淺談微積分學在中學數(shù)學教學中的應用

1、-. z.- - - z -題 目 淺談微積分學在中學數(shù)學教學中的應用 學生 何凱茜 * 1109014004 所在學院 數(shù)學與計算機科學學院 專業(yè)班級 數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)數(shù)教1101班 指導教師 權雙燕 完成地點 理工學院 2015 年6 月 12 日淺談微積分學在中學數(shù)學教學中的應用：何凱茜理工學院 數(shù)學與計算機科學學院 數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè) 數(shù)教1101班, 723000指導教師：權雙燕摘要微積分學在中學數(shù)學中扮演著非常重要的角色,其理論貫穿初等數(shù)學,并且延伸至高等數(shù)學.在遇到初等數(shù)學難以解決的問題時,微積分會是一件十分稱手的兵刃.本文歸納總結了微積分在函數(shù)極值與最值、函數(shù)單調(diào)性、不等式與

2、恒等式的證明、繪制函數(shù)圖像、求平面圖形的面積以及求切線方程等方面的應用.關鍵詞初等數(shù)學;高等數(shù)學;導數(shù);定積分引言我國從1961年將微積分的初步知識納入我國中學數(shù)學中,微積分是高中數(shù)學課本中新增加的容,也是大學數(shù)學的重要根底課程,容包括導數(shù)和積分兩個重要的概念以及它們的應用.在高中階段開設微積分的根底容,是高中教育與開展的要求1.初等數(shù)學是高等數(shù)學的根底,二者有著本質(zhì)的聯(lián)系,將高等數(shù)學的知識用于解決初等數(shù)學中遇到的問題,不僅可以使學生了解初等數(shù)學與高等數(shù)學的在聯(lián)系,更能加深學生對于系統(tǒng)知識的串聯(lián).一些用初等數(shù)學知識解答起來特別難,特別復雜的題目,應用微積分知識后,大大的簡化了解答問題的步驟,使

3、得學生學習與解題效率大大增加,同時也提高了教師的成就感,使得教師可以更有效的投入到教學工作中.文章將通過具體例題來論述微積分學在高中數(shù)學中的重要作用和應用2.數(shù)學可以更好的幫助人們探求客觀世界的規(guī)律,并對現(xiàn)代社會量紛繁復雜的信息做出恰當?shù)倪x擇與判斷,同時為人們交流信息提供了一種有效、簡潔的手段.數(shù)學作為一種普遍適用的技術,有助于人們收集、整理、描述信息,建立數(shù)學模型,進而解決問題,直接為社會創(chuàng)造價值.3這無論是在根底教育階段還是高等教育階段都是數(shù)學教育目的的所在.1初等數(shù)學與高等數(shù)學的聯(lián)系高等數(shù)學是初等數(shù)學的延伸和開展,而初等數(shù)學卻是高等數(shù)學的根底.從學習之初我們就知道,所有的知識都要從簡到繁

4、,由低級到高級,所以我們應該是先學習和掌握初等數(shù)學,然后才能學習和應用高等數(shù)學.反之,在學習過高等數(shù)學的知識以后,我們再回過頭來,回憶高中階段遇到的對于當時難以解決的問題,就像是站在一處高地上,俯瞰四周廣闊的平原一般,所有關系,所有性質(zhì),盡收眼底.例如在中學數(shù)學中恒等式的證明以及恒等變形過程十分繁雜,一不留神就會出錯.如果題目再復雜一些,就更困難.使用微積分的知識,可以防止繁雜的工作.微積分可以為初等數(shù)學中常用的數(shù)學方法提供理論依據(jù)4-5.再例如在初等數(shù)學中,我們經(jīng)常用的一些定理、公理在課本里面都沒有給出證明,只用其結論.而這些定理在高等數(shù)學中,利用微積分等知識就可以進展推理了.例如：祖恒定理

5、的證明.祖恒定理：夾在兩個平行的平面之間的兩個幾何體,被平行與這兩個平行平面的任何平面所截,如果截得兩個平面的面積總相等,則這兩個幾何體的體積相等.我們可以用微積分的方法解決那些用其他數(shù)學方法難于處理的許多問題.高中立體幾何中的祖恒定理只是作為公理進展應用,事實上,它無法用高中數(shù)學知識證明,而在高等數(shù)學中,用微積分的理論就可以很容易地給出它的理論證明.本文用微積分知識直接來處理初等數(shù)學中遇到的一些問題,目的是使初等數(shù)學難以解決的問題的步驟更加簡潔3.2導數(shù)在中學數(shù)學解題中的應用導數(shù)概念是微積分的核心概念之一,它有極其豐富的實際背景和廣泛的應用要求學生通過大量實例,經(jīng)歷由平均變化率到瞬時變化率,

