2.傳感與檢測(cè)技術(shù)

1、第2章 測(cè)量誤差及其分析 2.1 測(cè)量誤差的基本概念 2.2 測(cè)量誤差的分類 2.3 系統(tǒng)誤差 2.4 隨機(jī)誤差 2.5 粗差的判別與剔除 2.6 測(cè)量數(shù)據(jù)處理 2.1 測(cè)量誤差的基本概念 誤差存在于一切測(cè)量中，而且貫穿測(cè)量過程的始終。因此，只有通過正確的誤差分析，知道測(cè)量中哪些量對(duì)測(cè)量結(jié)果影響大，那些量對(duì)測(cè)量結(jié)果影響小，從而努力測(cè)準(zhǔn)那些對(duì)結(jié)果影響大的關(guān)鍵量，而不必花大功夫在那些不太準(zhǔn)而且對(duì)結(jié)果影響很小的量上。 測(cè)量誤差按其表示方式可分為絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差。 任何測(cè)量過程都存在誤差，即測(cè)量誤差。所以在使用儀表測(cè)量工藝參數(shù)時(shí)，不僅需要知道儀表的指示值，還需要了解測(cè)量值的誤差范圍由于所選用的儀表精

2、確度的限制、實(shí)驗(yàn)手段的不完善、環(huán)境中各種干擾的存在以及檢測(cè)技術(shù)水平有限，在檢測(cè)過程中儀表測(cè)量值與真實(shí)值之間總會(huì)存在一定的差值,這個(gè)差值就是誤差在實(shí)際應(yīng)用中，被測(cè)量的真值是無法真正得到的。因此，在一臺(tái)儀表的量程范圍內(nèi)，各點(diǎn)讀數(shù)的絕對(duì)誤差是指用標(biāo)準(zhǔn)儀表（精度較高）和該表對(duì)同一被測(cè)量測(cè)量時(shí)得到的那個(gè)讀數(shù)的差值。被測(cè)量真值A(chǔ)用標(biāo)準(zhǔn)儀表的讀數(shù)來替代。 絕對(duì)誤差不能確切地反映測(cè)量結(jié)果的準(zhǔn)確程度，為此實(shí)際測(cè)量中引入相對(duì)誤差。雖然絕對(duì)誤差一般只適用于標(biāo)準(zhǔn)器具的標(biāo)準(zhǔn)，但它是相對(duì)誤差表述的基礎(chǔ)。 絕對(duì)誤差是指測(cè)量值與被測(cè)量真值之間的差值，即絕對(duì)誤差測(cè)量值，被測(cè)量的真值。1.絕對(duì)誤差2）示值相對(duì)誤差 示值相對(duì)誤差是

3、用絕對(duì)誤差x與被測(cè)量的示值x的百分比值表示的相對(duì)誤差。即 2.相對(duì)誤差實(shí)際相對(duì)誤差、示值相對(duì)誤差和滿度百分誤差。1) 實(shí)際相對(duì)誤差 實(shí)際相對(duì)誤差是用絕對(duì)誤差x與被測(cè)量的實(shí)際值A(chǔ)的百分比值來表示的相對(duì)誤差。即實(shí)際相對(duì)誤差和示值相對(duì)誤差都是用來衡量測(cè)量值的準(zhǔn)確程度。引用相對(duì)誤差m是用絕對(duì)誤差x與量程范圍的百分比值表示的相對(duì)誤差。即 3）引用相對(duì)誤差在測(cè)量實(shí)踐中，測(cè)量結(jié)果準(zhǔn)確度的評(píng)價(jià)常常使用相對(duì)誤差，方便直觀。相對(duì)誤差愈小，準(zhǔn)確度愈高。2.2 測(cè)量誤差的分類 系統(tǒng)誤差是指測(cè)量?jī)x表本身或其他原因（如零點(diǎn)沒有調(diào)整好、測(cè)量方法不當(dāng)?shù)龋┮鸬挠幸?guī)律的誤差。這種誤差的絕對(duì)值和符號(hào)保持不變，當(dāng)測(cè)量條件改變時(shí)誤差

