金數(shù)第2章復(fù)變函數(shù)

1、第 2 章復(fù) 變 函 數(shù)2.1復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)2.1.1 復(fù)變函數(shù)的概念定義 2.1.1(1) 設(shè) E C.若 f 是某一法則, 使得對每個 z E, 存在唯一的 w C 與之對應(yīng), 則稱 f 為定義在 E 上的(單值)復(fù)變函數(shù), 簡稱為復(fù)函數(shù), 記作 w = f (z).(2) 若 f 是某一法則, 使得對每個 z E, 存在多個的 w C 與之對應(yīng), 則稱 f 為定義在 E上的多值復(fù)變函數(shù).稱 E 為 f 的定義域, 稱 f (E) = f (z) : z E 為 f 的值域.有時也會實變量的復(fù)值函數(shù)或復(fù)變量的實值函數(shù), 它們都是一般復(fù)函數(shù)的特例.z2 -1例 1函數(shù) w = z +

2、2, w = z (n = 1, 2, ), w = z w =nz 和函數(shù) w =都是單值函數(shù).z +11而函數(shù) w = z n , w Argz 是多值函數(shù).設(shè) w = f (z) 是定義在 E 上的復(fù)函數(shù). 記 z = x +iy, w = u +iv, 則 w = f (z) 可以表示為w = u(x, y) +iv(x, y),(x, y) E.(1)其中u = u(x, y) 和 v = v(x, y) 是一對二元實函數(shù), 它們分別稱為 f (z) 的實部和虛部, 分別記為Re f (z) 和Im f (z). 這說明一個復(fù)函數(shù)等價于一對二元實變量的實函數(shù).復(fù)函數(shù)的形如(1)式的表

3、示形式對應(yīng)于復(fù)數(shù)的代數(shù)形式. 對應(yīng)于復(fù)數(shù)的指數(shù)形式, 相應(yīng)地可以將復(fù)函數(shù)表示為指數(shù)形式:w = (r, )ei (r, ) ,z = rei E.例 2設(shè) w = f (z) = z2. 由于w = z2 = (x +iy)2 = x2 - y2 + 2i xy,因此 w = z2 等價于一對二元實函數(shù)u = x2 - y2 , v = 2xy.此外, 設(shè) z = rei . 則 w = z2 可以表示為指數(shù)形式:w = z2 = r2e2i .為研究復(fù)函數(shù) w = f (z) 的幾何性質(zhì), 取兩個復(fù)平面, 分別稱為 z 平面和 w 平面. 復(fù)函數(shù)w = f (z) 可以看作是從 z 平面的點

4、集 E 到 w 平面的(或映照). 函數(shù) w = f (z) 將 z為w, 將 E為 f (E) = f (z) : z E . 稱 w 為 z 像,稱 z 為 w 的原像. 相應(yīng)地, 稱 f (E) 為E 的像, 稱 E 為 f (E) 的原像.例 3函數(shù) w = z2 將 z 平面上雙曲線 x2 - y2 = 4 和 xy = 2解 由例 2 知道函數(shù) w = z2 等價于一對二元實函數(shù)u = x2 - y2 , v = 2xy.因此函數(shù) w = z2 分別將 z 平面上雙曲線 x2 - y2 = 4 和 xy = 2v = 4.為 w 平面上的什么曲線?為 w 平面上的直線u = 4 和

5、112.1.2復(fù)函數(shù)的極限與連續(xù)有關(guān)實函數(shù)的一些概念, 只要不牽涉到函數(shù)值大小的比較, 都可以移植到復(fù)函數(shù)上來.以下設(shè) E 是復(fù)平面C 的非空子集.設(shè) f (z) 是定義在 E 上的復(fù)函數(shù), z0 是 E 的聚點, 是一復(fù)數(shù). 若對任意定義 2.1.2 0, 存在 0, 使得當(dāng) z E 并且0 時, 有 0, 存在 0, 使得當(dāng) z E 并且0 M ,z - z0則稱當(dāng) z 0 時, f (z) 趨近于無窮大 記為 lim f (z) = .zz0(2) 設(shè) w = f (z) 是定義在 E 上的復(fù)函數(shù), 無窮遠(yuǎn)點是 E 的聚點(即對任意 r 0, 的z r 中包含 E 中的點), 是一復(fù)數(shù).

6、 若對任意 0, 存在r 0, 使得當(dāng) z Er 鄰域 z :z r 時, 有并且f (z)- ,則稱當(dāng) z 時, f (z) 趨近于極限 , 記為 lim f (z) = .z學(xué)生可以自己給出極限 lim f (z) = 的定義.z例如, lim 1 = , lim 1 = 0.z0 zz z2.1.3復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性12定義 2.1.3設(shè) f (z) 是定義在 E 上的復(fù)函數(shù), z0 E 是 E 的聚點. 若lim f (z) = f (z0 ),zz0E )連續(xù). 若 f (z) 在 E 上的每一點都連續(xù), 則稱 f (z) 在 E 上連續(xù).則稱 f (z) 在點 z0 處(相對例 6p

7、20.定理 2.1.2設(shè) f (z) = u(x, y) +iv(x, y) 是定義在 E 上的復(fù)函數(shù), z0 = x0 +iy0 是 E 的聚點.則 f (z) 在點 z0 處連續(xù)的充要條件是u(x, y) 和v(x, y) 在點(x0 , y0 ) 處連續(xù).證明 利用定理 2.1.1, 有f (z) 在點 z0 處連續(xù) lim f (z) = f (z0 ),zz0 lim u(x, y) = u(x , yy y0),lim v(x, y) = v(x0 , y0 ).xx0 y y0數(shù)學(xué)分析中關(guān)于實變連續(xù)函數(shù)極限的一些性質(zhì), 都可以推廣到復(fù)函數(shù)的情形. 例如連續(xù)函數(shù)經(jīng)四則運算得到的函數(shù)

