xié)方差陣為已知V的特征根是九1=(3P+1”2,九24=(1一P22，其中P=0.83,試根據(jù)85%的選取標(biāo)準(zhǔn)確定確定主成分個(gè)數(shù)，并求出主成分

9、。應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)(2000年)一、填空1、設(shè)x1,x2,.x10來(lái)自總體N(0,1)的樣本，若y=k1(x1+2x2+3x3)2+k2(x4+x5+.+x10)2x2(2)，貝Uk1=k2=m(夠-4)，2、設(shè)x1,x2,.x2m來(lái)自總體N(4,9)的樣本，若y=:c=,zt()3、設(shè)x1,x2,.x2m來(lái)自總體N(卩，o2)的樣本，已知y=(x2-x1)2+(x3-x4)2+.+(x2m-x2m-1)2，且Z=cy為o2的無(wú)偏估計(jì)，貝Uc=4、上題中，Dz=5、由總體F(x)與G(x)中依次抽得容量為12和11的樣本，已計(jì)算的游程總個(gè)數(shù)U=12，試在水平a=0.05下檢驗(yàn)假設(shè)HO：F(x)=G

10、(x),其結(jié)論為(U0.05(12，11)=8)61、.LT一、設(shè)x1,x2,.x61來(lái)自總體N(0,1)的樣本，令y=,試求P/(to.975(60)=2)三、設(shè)總體x的密度函數(shù)為而(x1,x2,.xn)為來(lái)自x的樣本，試求a的極大似然估計(jì)量。四、設(shè)xN(p1,o2),yN(卩2,o2),今抽取x的樣本x1,x2,.x8；y的樣本y1,y2,.y8；計(jì)算得亍匚m十卞試在水平a=001下檢驗(yàn)假設(shè)H0：卩1=卩2,H1：卩1卩2試求a=002時(shí)，卩2-卩1的估計(jì)區(qū)間(t0.99(14)=2.6245)五、欲考察因子A,B,C,D及交互作用AXC,且知B也可能與其它因子存在交互作用，試在L8(27

11、)上完成下列表頭設(shè)計(jì)。并說(shuō)明理由。BADCB用L8(27)的交互作用表六、已知(x1,y1),(x2,y2),(x9,y9)為一組實(shí)驗(yàn)值，且計(jì)算得TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark34 o Current Document r=8.67,j=16.2,999；=3081_96.V=1743.6=_二：二：,試求線性回歸方程y=a+b八x七、x1,x2,.x100來(lái)自總體xn(九)的一個(gè)樣本，試求參數(shù)的近似(1-a)置信區(qū)間，(Ex=k,Dx=k)八、在一元線性回歸中，lyy=Q+U,F=USF(s,t),試給出用F值Q/S來(lái)判定回歸顯著性的辦法。應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)(

12、2001年)一、填空(每空3分，共30分)設(shè)x1,x2,x10為來(lái)自總體N(0,1)的樣本，若y=k1(2x1+x2-3x3)+k2(x4+x5+x10)2,且yx2(2).貝Uk1=,k2=設(shè)x1,x2,x12為來(lái)自總體N(0,A)的樣本，若y=(x12+x22+x32)m(x12+x22+x12)且Z=cyF分布，貝Uc=_,ZF()若x1,x2,x20為來(lái)自總體N(y,o2)的樣本，若y=(x2-x1)2+(x4-x3)2+(x20-x19)2，且Z=cy為o2的無(wú)偏估計(jì),貝c=_,DZ=_若x1,x2,x100為來(lái)自總體N(10,o2)的樣本，若110G尸丁二列丿丿，貝HEy=,Dy若

13、x1,x2,x16為來(lái)自總體N(y,0.012)的樣本，其樣本平均值x-=2.215,則y的0.20置信區(qū)間為(取三位小數(shù))，(已知(1645)=0.95,(1282)=0.90)二(10分)設(shè)總體X的概率密度函數(shù)為而x1,x2,xn為來(lái)自X的樣本，試求a的矩估計(jì)量和極大似然估計(jì)量。三(10分)設(shè)x1,x2,x61為來(lái)自總體N(0,1)的樣本。令60工#、y=，且P(x61/yk)=0.95,試求k。四(10分)設(shè)XN(y1,o2),YN(y2,o2)令抽取A的樣本x1,x2,x8,Y的樣本y1,y2,y8試推導(dǎo)假設(shè)H0：y1=y2；H1：y1y2的拒絕域，設(shè)若工一mm11，是否接受?五(10