4、服從某種函數(shù)關(guān)系。系統(tǒng)誤差的來源主要有:由儀表引入的系統(tǒng)誤差、 理論誤差和人為誤差。 在掌握了誤差產(chǎn)生原因之后，系統(tǒng)誤差可以通過對(duì)儀表加以校對(duì)、改變測(cè)量環(huán)境、計(jì)算系統(tǒng)誤差的大小將測(cè)量結(jié)果加修正值（系統(tǒng)誤差的負(fù)值）加以補(bǔ)償。這種補(bǔ)償方法只能減小系統(tǒng)誤差，而不能使系統(tǒng)誤差為零。2.2.1按誤差的性質(zhì)分類按其性質(zhì)的不同還可分為系統(tǒng)誤差、隨機(jī)誤差和粗大誤差1系統(tǒng)誤差隨機(jī)誤差的存在，表現(xiàn)為每次測(cè)量值偏大或偏小是不定的，但它服從一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。測(cè)量結(jié)果與真值偏差大的測(cè)量值出現(xiàn)的幾率較小，偏差小的測(cè)量值出現(xiàn)的幾率大，正方向誤差和負(fù)方向誤差出現(xiàn)的幾率相等。并且絕對(duì)值很大的誤差出現(xiàn)的幾率趨近于零。這就是在實(shí)驗(yàn)中

5、采用多次重復(fù)測(cè)量減小隨機(jī)誤差的依據(jù)。隨機(jī)誤差是由一些實(shí)驗(yàn)中的偶然因素、人的感官靈敏度和儀表的精密度有限性以及周圍環(huán)境的干擾等引起的。用實(shí)驗(yàn)方法完全消除測(cè)量中的偶然誤差是不可能的，但是用概率統(tǒng)計(jì)方法可以減少偶然誤差對(duì)最后結(jié)果的影響，并且可以估計(jì)誤差的大小。 2隨機(jī)誤差 隨機(jī)誤差是指在測(cè)量時(shí)，即使消除了系統(tǒng)誤差，在相同條件下進(jìn)行多次重復(fù)測(cè)量同一待測(cè)量時(shí)，發(fā)現(xiàn)各測(cè)量值之間也有差異，由此而產(chǎn)生的誤差的絕對(duì)值與符號(hào)是不確定的，這種誤差為隨機(jī)誤差，又叫偶然誤差。3粗大誤差 粗大誤差（Thick error）是指由于儀表產(chǎn)生故障、操作者疏忽大意或重大外界干擾而引起的顯著偏離實(shí)際值的誤差。這種誤差對(duì)測(cè)量結(jié)果影

6、響很大，應(yīng)該盡量避免出現(xiàn)；多次測(cè)量中出現(xiàn)的粗大誤差，應(yīng)作為異常值除掉。 由于儀器本身及其附件的電氣、機(jī)械等特性不完善造成的誤差。如內(nèi)部噪聲引起的誤差、刻度不準(zhǔn)或調(diào)節(jié)機(jī)構(gòu)不完善引起的讀數(shù)誤差、元件老化或環(huán)境改變引起的穩(wěn)定性誤差等。在測(cè)量中儀表誤差往往是主要的。2.2.2 按誤差的來源分類按照誤差產(chǎn)生的原因可將誤差分為儀表誤差、環(huán)境誤差、理論誤差與方法誤差以及人為誤差。 由于各種環(huán)境因素與條件不一致所造成的誤差。環(huán)境誤差一般是由環(huán)境的溫度、濕度、電磁場(chǎng)、電源電壓、振動(dòng)等因素造成的。在測(cè)量時(shí)一般要采取相應(yīng)的抗干擾措施。1.儀表誤差2.環(huán)境誤差人為誤差是由于測(cè)量人員受分辨力、視覺、反應(yīng)速度等生理因素的

7、影響，以及固有習(xí)慣和精神上的因素而產(chǎn)生的一時(shí)疏忽等心理因素的影響而引起的誤差。如操作不當(dāng)、讀數(shù)錯(cuò)誤等。在測(cè)量中，必須對(duì)誤差的來源認(rèn)真分析，并采取相應(yīng)的措施，盡量減少誤差對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響。理論誤差是指由于測(cè)量時(shí)所依據(jù)的理論不嚴(yán)密、使用了不當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化或用近似公式、近似計(jì)算測(cè)量結(jié)果所引起的誤差。方法誤差是由于測(cè)量方法不合理引起的誤差。二者有時(shí)合稱為理論誤差和方法誤差3.理論誤差與方法誤差4.人為誤差 系統(tǒng)誤差是產(chǎn)生測(cè)量誤差的主要原因，消除或減小系統(tǒng)誤差是提高測(cè)量精度的主要途徑。目前，對(duì)系統(tǒng)誤差的研究，雖已引起人們的重視，但它涉及到對(duì)測(cè)量設(shè)備和測(cè)量對(duì)象的全面分析，并和測(cè)量者的測(cè)量知識(shí)、實(shí)際經(jīng)驗(yàn)和測(cè)量技術(shù)