8、仍然是連續(xù)函數(shù). 連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍然是連續(xù)函數(shù). 這些結(jié)論可以仿照數(shù)學(xué)分析中實函數(shù)的情形直接證明, 也可以利用上述結(jié)論證明.例 7p21.例 8證明 f (z) = arg z (z 0) 在復(fù)平面去掉原點和負(fù)實軸的區(qū)域上連續(xù),軸上的每一點都不連續(xù). 這里arg z 是Arg z 的主值, 滿足- arg z .證明 (1) 由于arg z 在原點 z = 0 處沒有定義, 因此arg z 在原點處不連續(xù).(2) 設(shè) z0 = x0 在負(fù)實軸上. 則在原點和負(fù)實limarg z = ,limarg z = - ,zx0 , Im z0因此 lim arg z 不存在, 因此arg z 在

9、z0 處不連續(xù).zz0(3) 當(dāng) z0 C (-, 0 時, 存在0 0 2 , 使得角形區(qū)域D = z : arg z0 -0 arg z arg z0 + 0 yz0與負(fù)實軸不相交( 圖 2.2). 對任意 0 0, 使得U (z0 , ) z : arg z0 - arg z arg z0 + .0于是當(dāng) z U (z0 , ) 時,arg z0 - arg z arg z0 + ,xO圖 2.2 0, 使得當(dāng) z U (z0 , ) 時,f (z) 0. (這里假設(shè) z0 是 f (z) 的定義域 E 的內(nèi)點).1由假設(shè)條件, lim f (z) = f (z0 ) 0. 取 =f (

10、z0 ) , 則存在 0 ( 不妨設(shè)證明2zz0U (z0 , ) E ), 使得當(dāng) z U (z0 , ) 時，總有f (z)- f (z ) = 1f (z ). 002131f (z) f (z) f (z0 )2f (z0 )f (z0 ) . 即于是- 12f (z ) 1f (z ) f (z ) 0.00022下面利用定理 2.1.2 數(shù)學(xué)分析中的關(guān)于實函數(shù)的相應(yīng)結(jié)果來證明.方法二 設(shè) f (z) = u(x, y) +iv(x, y), z0 = x0 + iy0 . 由于f (z ) 在點 z0 處連續(xù), 根據(jù)定理2.1.2, u(x, y) 和v(x, y) 在點(x0 ,

11、 y0 ) 處連續(xù). 由假設(shè)條件,f (z ) =u(x , y )2 + v(x , y 0,)200000不妨設(shè)u(x0 , y0 ) 0. 由實值連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)知道存在(x0 , y0 ) 的某一鄰域U (x0 , y0 ), ), 使得當(dāng)(x, y) U (x0 , y0 ), ) 時, u(x, y) 0. 于是當(dāng) z U (z0 , ) 時, f (z) 0. 仿照實函數(shù)的情形, 可以定義復(fù)函數(shù)的一致連續(xù)性.定義 2.1.4設(shè) f (z) 是定義在 E 上的復(fù)函數(shù). 若對于任意給定的 0, 存在相應(yīng)的 0,使得當(dāng) z, z E 并且z- z 時, 有f (z)- f (z) 0,f

12、 (z) M (z E).使得f (z) 在 D 上取得最大值和最小值.(3)2.2函數(shù)2.2.1復(fù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1 可導(dǎo)的概念定義 2.2.1設(shè) w = f (z) 是定義在區(qū)域 D 內(nèi)的單值復(fù)函數(shù), z0 D. 若極限14f (z)- f (z0 )limzz0z - z0記為 f (z ) (或 d f存在(有限), 則稱 f (z) 在 z 處可導(dǎo). 稱該極限為 f (z) 在 z 處的導(dǎo)數(shù),).000d zz=z0即f (z)- f (z0 ) .f (z ) = lim(2.2.1)0z - zzz00若令z = z - z0 , f = f (z0 + z)- f (z0 ), 則上

13、式可以寫成f (z ) = lim f = limf (z0 + z)- f (z0 ) .( 2.2.1 )0z0 zz0z注意(1) 式等價于f (z0 + z)- f (z0 ) = f (z0 )z + o( z ) (z 0).( 2.2.1 )因此 f (z) 在 z0 處可導(dǎo)也稱為 f (z) 在 z0 處可微. 稱df = f (z0 )z 為 f (z) 在 z0 處的微分.注 1(1) 復(fù)函數(shù) f (z) 在某點 z0 處可導(dǎo)所要滿足的條件比實函數(shù)的情形要高得多. 因為定義 2.2.1 中的極限是一個全面極限.(2) 利用(2.2.1) 式知道, 若 f (z) 在 z0

14、處可導(dǎo)，則 f (z) 在 z0 處連續(xù).例 1證明: (1) 常值函數(shù) f (z) 在整個復(fù)平面C 上可導(dǎo)，并且( ) = 0.(2) 函數(shù) f (z) zn (n 1, 2, ) 在整個復(fù)平面C 上可導(dǎo)，并且(zn ) = nzn-1.證明 (1) 顯然. (2) 任意取定 z C. 因為f (z + z)- f (z)z(z + z)n - znzn(n -1)n-1zz + (z),n-2n-1= nz+2所以f (z + z)- f (z) = nzn-1.f (z) = limzz0這說明 f (z) zn 在點 z 可導(dǎo)，并且(zn ) = nzn-1. 由于 z C 是任意取的

15、, 故結(jié)論成立.函數(shù) f (z) = z 的可導(dǎo)性.補充例 1解 任取一點 z0 C. 記Dz = Dx +iDy. 此時f (z0 + z)- f (z0 ) = z0 + z - z0 = z.當(dāng)動點 z 沿著平行于實軸的直線趨于 z0 時, Dz = Dx.因此f (z0 + z)- f (z0 ) =lim z = lim x = 1.limDz0 Dz=DxzzDx0 xDz0Dz=Dx當(dāng)動點 z 沿著平行于虛軸軸的直線趨于 z0 時, Dz = iDy. 因此f (z0 + z)- f (z0 ) =lim z = lim -iy = -1.limDz0 Dz=iDyzziyDz0