6、通過理解導數(shù)概念,體會導數(shù)的思想及其涵;了解導數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性、極值等性質(zhì)中的作用,初步了解定積分的概念,為以后進一步學習微積分打下根底3.微分在中學數(shù)學解題中的應用主要由導數(shù)的應用來表達.2.1用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性中學數(shù)學探討函數(shù)的單調(diào)性時使用的是定義法1：函數(shù),在*區(qū)間取,假設有,則函數(shù)在這一區(qū)間呈單調(diào)遞增;假設有,則函數(shù)在這一區(qū)間呈單調(diào)遞減.雖然定義法簡單易懂,但如果函數(shù)表達式變得復雜一些,該方法就不再適用.此時運用微積分的方法進展判別,只需給求導,然后根據(jù)導函數(shù)值的正負,就可以很直觀的判斷原函數(shù)的單調(diào)性了6.例1 函數(shù),求函數(shù)單調(diào)性.解 函數(shù)的定義域為,對函數(shù)求導令,得舍,.當表

7、1.1 函數(shù)隨增減狀況減極小值增所以函數(shù)在存在最小值,即;當,單調(diào)遞減,其取值圍是;當,單調(diào)遞增,取值圍是.2.2利用導數(shù)求函數(shù)極值、最值一般地,設函數(shù)在及其附近有定義11假設對于附近的點,都有,則是函數(shù)的一個極小值2假設對于附近的點,都有,則是函數(shù)的一個極大值極大值與極小值統(tǒng)稱極值.例2 函數(shù),其中.1假設函數(shù)存在零點,數(shù)的取值圍.2當時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;并確定此時是否存在最小值,如果存在,求出最小值,如果不存在,請說明理由.解1因為函數(shù)存在零點,則有實根,則或者2當時,函數(shù)定義域為由,則或者;由,則或者;表2.1 函數(shù)隨增減狀況增極大值減極小值增所以在,上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.又知當并

8、趨近于時,;并趨近于時,;而,所以存在最小值.2.3導數(shù)在不等式的證明中的應用證明不等式的方法有很多,沒有哪一個是固定解法,常用的方法有恒等變形和數(shù)學歸納法,缺點是這些方法操作復雜,運算量較大.此時選擇運用微積分知識,將不等式問題轉化為函數(shù)問題,套用單調(diào)性和最值進展解答會簡單的多7-8.例3 設是自然對數(shù)的底,是圓周率,求證：.證明 因為函數(shù)單調(diào)遞增,故等價于,即.即,令,則.因此,當時,于是在單調(diào)遞減,從而,即,原命題得證.2.4導數(shù)在組合恒等式中的應用例4證明組合恒等式.證明 顯然恒等式左邊可以寫成,與比照,則現(xiàn)在將二項式定理兩側同乘后再求導數(shù),變形為兩邊再同乘后求導得令,即得在此證明結果

9、中,最后假設對取不同的值,可推得假設干種不同形式的組合數(shù)恒等式.例如,取或,則可分別獲得通過以上例題,可以明顯看到利用導數(shù)證明組合數(shù)恒等式,不僅思路清晰、簡單明了,而且模式比擬固定,易被學生掌握,可使眾多看起來復雜的一些組合數(shù)恒等式的證明問題迎刃而解9-10.2.5求曲線的切線幾何上,切線指的是一條剛好觸碰到曲線上*一點的直線.更準確地說,當切線經(jīng)過曲線上的*點即切點時,切線的方向與曲線上該點的方向是一樣的,此時,切線在切點附近的局部最接近曲線在切點附近的局部無限逼近思想.但是在復雜的曲線中,作圖都是一件困難的事情,單憑定義找出曲線的切線更是難上加難.這個時候微積分就變成了救世主11.例5 求