8、的發(fā)展密切相關(guān)。2.3系統(tǒng)誤差 系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的原因十分復(fù)雜，通常單個(gè)因素引起的系統(tǒng)誤差容易發(fā)現(xiàn)和消除，但多個(gè)因素綜合引起的系統(tǒng)誤差往往難以判斷。尤其是隨機(jī)誤差與系統(tǒng)誤差同時(shí)存在的情況下，在測(cè)試過程是否發(fā)生隨機(jī)誤差對(duì)系統(tǒng)誤差的影響，也是很難估計(jì)的。因此研究系統(tǒng)誤差的特征和規(guī)律，采用新的有效的方法去發(fā)現(xiàn)、減少或消除系統(tǒng)誤差，已成為誤差理論的重要課題之一。 實(shí)驗(yàn)對(duì)比法是通過改變產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的條件，在不同的條件下測(cè)量，從而發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差。如當(dāng)一臺(tái)儀表進(jìn)行多次重復(fù)測(cè)量某一被測(cè)量時(shí)，不能有效發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差，可以采用高一級(jí)精度的儀表進(jìn)行同樣的測(cè)量，通過對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差是否存在。2.3.1 系統(tǒng)誤差的判別 為

9、了消除或削弱系統(tǒng)誤差，首先要判斷系統(tǒng)誤差是否存在，然后再設(shè)法消除。在測(cè)量過程中產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的原因很復(fù)雜，發(fā)現(xiàn)和判斷系統(tǒng)誤差的方法也有很多種，但目前還沒有適用于發(fā)現(xiàn)各種系統(tǒng)誤差的普遍方法。1.實(shí)驗(yàn)對(duì)比法圖（a）中殘差大體正負(fù)相同，且無顯著變化規(guī)律，因此不存在系統(tǒng)誤差。圖（b）中殘差有規(guī)律的增加或減少，因此可以認(rèn)為存在線性變化的系統(tǒng)誤差。圖（c）中殘差有規(guī)律的由正變負(fù)，又由負(fù)變正，且周期性變化，因此認(rèn)為存在周期性的系統(tǒng)誤差。圖(d)中根據(jù)殘差變化規(guī)律，可以認(rèn)為既存在線性系統(tǒng)誤差，也存在周期性系統(tǒng)誤差。圖2.1 殘差曲線圖2.殘差觀察法當(dāng)測(cè)量次數(shù)較多時(shí)，可采用馬利科夫判據(jù)來判斷是否存在系統(tǒng)誤差。設(shè)對(duì)

10、某一被測(cè)量進(jìn)行n次測(cè)量，依次得到一組測(cè)量值x1,x2，xn，相應(yīng)的殘差為v1,v2，vn。將前面一半以及后一半數(shù)據(jù)的殘差分別求和，然后取其差值。3.馬利科夫判據(jù)當(dāng)M趨近于零時(shí)，則測(cè)量值中不存在系統(tǒng)誤差；當(dāng)M與vi值相當(dāng)或更大，則測(cè)量值中存在系統(tǒng)誤差；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)則不能肯定測(cè)量值中是否存在系統(tǒng)誤差。如果，用來判斷測(cè)量數(shù)據(jù)中是否存在周期性的系統(tǒng)誤差。當(dāng)隨機(jī)誤差很顯著，周期性系統(tǒng)誤差很難從測(cè)量數(shù)據(jù)或殘差的變化規(guī)律中發(fā)現(xiàn)。阿卑赫梅特準(zhǔn)則將殘差按測(cè)量順序排列，并依次兩兩相乘，然后取和的絕對(duì)值，如果 3.阿卑赫梅特準(zhǔn)則則可以判斷測(cè)量數(shù)據(jù)中存在周期性系統(tǒng)誤差。為標(biāo)準(zhǔn)誤差 從產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的來源上消