14、分)設(shè)yN(Ae-Bx,o2),試由樣本(x1,y1)(x2,y2),(xn,yn)估計(jì)參數(shù)A及B(可利用已有的結(jié)論或公式些出相應(yīng)的結(jié)果)。六(10分)今有正交試驗(yàn)結(jié)果列于下表(大者為好)試用級(jí)差分析對(duì)結(jié)果進(jìn)行分析判斷，若A、B、C的水平數(shù)皆為實(shí)際條件數(shù)據(jù)由小到大排列，試選出最優(yōu)工藝條件并指出進(jìn)一步試驗(yàn)的方向。試證明：七、(10分)設(shè)tt(n),FF(n,1)且ptta(n)=a,pFFa(n,1)=a100Y=：1八、(10分)設(shè)X的概率密度函數(shù)為1一,0c設(shè)總體X的概率密度為f（x；e）=UU.，其中c0為常數(shù)，試用來(lái)自X的樣本XL,X:.3C11構(gòu)造的e矩估計(jì)量。5設(shè)總體XN（y,52）

15、，其樣本為（XI，X2，Xn），這時(shí)卩的置信區(qū)間為1-a，的置信區(qū)間為當(dāng)n固定時(shí)，若要提高置信度，置信區(qū)間長(zhǎng)度會(huì)當(dāng)置信度固定時(shí)，增大n,置信區(qū)間長(zhǎng)度會(huì)設(shè)（XI，X2，Xn）為來(lái)自正態(tài)總體N（0,o2）的樣本，若T=3二是o的無(wú)偏估計(jì)量，求c。設(shè)總體X的均值為卩，方差為o20，今有來(lái)自X的兩組樣本（X1,X2，Xn1），（Y1，Y2，Yn2），其樣本均值依次為X和Y,若T=aX+bY為卩的無(wú)偏估計(jì)量，且方差D（T）達(dá)到了最小，試求a與b。若回歸直線y=a+bh中，已知&=戸底匚，且Q/（n-2）為的無(wú)偏估計(jì)，而LX（n-2），又知a與Q相互獨(dú)立，試求a的置信區(qū)間。今有正交試驗(yàn)結(jié)果列于下表（試驗(yàn)結(jié)

16、果大者為好），試用極差分析法對(duì)結(jié)果進(jìn)行分析，并選出最優(yōu)工藝條件，又知A，B，C的水平數(shù)皆為實(shí)際數(shù)據(jù)由小到大排列，試指出進(jìn)一步實(shí)驗(yàn)的方向。設(shè)（XI,X2，Xn）為來(lái)自總體X的簡(jiǎn)單樣本，且XR0,0，試求e的最大似然估計(jì)量，并驗(yàn)證是否具有無(wú)偏性，若否，請(qǐng)構(gòu)造一個(gè)無(wú)偏估計(jì)量。應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)考試提綱（2004年）1、正態(tài)N（y,o2）,簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本XI、X2Xn,其中卩已知。（1）求02的一至最小方差無(wú)偏估計(jì)。（2）運(yùn)用信息不等式得到02的方差下界。（3）判斷得到的02的一致最小方差是否達(dá)到信息不等式的下界。（4）說(shuō)明有效估計(jì)和一致最小方差關(guān)系。2、對(duì)于一元線性回歸證明bN（b,02/lxx）3、假設(shè)檢

17、驗(yàn)。（比較簡(jiǎn)單，但要記住公式或自己能推導(dǎo)）4、對(duì)L8（27）正交表進(jìn)行極差分析和方差分析，判斷最優(yōu)的工藝條件。5、已知某個(gè)、協(xié)差矩陣的特征根，求應(yīng)該選幾個(gè)主成分和第一主成分的特征向量。（第二問(wèn)都是小數(shù)，4X4矩陣，運(yùn)算量大，要帶計(jì)算器）整理人：張斌玉柳青注：在此復(fù)習(xí)資料的收集過(guò)程中，有一些資料整理者已無(wú)法考證，感謝所有曾對(duì)此資料做出貢獻(xiàn)的人。2.設(shè)X1,X2,，Xn是來(lái)自總體N（卩，e）的簡(jiǎn)單樣本，其中e已知。則在滿足PX-a卩X+b=1-a的均值卩的置信度為1-a的置信區(qū)間類X-a,X+b：a,b常數(shù)中區(qū)間長(zhǎng)度最短的置信區(qū)間為（）3.設(shè)X1,X2,，Xn是來(lái)自總體N（卩,e）的簡(jiǎn)單樣本，卩已知，則S2二1