10、曲線上點處的切線過程.解 首先求出函數(shù)在處的導數(shù),函數(shù)是函數(shù)與的差,由導數(shù)公式表分別得出根據(jù)函數(shù)差的求導法則可得將代入導函數(shù)得,即曲線上點處的切線斜率為4,從而其切線方程為2.6討論數(shù)列最大項 例6 數(shù)列的通項求數(shù)列的最大項.解 作輔助函數(shù),則.令,則;令,則或者.在區(qū)間上是增函數(shù),在區(qū)間上是減函數(shù).因此,當時,函數(shù)取最大值.對,所以數(shù)列的最大項為.2.7利用導數(shù)的物理意義求瞬時速度、加速度、電流強度等高中課本引入導數(shù)時,是以速度變化率和人服用退燒藥后體溫變化為例的.對于導數(shù)的物理意義并有人給予統(tǒng)一的解釋,對于不同的物理量,導數(shù)有不同的物理意義.例如,勻速直線運動路程函數(shù)對時間的導數(shù)就是速度;

11、瞬時速度對時間的導數(shù)就是加速度;通過導體*截面的電量對時間的導數(shù)就是電流強度.下面我們看一個具體的例題. 例7 物體的運動規(guī)律為米,求這個物體在秒時的速度. 解 由導數(shù)的定義有運動物體運動路程對時間的物理意義可知將代入上式,得.3定積分在中學數(shù)學解題中的應用定積分是新課標中新加的容,需要掌握的容如下：1通過求曲邊梯形的面積、變力做功等實例,從問題情境中了解定積分的實際背景;借助幾何直觀體會定積分的根本思想,初步了解定積分的概念,為以后進一步學習微積分打下根底;2通過實例,直觀了解微積分根本定理的含義;3了解微積分的文化價值3定積分在實踐中具有廣泛的應用.所以在學以致用的前提下教學,更能夠激發(fā)學

12、生的學習欲望.3.1利用定積分求曲邊圖形面積初等數(shù)學階段要求計算的曲邊圖形面積一般都是由兩條或三條函數(shù)圖像構成的,之前所學習的函數(shù)的解法放在這里根本起不到什么作用,所以在計算時我們可以運用定積分的方法來進展運算.其根本理論如下12：1如果函數(shù)和在上可積,并且滿足則介于直線和曲線之間的圖形面積可以表示為定積分：2如果函數(shù)和在上可積,并且滿足則介于直線和曲線之間的圖形面積可以表示為定積分：3正確寫出曲邊圖形所對應的正確積分表達式是重難點,因為積分值可正可負,但是圖形面積卻一定是正值.因此,一定要遵守一條重要理論,就是一邊恒在一邊上,要么是作積分變量,要么是作積分變量.即：當作為積分變量時,當作為積

13、分變量時,具體步驟：第一步,畫出圖形;第二步,確定曲邊圖形圍,通過解方程組求出交點橫坐標,定出積分上、下極限;第三步,確定被積函數(shù),特別要注意區(qū)別被積函數(shù)的上、下位置,牢記一邊恒在一邊上;第四步,寫出曲邊圖形面積的積分表達式;第五步,運用積分根本公式來計算定積分,求出曲邊圖形的面積例8 求拋物線與直線所圍成圖形的面積.解 第一步：畫圖,如圖3.1圖3.1 兩函數(shù)相交所構成的圖像第二步：求交點：將與聯(lián)立,解得交點為第三步：寫積分：由圖像可知,假設以作為積分變量,則在整個積分區(qū)間上曲邊圖形各邊不是都滿足一邊恒在一邊上.因此,選取以作為積分變量,在上,恒有,則直線與曲線所圍成的圖形如圖面積：第四步：

14、算面積：直線與曲線所圍成曲邊圖形的面積如上圖所示：另解：假設以作為積分變量,在整個積分區(qū)間上雖然圖形的邊不都滿足一邊恒在一邊上,但是,結合圖像,我們可以對以作為積分變量的積分區(qū)間進展拆分：和,則有：在上,恒有,則直線與曲線所圍成的曲邊圖形面積：在上,恒有,則直線與曲線、所圍成的曲邊圖形面積：因此得曲邊圖形面積：根據(jù)根本理論,為了滿足不等關系一邊恒在一邊上,適中選取積分變量,會使得計算變的簡潔;不過拆分區(qū)間,然后分塊檢驗一邊恒在一邊上,分區(qū)間求解也是行的通的4-6.3.2定積分在不等式證明中的應用例9假設,求證：證明 不等式鏈的左邊是通項為的數(shù)列的前項之和,右邊通項為的數(shù)列的前項之和,中間的可當