11、除系統(tǒng)誤差是最基本的方法。這種方法要求實(shí)驗(yàn)人員對(duì)整個(gè)測(cè)量過程有一個(gè)全面仔細(xì)的分析，弄清楚可能產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的各種因素，然后在測(cè)量過程中予以消除。如選擇精度等級(jí)高的儀器設(shè)備來消除儀器的基本誤差；在規(guī)定的工作條件下，使用正確調(diào)零、預(yù)熱來消除儀器設(shè)備的附加誤差；選擇合理的測(cè)量方法，設(shè)計(jì)正確的測(cè)量步驟來消除方法誤差和理論誤差；提高測(cè)量人員的測(cè)量素質(zhì)，改善測(cè)量條件如選擇智能化、數(shù)字化的儀器儀表來消除人為誤差等。 2.3.2 系統(tǒng)誤差的消除1.從系統(tǒng)誤差的來源上消除。 2.引入修正值法 由于系統(tǒng)誤差服從于某一確定的規(guī)律，可引入修正值來減小系統(tǒng)誤差，尤其采用智能儀表或智能測(cè)試系統(tǒng)時(shí)，引入修正值法是很容易實(shí)施的

12、。引入修正值法就是在測(cè)量前或測(cè)量過程中，求取某類系統(tǒng)誤差的修正值，在測(cè)量數(shù)據(jù)處理時(shí)手動(dòng)或自動(dòng)地將測(cè)量值和修正值相加，這樣就可以從測(cè)量數(shù)據(jù)或結(jié)果中消除或減弱該類系統(tǒng)誤差設(shè)系統(tǒng)誤差為C，x為測(cè)量值，則不含該類系統(tǒng)誤差的測(cè)量值A(chǔ)1為修正值可以通過三種途徑求取，即從有關(guān)資料中查取 如從儀器儀表的檢定證書中獲取。通過理論推導(dǎo)求取通過實(shí)驗(yàn)的方法求取對(duì)影響測(cè)量結(jié)果的各種因素如溫度、濕度、電源電壓變化等引起的系統(tǒng)誤差，可通過實(shí)驗(yàn)作出相應(yīng)的修正曲線或表格，供測(cè)量時(shí)使用。對(duì)不斷變化的系統(tǒng)誤差，如儀表的零點(diǎn)誤差、增益誤差等可采用現(xiàn)測(cè)現(xiàn)修正的方法。智能儀表中采用的三步測(cè)量、實(shí)時(shí)校準(zhǔn)就是采用這種方法。圖2.2 線性系統(tǒng)

13、誤差3對(duì)稱法圖2.2為某線性系統(tǒng)誤差，若選定某一時(shí)刻（如圖中t3）為中心，則對(duì)應(yīng)此中點(diǎn)的兩對(duì)稱時(shí)刻的系統(tǒng)誤差算術(shù)平均值都相等，即對(duì)稱法是消除測(cè)量結(jié)果隨某影響量線性變化的系統(tǒng)誤差的有效方法。這種方法就是在測(cè)量過程中，合理設(shè)計(jì)測(cè)量步驟以獲取對(duì)稱數(shù)據(jù)，配以相應(yīng)的數(shù)據(jù)處理程序，以得到與該影響無關(guān)的測(cè)量結(jié)果，從而消除系統(tǒng)誤差。利用這一特點(diǎn)，在實(shí)施測(cè)量時(shí)，取各對(duì)稱點(diǎn)兩次測(cè)量值的算術(shù)平均值作為這一時(shí)間段的實(shí)際值，就可消除線性系統(tǒng)誤差。即使是一個(gè)比較復(fù)雜規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差，也可以將其分段作線性系統(tǒng)誤差處理，因而對(duì)稱法是消除系統(tǒng)誤差的有效方法。 在相同的測(cè)量條件下，先將被測(cè)量接入測(cè)量裝置中，調(diào)節(jié)測(cè)量裝置使之處于