16、Dy0Dz=iDyf (z0 z) f (z0 ) 不存在，因此zf (z) = z 在點 z處不可導(dǎo). 由于 z C 是任意取這說明 lim00z015的, 因此 f (z) = z 在復(fù)平面上處處不可導(dǎo).2 復(fù)函數(shù)的求導(dǎo)法則數(shù)學(xué)分析中的關(guān)于實函數(shù)的求導(dǎo)的運算法則, 對于復(fù)函數(shù)也成立. 以下命題的證明與數(shù)學(xué)分析中關(guān)于實函數(shù)相應(yīng)結(jié)果的證明完全一樣, 故略去其證明.命題 1設(shè)函數(shù) f (z) 和 g(z) 在點 z 處可導(dǎo). 則:f (z) g(z) 在點 z 處可導(dǎo), 并且( f (z) g(z) = f (z) g (z).f (z)g(z) 在點 z 處可導(dǎo), 并且( f (z)g(z)

17、= f (z)g(z) + f (z)g (z).特別地, 若 是常數(shù),(3) 若 g(z) 0,則( f (z) = f (z).f (z)在點 z 處可導(dǎo), 并且則g(z) f (z)f (z)g(z)- f (z)g (z) =. g(z) g 2 (z)(4) 設(shè) = f (z).若 F ( ) 在點 處可導(dǎo), 則復(fù)合函數(shù) F ( f (z) 在點 z 處可導(dǎo),并且dF ( f (z) = dF ( ) d.dd zd z補充例 2設(shè) f (z) = (3z2 - z + 2)10. 利用例 1 的結(jié)論和命題 2,有f (z) = 10(3z2 - z + 2)9 (3z2 - z +

18、 2) = 10(3z2 - z + 2)9 (6z -1).2.2.2函數(shù)的概念定義 2.2.2(1) 設(shè)函數(shù) f (z) 在一個區(qū)域 D 內(nèi)有定義.若 f (z) 在 D 內(nèi)處處可導(dǎo),則稱 f (z)在 D 內(nèi)(2)(3)在 D 上. 此時也稱 f (z) 為區(qū)域 D 內(nèi)的函數(shù).若 f (z) 在 z0 的某鄰域內(nèi), 則稱 f (z) 在 z0 處.并且 f (z) 在G 內(nèi)設(shè) D 是一閉區(qū)域. 如果存在區(qū)域G, 使得 D G,.則稱 f (z),注 2(1)函數(shù)有時稱為全純函數(shù)或正則函數(shù).注意 f (z) 在 z0 處f (z) 在區(qū)域 D 內(nèi)與 f (z) 在 z0 處可導(dǎo)的區(qū)別.等價

19、于 f (z) 在 D 內(nèi)的每一點處都. f (z) 在閉區(qū)域 D 上解析等價于 f (z) 在 D 上的每一點處都.函數(shù)的四則運算) 設(shè)函數(shù) f (z) 和 g(z) 都在區(qū)域 D 內(nèi)定理 2.2.1 (. 則(1) f (z) g(z), f (z)g(z) 都在區(qū)域 D 內(nèi).f (z)(2) 若 g(z) 0 (z D), 則在區(qū)域 D 內(nèi).g(z)函數(shù)的復(fù)合運算) 設(shè)函數(shù) f (z) 在 z 平面上的區(qū)域 D 內(nèi)，w F ( )定理 2.2.2 (在 平面上的區(qū)域G 內(nèi)也，并且 f (D) G ，則復(fù)合函數(shù) w F f (z) 在區(qū)域 D 內(nèi).命題 2(1) 常值函數(shù) f (z) 在整

20、個復(fù)平面C 上16.(2) 冪函數(shù) f (z) zn (n 1, 2, ) 在整個復(fù)平面C 上.(3) 多形式函數(shù) P(z) = a + a z + a zn 在整個復(fù)平面C 上, 并且01nP(z) = a + 2a z + nazn-1.12nP(z)(4) 有理函數(shù) R(z) =在復(fù)平面C 上除去Q(z) = 0 的點外處處.Q(z)證明 利用例 1 的結(jié)果直接得到結(jié)論(1)和(2). 再由命題 1 得到結(jié)論(3)和(4). 定義 2.2.3若 f (z) 在 z = z0 處不, 則稱 z0 為 f (z) 的奇點.1函數(shù) f (z) =(n = 1, 2, ) 的zn例 2性.解 這

21、是一個有理函數(shù). 根據(jù)命題 2, f (z) 在復(fù)平面除去使得分母 zn = 0 的點即原點外,. f (z) 在原點 z = 0 處沒有定義, 當(dāng)然不. 因此 z = 0 是 f (z) 的唯一的奇點.處處補充例 3根據(jù)補充例 1, 函數(shù) f (z) = z 在復(fù)平面上處處不可導(dǎo). 因此 f (z) 復(fù)平面上處處不.2.2.3復(fù)函數(shù)可導(dǎo)與的充要條件定理 2.2.3(可微的充要條件) 設(shè)函數(shù) f (z) = u(x, y) +iv(x, y) 在區(qū)域 D 內(nèi)有定義,z0 = x0 +iy0 D. 則 f (z) 在點 z0 處可微的充要條件是u(x, y) 和v(x, y) 在(x0 , y0

22、 ) 處可微.u(x, y) 和v(x, y) 在(x0 , y0 ) 處滿足u = v ,u = - v .(2.2.2)xyyx(2.2.2)式稱為-(Cauchy-Riemann)條件, 簡稱為 C-R 條件.證明 必要性. 設(shè) f (z) 在點 z0 處可微, f (z0 ) = = a +ib. 根據(jù)(2.2.1) 式,f = z + o( z ), z 0.有即u +iv = (a +ib)(x +iy) + o( z ) (z 0).分開實部和虛部得到u = ax -by) + o( z ), z 0.v = bx + ay + o( z ), z 0.以上兩式表明u 和v 在(