15、作是*數(shù)列的前項的和.故只要證當時這三個數(shù)列的通項不等式成立即可.構造函數(shù)因為,作的圖像圖3.2,由圖知圖3.2 函數(shù)圖像在區(qū)間上曲邊梯形的面積大小在以區(qū)間長度1為一邊長,以左右端點對應的函數(shù)值為另一邊長的兩個矩形面積之間,即而,故不等式成立,從而所證不等式成立.3.3定積分在因式分解中的應用定積分在因式分解中的步驟為：第一步,構造函數(shù).一般講被分解因式中的*一個字母看作變量,其它字母看作常量;第二步,根據(jù)構造的函數(shù)進展求導,確定導函數(shù)與原函數(shù)存在公因式;第三步,將構造函數(shù)寫成定積分的方式求解13.例10 分解因式：解 將作為變量,作為常量,構造函數(shù),得,對求導,有當時,與有公因式.故可以利用

16、定積分進展因式分解：即：4微積分在函數(shù)作圖中的應用中學課本中介紹繪制函數(shù)圖像時大多采用的是描點作圖的方法,但是描點法作圖時存在很多缺乏之處.譬如描點數(shù)量少會導致函數(shù)圖像走勢不準確,對于關鍵點的判斷也不準確.學習了導數(shù)及其應用后,作圖時能夠精準地表達出圖像的極值點和增減性,使得函數(shù)圖像更準確14.例11 函數(shù)的圖像正確形狀是圖4.1,用描點法作圖得到的是圖4.2這樣的錯誤圖像. 圖4.1 正確圖像圖4.2錯誤圖像5 小結通過總結了微積分在中學數(shù)學中的這些應用,可以看出如果用初等數(shù)學的知識解決*些特殊問題的話,不免會繁瑣無比,但只要巧妙得把高等數(shù)學中的思想和方法應用到初等數(shù)學中就會產(chǎn)生奇妙的結果,

17、一些題目的本來繁雜的思考計算步驟就可以省略掉,變得既簡單又明了. 數(shù)學是一門學問,其中高等數(shù)學與初等數(shù)學有著千絲萬縷的聯(lián)系,微積分則扮演著重要的角色,它不但能解決初等數(shù)學中的諸多問題,而且成為高等數(shù)學開展的根底.用微積分的知識解決初等數(shù)學中的問題,有居高臨下的作用.微積分在初等數(shù)學中的應用遠不止這些,在其他方面也有廣泛的應用.微積分的理論是研究高等數(shù)學與中學數(shù)學關系時不可或缺的局部,它對中學數(shù)學有重要的指導作用.參考文獻1士鍵，王尚志,普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學選修2-2M.人民教育課程教材研究所.：師大學.2009.2霞,微積分與中學數(shù)學的關聯(lián)M.師大學教育碩士專業(yè)學位論文.2012.0

18、3.3高中數(shù)學課程標準J.2000.6:前言4黨光,對高中數(shù)學微積分的理解及教學建議J.教學實踐.2012.2(4):71-725王金梅,數(shù)學史在高中數(shù)學教學中的應用研究M.大學碩士學位論文.2011.6蔚,舒江,淺談微積分在中學數(shù)學解題中的應用J.數(shù)理化教學研究.2007.5(3)：647王茜,微積分在高考數(shù)學試題中的應用J.中學數(shù)學.2013.3(6):11-128匡繼昌,如何給中學生教授微積分J.數(shù)學通報.2006.5(2):3-59俞,高中新課標函數(shù)與微積分有關容的處理研究課程教材、教法J.課程教材教法,2010.1(30):60-62.10郭延慶,微積分在中學數(shù)學中的指導作用J.*教

19、育學院學報.1989.1(8):89-91.11于素潔,高中微積分教學研究J.2008:16-22.12陸群峰,導數(shù)在中學數(shù)學中的應用J.學科教學.2008.3(1):10213White, P&Mitchelmore, M.1996, Conceptual knowledge introductory calculus. Journal for Reseacrh in Mathmatics Education,2001.2(27):79-95.14Boarn, E&Avital, S 1986. Rate of change over interval as a ProPerty of functions an algebraic and numerical approach. International Jounral of Mathmatics education in Science&Technology,1993. 17 (1):71-77.Introductiontotheapplicationofthecalculus in mathematics teaching of middle sc