14、某一狀態(tài)，然后用與被測(cè)量相同的同類標(biāo)準(zhǔn)量代替被測(cè)量介入測(cè)量裝置中，調(diào)節(jié)標(biāo)準(zhǔn)量，使測(cè)量裝置的指示值與被測(cè)量接入時(shí)相同，此時(shí)標(biāo)準(zhǔn)器具的讀數(shù)就等于被測(cè)量。4.替代法圖2.3 替代測(cè)量法開關(guān)K換接至端點(diǎn)“2”，調(diào)標(biāo)準(zhǔn)器具RN（電位器不變）至使電橋平衡，此時(shí)標(biāo)準(zhǔn)器具讀，首先開關(guān)K接端點(diǎn)“1”，調(diào)電位器至使電橋平衡，即使被測(cè)量;圖2.3 替代測(cè)量法由替代法引起的測(cè)量誤差與檢測(cè)系統(tǒng)電路無關(guān)，僅與標(biāo)準(zhǔn)器具Rw的準(zhǔn)確度有關(guān)。顯然，標(biāo)準(zhǔn)器具準(zhǔn)確度越高，被測(cè)量誤差就越小，從而減小檢測(cè)系統(tǒng)引起的系統(tǒng)誤差。即Rx=RN。 半周期法主要是用來消除周期性系統(tǒng)誤差的。在測(cè)量中，每隔半個(gè)周期進(jìn)行一次測(cè)量，取兩次讀數(shù)的平均值作為

15、測(cè)量值，便可以消除周期性系統(tǒng)誤差。這是由于如果誤差是周期性變化的，經(jīng)過半個(gè)周期后，誤差符號(hào)會(huì)改變，取兩次測(cè)量值求平均便可消除周期性誤差。 5.半周期法 隨機(jī)誤差是由一些未知的偶爾因素影響造成的，如電磁場(chǎng)的干擾、空氣的擾動(dòng)或濕度的變化、零部件的摩損或老化等，因而單次測(cè)量出現(xiàn)的隨機(jī)誤差是不確定或沒有規(guī)律的，但在相同條件下重復(fù)測(cè)量某一被測(cè)量時(shí)，大量的測(cè)量數(shù)據(jù)所得到的隨機(jī)誤差分布是服從大數(shù)統(tǒng)計(jì)規(guī)律的。2.4 隨機(jī)誤差大量的實(shí)際測(cè)量統(tǒng)計(jì)表明，隨機(jī)誤差具有如下四條特征： (1)對(duì)稱性 絕對(duì)值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的概率相同。即當(dāng)重復(fù)測(cè)量次數(shù)n相當(dāng)大時(shí)，絕對(duì)值相等符號(hào)相反的隨機(jī)誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)相同。 (2)有界

16、性 絕對(duì)值很大的誤差幾乎不出現(xiàn)。即在一定的檢測(cè)條件下，隨機(jī)誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過某一界限。 (3)單峰性 絕對(duì)值小的誤差出現(xiàn)的概率大于絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)的概率。即絕對(duì)值小的誤差出現(xiàn)的次數(shù)多，絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)的次數(shù)少。 (4)抵償性 隨著測(cè)量次數(shù)n的增加，隨機(jī)誤差i的代數(shù)和超于零。或者說正、負(fù)隨機(jī)誤差相互抵消。2.4.1 隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)特性 就單次測(cè)量而言，隨機(jī)誤差無規(guī)律可循，其大小和方向也不可預(yù)知。但當(dāng)測(cè)量次數(shù)足夠大時(shí)，隨即誤差的總體服從統(tǒng)計(jì)規(guī)律。隨機(jī)誤差的概率分布有多種類型，在計(jì)量和測(cè)量過程中經(jīng)常遇到的分布是正態(tài)分布、均勻分布和、t分布。隨機(jī)誤差是隨機(jī)變量，由大量的、相互獨(dú)立的、微弱的因素組