23、x0 , y0 ) 處可微. 并且a = ux (x0 , y0 ) = vy (x0 , y0 ),b = vx (x0 , y0 ) = -uy (x0 , y0 ).因此 C-R 條件成立.充分性. 設(shè)u 和v 在(x0 , y0 ) 處可微. 并且 C-R 條件成立. 則u = ux (x0 , y0 )x + uy (x0 , y0 )y + o( z ),v = vx (x0 , y0 )x + vy (x0 , y0 )y + o( z ).利用上式和 C-R 條件得到17f = u +iv= ux (x0 , y0 )x + uy (x0 , y0 )y +i(vx (x0 ,

24、 y0 )x + vy (x0 , y0 )y )= (ux (x0 , y0 ) +ivx (x0 , y0 )(x +iy) + o( z ).因而fz) .= u (x , y ) +iv (x, y ) +x00 x00z因此 f (z0 ) 存在, 并且f (z ) = lim f = u (x , y ) +iv (x , y ).0z0 zx00 x00因此 f (z) 在點 z0 處可微. 注 3若 f (z) = u(x, y) +iv(x, y) 在點 z = x +iy 可微，由定理 2.2.3 的證明和C-R 方程, 有f (z) = u +i v = v -i u .

25、(2.2.3)xxyy在數(shù)學(xué)分析中，知道若二元實函數(shù)在某一點處具有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則該函數(shù)在這一點處可微. 由此得到如下的推論.推論 2.2.1(可微的充分條件) 設(shè)函數(shù) f (z) = u(x, y) +iv(x, y) 在區(qū)域 D 內(nèi)有定義,z0 = x0 +iy0 D. 則 f (z) 在點 z0 處可微的充分條件是u(x, y) 和v(x, y) 在(x0 , y0 ) 處具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù).u(x, y) 和v(x, y) 在(x0 , y0 ) 處滿足 C-R 條件.根據(jù)定理 2.2.3 和函數(shù)的定義, 立即得到的充要條件) 設(shè)函數(shù) f (z) = u(x, y) +iv(x,

26、 y) 在區(qū)域 D 內(nèi)有定義.則 f (z)定理 2.2.4(在 D 內(nèi)的充要條件是(1) u(x, y) 和v(x, y) 在在 D.(2) u(x, y) 和v(x, y) 在 D 內(nèi)處處滿足 C-R 條件.利用推論 2.2.1 得到的充分條件) 設(shè)函數(shù) f (z) = u(x, y) +iv(x, y) 在區(qū)域 D 內(nèi)有定義.則 f (z)推論 2.2.2(在 D 內(nèi)的充分條件是u(x, y) 和v(x, y) 在 D 內(nèi)具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù).u(x, y) 和v(x, y) 在 D 內(nèi)處處滿足 C-R 條件.在第三章將會證明, 推論 2.2.2 中的條件(1)和(2)也是 f (z)

27、在 D 內(nèi)的必有條件.，且 f (z) = f (z).例 3證明函數(shù) f (z) = ex (cos y +isin y) 在復(fù)平面上證明 記 f (z) = u(x, y) + iv(x, y), 則u(x, y) = ex cos y, v(x, y) = ex sin y. 因為u = ex cos y, u = -ex sin y, v = ex sin y, v = ex cos y.xyxy顯然，它們都在復(fù)平面上連續(xù)并且滿足 C-R 條件. 根據(jù)推論 2.2.2, f (z) 在復(fù)平面上由(2.2.3)式得到. 并且f (z) = u +i v = ex (cos y +isin

28、 y) = f (z).xx函數(shù) f (z) = x2 + ay2 +i 2xy 的可微性和例 4性18o(z解 這里u(x, y) = x2 + ay2 , v(x, y) = 2xy. 因此ux = 2x,uy = 2ay,vx = 2 y,vy = 2x.顯然，它們都在全復(fù)平面上連續(xù)并且滿足ux = vy .為使uy = -vx , 必須2ay = -2 y, 即(a +1) y = 0. 下面分兩種情況(1) 當(dāng) a = -1 時, uy = -vx . 此時u(x, y) 和 v(x, y) 在復(fù)平面上連續(xù),.并且處處滿足 C-R條件. 根據(jù)推論 2.2.2, f (z) 在復(fù)平面上

29、.(2) 當(dāng) a 1 時, u(x, y) 和v(x, y) 僅在直線 y = 0 上滿足 C-R 條件. 根據(jù)推論 2.2.1, f (z)僅在直線 y = 0 上可微. 從而 f (z) 在復(fù)平面上處處不.例 5例 6p27.2.3初 等 函 數(shù)2.3.1初等函數(shù)1 指數(shù)函數(shù)在數(shù)學(xué)分析中,已經(jīng)熟悉指數(shù)函數(shù)ex (x R). 現(xiàn)在要對復(fù)變量 z 定義指數(shù)函數(shù)ez . 定義 2.3.1 設(shè)e 是自然對數(shù)的底. 對任意 z = x +iy C, 令ez = ex (cos y + i sin y).稱函數(shù)ez 為指數(shù)函數(shù).若令 z = iy , 則得到 Euler 公式ei y = cos y

30、+ i sin y.指數(shù)函數(shù)ez 具有如下的基本性質(zhì):ez 是單值函數(shù), 并且當(dāng) z x 是實數(shù)時， ez = ex. 這說明復(fù)指數(shù)函數(shù)ez 是實指數(shù)函數(shù)ex 在復(fù)平面上的推廣.ez 在整個復(fù)平面上，并且(ez ) = ez . 這由2.2 例 3 知道.有ez1 +z2= ez1 ez2 .(3) 對任意的 z , z C,12事實上，設(shè) z1 = x1 + iy1, z2 = x2 + iy2 , 則 z1 + z2 = (x1 + x2 ) +i ( y1 + y2 ). 利用1.1 補充引理 1,有ez1 ez2 = ex1 (cos y +i sin y )ex2 (cos y +i