17、成的。在大多數(shù)情況下，隨機(jī)誤差的概率都服從或接近正態(tài)分布。在根據(jù)隨機(jī)誤差的這些特征，早在1809年高斯（ C. F. Gauss）就以統(tǒng)計(jì)學(xué)的理論推導(dǎo)出它的數(shù)學(xué)表達(dá)式。即2.4.2 隨機(jī)誤差的概率分布1 正態(tài)分布為隨機(jī)誤差；為方均根誤差，亦稱標(biāo)準(zhǔn)誤差。隨機(jī)誤差正態(tài)分布曲線，方均根誤差越小，正態(tài)分布曲線越陡，即誤差的概率密度越大；相對(duì)于誤差而言，小誤差出現(xiàn)的概率也越大，測(cè)量值越集中，其精密度越高。圖2.4隨機(jī)誤差正態(tài)分布曲線-a 0 a（）1/2a圖2.5 均勻分布的隨機(jī)誤差其概率分布密度曲線 均勻分布是一種常見的誤差分布，如儀表盤刻度差所引起的誤差，儀器最小分辨率限制引起的誤差，數(shù)字儀表的量化

18、誤差，數(shù)字計(jì)算中的舍入誤差等都屬于均勻誤差分布的范疇。此外，對(duì)于一些只知道誤差出現(xiàn)的大致范圍，而不知其分布規(guī)律的誤差，在處理時(shí)經(jīng)常按均勻分布的誤差對(duì)待。2 均勻分布均勻分布的概率密度函數(shù)a為隨機(jī)誤差的極限值3 t分布 t分布是英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家W.S.Gosset從實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)的，并以筆名“學(xué)生”發(fā)表，所以又稱學(xué)生分布。t分布的概率密度函數(shù)為t分布的概率分布密度曲線和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的圖形相似，其特點(diǎn)是分布與標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值無關(guān)，但與自由度（n-1）有關(guān)，當(dāng)n 較大時(shí)（n30），t分布與正態(tài)分布的差異就很小，當(dāng)n時(shí)，二者完全相同。正態(tài)分布理論只適合于大樣本的測(cè)量數(shù)據(jù)，而對(duì)于小樣本的測(cè)量數(shù)據(jù)必須采用t分布理論

19、來處理。因此，t分布是處理小樣本的重要理論基礎(chǔ)。 2.4.3 隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)特征參數(shù)1數(shù)學(xué)期望 對(duì)一個(gè)被測(cè)量在等精度情況下進(jìn)行多次重復(fù)獨(dú)立測(cè)量，如果已知消除了系統(tǒng)誤差，則所測(cè)得的一組測(cè)量數(shù)據(jù)是一個(gè)隨機(jī)變量x,其數(shù)學(xué)期望為又根據(jù)隨機(jī)誤差的抵償特性，隨機(jī)誤差的數(shù)學(xué)期望為零，則在等精度重復(fù)測(cè)量中，當(dāng)測(cè)量次數(shù)為無窮大時(shí)，測(cè)量數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)期望就是被測(cè)量的真值。 但在實(shí)際測(cè)量中，測(cè)量次數(shù)為無窮大這個(gè)條件不可能滿足，為了評(píng)價(jià)測(cè)量的準(zhǔn)確度高低，必須根據(jù)有限的測(cè)量數(shù)據(jù)計(jì)算數(shù)學(xué)期望的估計(jì)值或近似值。算術(shù)平均值是被測(cè)量數(shù)學(xué)期望的最佳估計(jì)值。 算術(shù)平均值的數(shù)學(xué)表達(dá)式為標(biāo)準(zhǔn)差是測(cè)量數(shù)據(jù)離散程度的表征，值愈小，測(cè)量數(shù)據(jù)愈集

20、中，概率密度曲線愈陡峭；反之愈大，測(cè)量數(shù)據(jù)愈分散，概率密度曲線愈分散。也就是說，在一定的置信概率下，所對(duì)應(yīng)的誤差極限范圍愈小，則測(cè)量數(shù)據(jù)的可靠性就愈大。 2 方差和標(biāo)準(zhǔn)差服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，其方差的定義為方差的量綱是測(cè)量數(shù)據(jù)量綱的平方，所以在測(cè)量結(jié)果的表示中不很方便，因而經(jīng)常使用標(biāo)準(zhǔn)偏差，簡(jiǎn)稱標(biāo)準(zhǔn)差。即根據(jù)隨機(jī)變量的概率統(tǒng)計(jì)特性，可以證明當(dāng)測(cè)量次數(shù)n趨于無窮大時(shí)，其算術(shù)平均值就等于該隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的真值。但任何測(cè)量都只能是有限測(cè)量，此時(shí)算術(shù)平均值仍然接近真值，可以用來代替本次被測(cè)量的真值A(chǔ)0；相應(yīng)地，可以用剩余誤差代替測(cè)量值與被測(cè)量真值之差.貝塞爾（Bessel）公式 置信度時(shí)表征測(cè)量數(shù)

21、據(jù)或測(cè)量結(jié)果可信賴程度的一個(gè)參數(shù)，可用置信區(qū)間和置信概率來表示。置信區(qū)間是一個(gè)給定的數(shù)據(jù)空間，通常用x-k,x+k來表示,k為整數(shù)，稱之為置信因子。置信概率就是指在置信區(qū)間下的概率，即在同一分布下，置信區(qū)間愈大，置信概率就愈大。在不同分布下，當(dāng)置信區(qū)間確定時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)差愈小，置信因子和相應(yīng)的置信概率就愈大，測(cè)量數(shù)據(jù)的可信度就愈高。當(dāng)置信概率給定時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)差愈小，置信區(qū)間愈窄，測(cè)量數(shù)據(jù)的可靠度就愈高。2.4.4 測(cè)量結(jié)果的置信度1.正態(tài)分布下置信因子與置信概率的關(guān)系假設(shè)測(cè)量數(shù)據(jù)在從正態(tài)分布下，其概率密度函數(shù)為，隨機(jī)誤差的絕對(duì)值大于3的概率只有0.0027，幾乎為零?？梢越普J(rèn)為隨機(jī)誤差的絕對(duì)值大于3屬

22、于不可能發(fā)生的隨機(jī)事件。通常以3作為正態(tài)分布下測(cè)量數(shù)據(jù)的極限誤差，并以此來判斷隨即誤差中是否含有粗大誤差。 對(duì)應(yīng)區(qū)間x-k,x+k的置信概率為68.3%95.55%99.72. t分布下置信因子與置信概率的關(guān)系在有限次測(cè)量中，測(cè)量數(shù)據(jù)服從t分布。t分布下給定區(qū)間的概率為 Kt:t分布的置信因子。 概率為1，即全概率，也就是說均勻分布得測(cè)量數(shù)據(jù)得誤差不可能超過a，所以a為極限誤差。在實(shí)際應(yīng)用中，通常取 給定區(qū)間在測(cè)量數(shù)據(jù)在均勻分布，時(shí)(3)均勻分布時(shí)置信度的確定在進(jìn)行測(cè)量數(shù)據(jù)處理時(shí)，若多次測(cè)量結(jié)果中含有粗大誤差，就會(huì)嚴(yán)重地影響和歪曲對(duì)測(cè)量結(jié)果的正確評(píng)價(jià)。因此在對(duì)測(cè)量結(jié)果進(jìn)行精度分析時(shí)，必須剔除粗

23、大誤差（亦稱壞值），若沒有從測(cè)量數(shù)據(jù)中去掉這些壞值，將會(huì)使測(cè)量結(jié)果的精度分析失去可靠性，嚴(yán)重時(shí)甚至?xí)贸鲥e(cuò)誤的結(jié)論。 25 粗差的判別與剔除設(shè)一組等精度獨(dú)立測(cè)量結(jié)果中，其一測(cè)得值xb所對(duì)應(yīng)的殘差vb大于三倍的標(biāo)準(zhǔn)偏差時(shí)，該測(cè)得值xb可確認(rèn)含有粗大誤差，應(yīng)予以剔除。判別式 1.拉依達(dá)準(zhǔn)則拉依達(dá)準(zhǔn)則是最常用的判別粗大誤差的準(zhǔn)則，亦稱3準(zhǔn)則。 在一組等精等獨(dú)立測(cè)量結(jié)果中，若某一測(cè)得值xb的殘差vb。滿足下式 則認(rèn)為xb為壞值，應(yīng)該剔除。式中g(shù)(n,a)為格羅布斯判別系數(shù)，它與測(cè)量次數(shù)n和置信水平（一般取0.05或0.01）有關(guān)，如表2.3所示2.格羅布斯準(zhǔn)則表2.3格羅布斯判別系數(shù)ng(n,)ng(

24、n,)=0.05=0.01=0.05=0.0131.1531.155172.4752.78541.4631.492182.5042.82151.6721.749192.5322.85461.8221.944202.5572.88471.9382.097212.5802.91282.0322.221222.6032.93992.1102.323232.6242.963102.1762.410242.6442.987112.2342.485252.6633.009122.2852.550302.7453.103132.3312.607352.8110.178142.3712.659402.8663