31、sin y )1= ex1 +x2 cos( y122)+ y ) +isin( y + y1212= ez1 +z2 .(4) ez 是以2 i 為周期的周期函數(shù), 即ez+2 i = ez (z C).事實上, 設(shè) z = x + iy, 則 z + 2 i = x +i( y + 2 ). 因此ez+2 i = ex cos( y + 2 ) +isin( y + 2 )= ex ( cos y +isin y ) = ez .由于ez 是以2 i 為周期的周期函數(shù), 因此ez1 = ez2 z = z + 2k i (k Z).21= ex , Arg ez = y + 2k (k Z

32、). 特別地, ez 0.(5）對任意 z = x +iy C, 有ez19ez1補充例 1證明對任意 z1, z2 C, 有= ez -z1 2 .ez21證明 由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)(3), 有ez e-z = ez+(-z) = e0 = 1. 因此= e-z . 于是對任意ezez1z1, z2 C, 有= e e= ez-zz -z121 2 .ez2補充例 2數(shù)學(xué)分析中的微分中值定理對復(fù)指數(shù)函數(shù)不在成立.事 實 上 ,令 z = 0, z = 2 i, 則 ez2 -ez1 = e2i -e0 = 0.由 于 對 任 意 z C,12(ez ) = ez 0. 因此不存在 , 使得ez2

33、 -ez1 = e (z - z ) = e 2 i. 21因此數(shù)學(xué)分析中的微分中值定理對復(fù)指數(shù)函數(shù)不在成立.2 三角函數(shù)根據(jù) Euler 公式, 對任意實數(shù) x, 有兩式相加或相減得到，ei x + e-i xei x -e-i xcos x =, sin x =.(2.3.1)22i 因此, 對任意復(fù)數(shù) z C, 定義余弦函數(shù)和正弦函數(shù)如下:ei z + e-i zei z -e-i zcos z =sin z =,.22 i復(fù)三角函數(shù)有如下的基本性質(zhì):(1） sin z 和cos z 都是單值函數(shù), 并且當(dāng) z x 是實數(shù)時， sin z = sin x ， cos z = cos x.

34、這說明復(fù)三角函數(shù)cos z 和sin z 是實三角函數(shù)cos x 和sin x 在復(fù)平面上的推廣.(2） sin z 和cos z 整個復(fù)平面上，并且(sin z) = cos z, (cos z) = -sin z.事實上，利用復(fù)函數(shù)的求導(dǎo)法則,有ei z -e-i z iei z +ie-i zei z + e-i z(sin z) = = cos z.2i 2i 2ei z + e-i z iei z -ie-i zei z -e-i z(cos z) = =- = -sin z.222 i(3） sin z 是奇函數(shù)， cos z 是偶函數(shù).事實上,ei(-z ) -e-i(-z )e

35、i z -e-i zsin(-z) = -= -sin z.2i 2i 類似地可知cos z 是偶函數(shù).(4) sin z 和cos z 都是以2 為周期的周期函數(shù).事實上，由于ez 以2 i 為周期，所以20ei( z+2 ) -e-i( z+2 )ei z -e-i zsin(z + 2 ) =類似地可知cos z 以2 為周期.= sin z.2i 2i (5) 復(fù)三角函數(shù)滿足通常的三角恒等式. 例如sin2 z + cos2 z = 1,sin 2z = 2 sin z cos z. sin(z1 z2 ) = sin z1 cos z2 cos z1 sin z2 . cos(z1

36、z2 ) = cos z1 cos z2 sin z1 sin z2 .事實上，ei z1 + e-i z1 ei z2 -e-i z21e .i( z +z )i( z -z )i( z -z )-i( z +z )cos z1 sin z2 =-e+ e-e1 21 22 11 24i 22 iei z1 -e-i z1 ei z2 + e-i z21e .sin z1 cos z2 =兩式相加得到=i( z +z )i( z -z )+ e-ei( z -z )-i( z +z )-e1 21 22 11 24i 2i 21ei( z +z )-i( z +z )sin z1 cos z

37、2 + cos z1 sin z2 =類似地可以證明其他恒等式.-e= sin(z + z ).1 21 22i 12(6) sin z 的零點為 z = k (k Z), cos z 的零點為 z =+ k (k Z).2= 0 得到e -e= 0, 即e2i z = 1 = e0. 由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)ei z -e-i z事實上, 由sin z =i z-i z2i 得到2iz = 0 + 2k i (k Z). 因此 z = k (k Z). sin z 的零點為 z = k (k Z).類似地知道cos z 的零點為 z =+ k (k Z).2 1 ， cos z 1一般不成立.(7)

38、 sin z 和cos z 在復(fù)平面上，從而 sin z事實上，取 z = iy ( y 0), 則當(dāng) y +時,ey + e- ye ycos(iy) = +.22e- y -eyey -e- ysin iy= +.2i 2sin z 和cos z 在復(fù)平面上.利用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)可以定義其他復(fù)三角函數(shù)如下:tan z = sin z , cot z = cos z , sec z =11, csc z =.cos zsin zcos zsin z這四個函數(shù)在復(fù)平面上除去分母為零的點外, 處處補充例 3求sin(1+ i) 的值解 由正弦函數(shù)的定義, 有.ei(1+i) -e-i(1+i)

39、e-1+i -e1-isin(1+ i) =2i 2i 21e-1(cos1+isin1) -e(cos1-isin1)=2i e + e-1e-e-1=sin1+icos1.222.3.2初等多值函數(shù)1 輻角函數(shù)知道輻角函數(shù)Arg z 是一個多值函數(shù), 其定義域是C -0. 由于初等多值函數(shù)的多值性通常是由于輻角函數(shù)的多值性引起的, 因此先研究輻角函數(shù).要在某些區(qū)域內(nèi)把輻角函數(shù)Arg z 分解成一些單值連續(xù)函數(shù). 每一個這為了研究方便,樣的單值連續(xù)函數(shù)稱為Arg z 在該區(qū)域內(nèi)的一個單值連續(xù)分支.例如, 設(shè) D 是復(fù)平面去掉負(fù)實軸(包括原點 z = 0 )后得到的區(qū)域, 即D = z C :