25、.240152.4092.705452.9143.292162.4432.747502.9563.336例2.1 利用格羅布斯準(zhǔn)則判別表判斷表數(shù)據(jù)是否含有粗大誤差。n12345678xi 10.4010.4110.4310.3110.3910.4210.4410.40n9101112131415xi 10.4010.4310.4410.4110.3910.4210.43解：個(gè)數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)偏差相應(yīng)的格羅布斯系數(shù)為g(n=15, =0.05)=2.409可確認(rèn)x4為壞值，應(yīng)予以剔除顯然表中除x4外，剩下的14個(gè)測(cè)得值都不滿足式格羅布斯準(zhǔn)則，故可認(rèn)為這些測(cè)得值不再含有粗大誤差。相對(duì)而言，拉依達(dá)準(zhǔn)則無需

26、查表，使用較方便，但當(dāng)測(cè)量數(shù)據(jù)較少時(shí)，其判別的可靠性不如格羅布斯準(zhǔn)則，其主要原因是格羅布斯準(zhǔn)則引入了格羅布斯判別系數(shù)，該系數(shù)的確定已考慮了測(cè)量次數(shù)n及標(biāo)準(zhǔn)偏差計(jì)算時(shí)帶來的誤差，因而理論上嚴(yán)格，可靠性較高。26 測(cè)量數(shù)據(jù)處理最小二乘法是處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的重要方法。設(shè)對(duì)某被測(cè)變量進(jìn)行了n次重復(fù)測(cè)量，測(cè)量值分別為x1,x2，,xn，則被測(cè)量的最佳估計(jì)值應(yīng)使殘差的平方和為最小，即 在一些實(shí)際問題中，某個(gè)變量與其他幾個(gè)變量之間存在密切的關(guān)系，但又無法通過機(jī)理的分析方法來建立這種相關(guān)關(guān)系?；貧w分析是建立這種目標(biāo)變量和自變量之間函數(shù)關(guān)系的數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法，它通過對(duì)大量測(cè)量數(shù)據(jù)的處理，得出目標(biāo)變量與各相關(guān)自變量間比較

27、符合事物內(nèi)部規(guī)律的數(shù)學(xué)表達(dá)式。最小二乘法原理2.6.1 最小二乘法原理與應(yīng)用 設(shè)有一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)：（x1,y1）,(x2,y2)，（xn,yn），利用最小二乘法建立變量y和x之間的最佳函數(shù)關(guān)系y=f(x)時(shí)，首先將測(cè)量結(jié)果標(biāo)在坐標(biāo)上，連接坐標(biāo)點(diǎn)并觀察曲線的趨勢(shì)，建立合適的數(shù)學(xué)模型根據(jù)最小二乘法原理，參數(shù)的最佳估計(jì)應(yīng)使殘差平方和為最小當(dāng)y=f(x)為一次函數(shù)時(shí)，y與x之間為線性關(guān)系該式為一元線性回歸方程。從事研究工作、新產(chǎn)品開發(fā)、儀器儀表或電子產(chǎn)品的生產(chǎn)愈檢測(cè)過程中,常常要利用儀器設(shè)備進(jìn)行直接測(cè)量，不僅在某一點(diǎn)獲取多個(gè)數(shù)據(jù)，且往往還要在不同的點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量，以便求得準(zhǔn)確而有代表性的特征函數(shù)或特性曲線，進(jìn)而求得數(shù)學(xué)模型。測(cè)量數(shù)據(jù)處理分為等精度測(cè)量數(shù)據(jù)處理和非等精度數(shù)據(jù)處理。這里主要介紹前一種。等精度數(shù)據(jù)處理內(nèi)容包括：計(jì)算被測(cè)量的平均值、剩余誤差、方差、標(biāo)準(zhǔn)偏差，消除數(shù)據(jù)中的系統(tǒng)誤差和壞值，求得最后測(cè)量結(jié)果以及獲得經(jīng)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)公式，描繪特性曲線等。2.6.2 測(cè)量數(shù)據(jù)處理舉例下面通過一個(gè)實(shí)