40、- arg z .若用arg z 表示Arg z 滿足- arg z 的一個值, 則Arg z 的無窮多個值可以表示為Arg z = arg z + 2k ,k Z.根據(jù)2.1 例 8, arg z 在區(qū)域 D 內(nèi)連續(xù). 因此, 對每個 k Z, 若令fk (z) = arg z + 2k ,z D.則每個 fk (z) 都在區(qū)域 D 內(nèi)連續(xù). 因此每個 fk (z) 都是Arg z 在區(qū)域 D 內(nèi)的單值連續(xù)分支. 這樣,在區(qū)域 D 內(nèi), 把多值函數(shù)Arg z 分解為無窮個單值連續(xù)分支.為了在更一般的區(qū)域內(nèi)把輻角函數(shù)分解成一些單值連續(xù)函數(shù),律, 以及如何確定輻角函數(shù)的單值連續(xù)分支.需要輻角的變

41、化規(guī)以下 有時用 arg z 表示 Arg z 的一個給定的值, 此時 arg z 不一定是 Arg z 的主值.arg z 是表示Arg z 的一個給定的值還是Arg z 的主值, 應(yīng)該根據(jù)具體情況確定.設(shè) L 是一條不過原點的簡單曲線, z0 是 L 的起點, z1 是 L 的終點. 在 z0 取定Arg z 的一個值, 記為arg z0 (稱為 Arg z 在 z0 的初值). 當(dāng) z 從 z0 出發(fā)沿曲線 L 連續(xù)移動到 z1 時, Arg z 的值從arg z0 連續(xù)變化到一個確定的值, 記為arg z1 (稱為Arg z 在 z1 的終值). 令L Arg z = arg z1 -

42、arg z0.稱L Arg z 為Arg z 在 L 上的改變量. (圖 2-3).yz1 Lz0L Arg zxO圖 2-3顯然L Arg z 就是當(dāng) z 從 z0 沿曲線 L 移動到 z1 時, 射線 Oz 所旋轉(zhuǎn)的角度.L Arg z 與初值的選取無關(guān).可以證明輻角的改變量L Arg z 具有如下性質(zhì):由此可見,22若 L 是不過原點的一條簡單封閉曲線, 則(補充圖 1). 0,當(dāng)L 不圍繞原點0,當(dāng)L 逆時針方向繞原點0 一周,當(dāng)L 順時針方向繞原點0 一周.y , Arg z =2L-2 ,yyLLLxxOOxO補充圖 1因此, 一般情況下, 即使曲線的起點和終點相同, 若曲線的路徑

43、不同,其輻角改變量也可能不同. 它們要相差 2 的一個整數(shù)倍. 那么, 在什么情況下, 輻角改變量僅與曲線的起點和終點有關(guān), 而與曲線的路徑無關(guān)呢?類似于數(shù)學(xué)分析中關(guān)于曲線積分與積分路徑無關(guān)的等價條件的證明, 容易證明:設(shè) D 是一區(qū)域. 則以下兩項是等價的:對于 D 內(nèi)的任一簡單曲線 L, L Arg z 僅與曲線的起點和終點有關(guān), 而與曲線的路徑無關(guān). (此時稱輻角改變量在 D 內(nèi)與曲線路徑無關(guān)).對于 D 內(nèi)的任一簡單封閉曲線 L, 都有L Arg z = 0.現(xiàn)在設(shè) D 是一個區(qū)域, 使得 D 內(nèi)的任一簡單封閉曲線都不圍繞0. 則對于 D 內(nèi)的任一簡單封閉曲線 L, 都有L Arg z

44、 = 0. 因此對于 D 內(nèi)的任一簡單曲線 L, L Arg z 僅與曲線的起點和終點有關(guān), 而與曲線的路徑無關(guān). 取定 z0 D 和Arg z 在 z0 的初值arg z0 . 令f (z) = arg z0 + L Arg z (z D),(2.3.2)其中 L 是 D 內(nèi)的以 z0 為起點, 以 z1 為終點的簡單曲線. 由于L Arg z 與曲線的路徑無關(guān), 因此 f (z) 的值是確定的. 這樣確定的 f (z) 是一單值連續(xù)函數(shù), 稱之為Arg z 在 D 內(nèi)的一個單值連續(xù)分枝. 稱 D 為Arg z 的一個可單值分枝區(qū)域.例如, 設(shè) D 是復(fù)平面去掉負(fù)實軸(包括原點0 )后得到的

45、區(qū)域(補充圖 2-a). 顯然 D 內(nèi)的任一yyz.L Arg zz.L Arg zLL.z0z0OxOOxab補充圖 223簡單封閉曲線都不圍繞0, 因此 D 是 Arg z 的一個可單值分枝區(qū)域. 取定 z0 是正實軸上的任意一點, 并且取定初值 arg z0 = 0. 設(shè) Arg z 在 D 內(nèi)的相應(yīng)的單值連續(xù)分枝為 f (z). 由于對任意 z D, L Arg z = arg z -arg z0 = arg z. 因此f (z) = arg z0 + L Arg z = 0 + arg z = arg z,其中- arg z .這說明 f (z) 就是Arg z 的主值arg z.

46、一般地, 若取定初值arg z0 = 2k(k Z), 則相應(yīng)地得到Arg z 在 D 內(nèi)的單值連續(xù)分枝:fk (z) = arg z + 2k ,- arg z .(2.3.3)上述區(qū)域 D 可以看成是將復(fù)平面C 沿負(fù)實軸(包括原點0 )“剪”開得到的區(qū)域. 負(fù)實軸稱為割線. 將這條割線看成有上沿和下沿, 它們 區(qū)域 D 的邊界. Arg z 在 D 內(nèi)的每個單值連續(xù)分枝都可以延拓到負(fù)實軸的上沿和下沿上去, 成為 D 內(nèi)及其邊界上的連續(xù)函數(shù). Arg z 在 D 內(nèi)的每個單值連續(xù)分枝, 也可以由負(fù)實軸的上沿和下沿上的某一點的取值確定.若 D 是將復(fù)平面沿正實軸剪開得到的區(qū)域(補充圖 2-b)

47、, 則 D 是Arg z 的一個可單值分枝區(qū)域. 取定 z0 是正實軸的上沿的任意一點, 并且取定初值 arg z0 = 2k(k Z). 則相應(yīng)地得到Arg z 的單值連續(xù)分枝fk (z) = arg z + 2k ,0 arg z 2 .(2.3.4)一般地說, 設(shè) D 是沿任意連接原點0 和的簡單曲線(即從原點出發(fā), 通向無窮遠(yuǎn)的曲線)割開復(fù)平面C 后得到的區(qū)域. 則在 D 內(nèi)可以Arg z 分解為無窮多個單值連續(xù)分枝.由于對于任意繞原點一周的簡單封閉曲線 L, 有L Arg z 0, 于是當(dāng) z 沿 L 繞原點一周回到出發(fā)點時, Arg z 的值從續(xù)分枝的值連續(xù)變化到另一連續(xù)分枝的值,

48、 因此稱原點0為Arg z 的枝點. 由于繞原點一周的簡單封閉曲線 L 也可以看成是繞點的簡單封閉曲線, 因此也稱點是Arg z 的枝點.Arg(z - a) 的情形 設(shè) a C. 用類似的方法, 可以Arg(z - a) 的情形. 只是將上面的原點0 換為 a.例如, 若 L 是不過點a 的一條簡單封閉曲線, 則 0,當(dāng)L 不圍繞點a,當(dāng)L 逆時針方向繞點a 一周,當(dāng)L 順時針方向繞點a 一周. , Arg (z - a) =2L-2 ,例 1 設(shè) D 是將復(fù)平面C 沿負(fù)實軸剪開得到的區(qū)域. 試確定 Arg z 在 D 內(nèi)的一個單值連續(xù)分枝 fk (z), 分別使得(1) fk (1) =

49、0.(2) fk (z) 在負(fù)實軸的上沿取值3 ,并且求 fk (i) 的值.fk (z) 在 D 內(nèi)的 的 表達式 為 fk (z) = arg z + 2k ,解 (1) 根據(jù) (2.3.3) 式 ,其中 - arg z .現(xiàn)在確定 k 的值. 由于 0 = fk (1) = arg1+ 2k = 0 + 2k , 所以 k = 0. 于是所求的單值連續(xù)分枝為 f0 (z) = arg z, 其中- arg z .(2)f (z) 可以連續(xù)的延拓到負(fù)實軸的上沿和下沿. 在負(fù)實軸的上沿取一點 z = -1, 則arg (-1) = . 由于3 = fk (-1) = arg (-1) + 2

50、k = + 2k ,24所以 k = 1. 于是所求的單值連續(xù)分枝為 f1(z) = arg z + 2 , 其中- arg z .9由于arg i=, 因此 f (i) = arg i + 2 =+ 2 =.2122例 2 設(shè) D 是將復(fù)平面C 沿正虛軸剪開得到的區(qū)域. 試確定Arg z 在 D 內(nèi)的一個單值連續(xù)分枝 fk (z), 使得 fk (1) = 2 , 并且求 fk (-1) 的值.解 Arg z 在 D 內(nèi)的無限個單值連續(xù)分枝的表達式為fk (z) = arg z + 2k ,k Z,其中- 3 arg z .由于arg1 = 0,2 = f (1) = arg1+ 2k =

51、0 + 2k , 故 k = 1. 于k223是所求的分枝為 f1 (z) = arg z + 2 , 其中- arg z 2 .2由于arg (-1) = - , 因此 f1(-1) = arg (-1) + 2 = - + 2 = .Riemann 曲面* (補充) 下面構(gòu)造一個特殊的曲面, 使得輻角函數(shù)Arg z 在這個曲面上成為一個單值函數(shù). 設(shè) D 是把復(fù)平面C 沿正實軸剖開得到的區(qū)域. 將割線(即正實軸)的上、下沿D = D l上 l下.設(shè) D 是 D 的一個分別記為l上 和l品, f (z) 是Arg z 在 D 上的000一個單值連續(xù)分枝, 使得0 f0 (z) 2 .f0 (

52、z) 在割線的上沿和下沿分別取值0 和2 .D設(shè) D1 是的一個 品,f1 (z) 是 Arg z 在 D1 上的一個單值連續(xù)分枝, 使得 2 f1 (z) 4 . f1 (z) 在割線的上沿和下沿分別取值2 和4 .由于在 D0 的割線的下沿 f0 (z) 的取值和 D1 的割線的上沿 f1 (z) 的取值都是2 , 設(shè)想將 D1與 D0 疊合在一起, 將 D1 放在 D0 的上層. 將 D0 的割線的下沿與 D1 的割線的上沿粘在一起, 得到一個復(fù)疊區(qū)域, 記為 S (補充圖 3-a). 這樣在 D0 上的單值分枝 f0 (z) 和 D1 上的單值分枝 f1 (z)就可以合并為 S 上的一

53、個單值連續(xù)分枝, 記為 f (z), 滿足0 f (z) 4 (z S ).這個過程可以繼續(xù)進行下去. 一般地, 設(shè) Dk (k = 0, 1, 2 ) 是 D 的Arg z 在 Dk 上的單值分枝, 使得2k fk (z) 2k + 2 ,k Z.將 Dk 的割線的下沿與 Dk +1 的割線的上沿粘在一起, 得到一個由無限多層復(fù)疊在一起的 “區(qū)域” D. 這樣Arg z 就可以看成 D 上的單值連續(xù)函數(shù)了.品, fk (z) 是用上面的方法構(gòu)造出來的區(qū)域 D 稱為(Riemann)曲面(補充圖 3-b).SSOOD1D1D0D-1D0D-2ab補充圖 3252 對數(shù)函數(shù)定義 2.3.2設(shè)復(fù)數(shù)

54、 z 0. 若復(fù)數(shù) w 滿足ew = z, 則稱 w 為 z 的對數(shù)，記為Ln z. 稱函數(shù)w = Ln z (z C -0) 為對數(shù)函數(shù).顯然對數(shù)函數(shù) w Ln z 是指數(shù) z = ew 的反函數(shù). 由于指數(shù)函數(shù)ew 是以 2 i 為周期的周期也有ew0 +2k i = z.函數(shù), 對于 z 0, 若 w 滿足 ew0 = z, 則對任意 k Z,因此對數(shù)函數(shù)0w = Ln z 是一個多值函數(shù). 若 w0 是Ln z 的一個值, 則Ln z 的全部值為 w0 + 2k i (k Z).設(shè) w = Ln z. 記 z = rei , w = u +iv.由于 z = ew , 因此 rei=

55、eu+iv = eu eiv .這說明eu = r, v = + 2k .z , v = Arg z.于是 w Ln z 可表示為z +i Arg z,z 0.即 u = ln+ r = ln+w = Ln z = ln+(2.3.5)其中l(wèi)n x (x 0) 表示 x 的通常的實對數(shù).由(2.3.5)式看出, Ln z 的多值性是由 Argz 的多值性引起的. 因此若 D 是 Arg z 的一個可單值分枝區(qū)域, 則 D 也是Ln z 的可單值分枝區(qū)域. 若 fk (z) 是 Arg z 在 D 內(nèi)的一個單值連續(xù)分枝,則 w = ln+z +i f (z) 就是Ln z 在 D 內(nèi)的一個單值連

56、續(xù)分枝.kk例如, 設(shè) D 是以負(fù)實軸為割線割開復(fù)平面得到的區(qū)域. 則 Arg z 在 D 內(nèi)的全部單值連續(xù)分枝為 fk (z) = arg z + 2k (k Z), 其中- arg z , 于是 Ln z 在 D 內(nèi)的全部單值連續(xù)分枝為:w = ln+z +i arg z + 2k i,k Z,k其中- arg z 0, 則ln z = ln+z +i arg z = ln+ x +i 0 = ln+ x. 因此數(shù)學(xué)分析中的對數(shù)函數(shù)就是對數(shù)函數(shù)Ln z 當(dāng) z 為正實數(shù)時的主值.(2) 有時用ln z 表示Ln z 的某一個確定的值. 此時ln z 不一定是Ln z 的主值.對數(shù)函數(shù)Ln

57、z 具有如下的性質(zhì):(1) 對數(shù)函數(shù)的代數(shù)性質(zhì):z1Ln (z z ) = Ln z + Ln z ,Ln= Ln z - Ln z .(2.3.6)1 212z212證明上式的第一個等式.有Ln (z z ) = ln+z z +i Arg (z z )1 21 21 2= ln+ ln+zz+i Arg z +i Arg z1212= Ln z1 + Ln z2.注意,雖然(2.3.6)式中的兩個等式在形式上與實對數(shù)的情形類似，但這里應(yīng)理解為集合的等式.例 3試問下面的推理是否正確?Ln z2 = Ln z + Ln z = 2 Ln z.解 最后一步是錯誤的, 應(yīng)該為Ln z + Ln

58、z 2 Ln z. 因此正確的等式為Ln z2 2 Ln z.26(2) 設(shè)G 是沿任意連接0 與的簡單曲線剪開復(fù)平面得到的區(qū)域. 則對數(shù)函數(shù) w Ln z 在G 內(nèi)的每一個單值連續(xù)分枝 f (z) 在G 內(nèi)都是的, 并且f (z) = 1 .z事實上, 設(shè) z G, w = f (z ). 當(dāng) z 屬于 z 的充分小的鄰域時,由于 z = ew0 , z = ew ,00000有f (z)- f (z0 ) = w- w01=.z - zew -ew0ew -ew00 w- w0由于 w = f (z) 的連續(xù)性, 當(dāng) z z0 時, w w0 , 因此f (z)- f (z0 ) = li

59、m11ew01 .f (z ) = lim=0z - zew -ew0zzz0ww000 w- w0即 f (z) 在 z0 可微再由 z 的任意性知， f (z) 在區(qū)域Gf (z) 在區(qū)域G 內(nèi)，所以.由于對數(shù)函數(shù)的每個單值連續(xù)分枝都是分枝.例 4計算Ln1 和Ln (-1).解 因為arg1= 0, arg (-1) = , 所以的, 因此對數(shù)函數(shù)的單值連續(xù)分枝也稱為單值Ln1 = ln+ 1+i arg1+ 2k i = 2k i,k Z.+i arg (-1) + 2k i = i + 2k i = (2k +1) i,k Z.Ln (-1) = ln+-1例 5計算Ln (2 -3

60、i) 和主值ln (2 - 3i).3解 因為 2 -3i = 13, arg (2 -3i) = -arctan, 所以22 -3i +i arg (2 -3i) = 1 ln+13-i arctan.3ln (2 -3i) = ln+22Ln (2 -3i) = ln (2 -3i) + 2k i = 1 ln+13-i arctan 3 + 2k i,k Z.223 冪函數(shù)設(shè) x 0, 是實數(shù), 則利用復(fù)指數(shù)函數(shù)定義復(fù)冪函數(shù). 這說明實的冪函數(shù)可以用指數(shù)函數(shù)表示. 因此定義 2.3.3設(shè) 是一復(fù)常數(shù). 對任意復(fù)數(shù) z 0, 定義 z為冪函數(shù).= e Ln z .稱函數(shù) w = z (z