《復(fù)變函數(shù)、積分變換、矢量分析與場(chǎng)論》教學(xué)大綱

1、復(fù)變函數(shù)、積分變換、矢量分析與場(chǎng)論課程名稱：復(fù)變函數(shù)、積分變換、矢量分析與場(chǎng)論（Complex function Integral Transformation vector analysis Field Theory）課程編碼：071026學(xué) 分：3分總 學(xué) 時(shí)：48學(xué)時(shí)，其中，理論學(xué)時(shí)：48學(xué)時(shí)適用專(zhuān)業(yè)：地球物理學(xué)、勘查技術(shù)與工程先修課程：高等數(shù)學(xué)一、課程的性質(zhì)、目的與任務(wù)復(fù)變函數(shù)、積分變換、矢量分析與場(chǎng)論是勘查技術(shù)與工程、地球物理學(xué)本科專(zhuān)業(yè)一門(mén)重要的學(xué)科基礎(chǔ)理論課其教學(xué)目的是使學(xué)生系統(tǒng)地獲得復(fù)變函數(shù)、積分變換、矢量分析與場(chǎng)論中必要的基礎(chǔ)理論和常用的運(yùn)算方法，培養(yǎng)學(xué)生比較熟練的運(yùn)算能力，能

2、熟練運(yùn)用積分變換和場(chǎng)論知識(shí)解決一些問(wèn)題，為后繼課程和進(jìn)一步擴(kuò)大數(shù)學(xué)知識(shí)打下必要的基礎(chǔ)其任務(wù)是教會(huì)學(xué)生掌握復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)、解析函數(shù)、復(fù)變函數(shù)的積分、復(fù)級(jí)數(shù)、留數(shù)、傅立葉變換、拉普拉斯變換、場(chǎng)論等基本理論和基本運(yùn)算能力。二、教學(xué)基本要求通過(guò)本課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)能在掌握基本知識(shí)、基本方法的基礎(chǔ)上，能把專(zhuān)業(yè)課上遇到的相關(guān)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為本課程中相應(yīng)的模型，并能正確應(yīng)用相關(guān)知識(shí)和方法解決問(wèn)題通過(guò)對(duì)本課程的學(xué)習(xí)，要求學(xué)生系統(tǒng)地獲得復(fù)變函數(shù)、積分變換和場(chǎng)論的基本知識(shí)，切實(shí)掌握所涉及的基本概念、基本理論和基本方法，具有較熟練的運(yùn)算能力和初步解決實(shí)際問(wèn)題的能力，為后繼課程的學(xué)習(xí)奠定良好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。具體要求學(xué)生做到：1

3、了解復(fù)函數(shù)的微積分處理方法；2掌握解析函數(shù)的判定定理；3熟練掌握復(fù)函數(shù)積分定理，柯西積分公式與高階導(dǎo)數(shù)公式；4掌握函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)展開(kāi)成洛朗級(jí)數(shù)的方法；5熟練掌握留數(shù)定理及其應(yīng)用；6了解Fourier變換的定義，掌握其性質(zhì)并能應(yīng)用它們解決一些實(shí)際問(wèn)題；7了解Laplace變換的定義，掌握其性質(zhì)并能應(yīng)用它們求解微分方程的定解問(wèn)題；8知道數(shù)量場(chǎng)的梯度及性質(zhì)，矢量場(chǎng)的散度及物理意義，矢量場(chǎng)的旋度及物理意義，三種重要的矢量場(chǎng)（有勢(shì)場(chǎng)、管形場(chǎng)、調(diào)和場(chǎng)）。了解三度（梯度、散度、旋度）與兩量（通量、環(huán)量）之間的關(guān)系。三、教學(xué)內(nèi)容與學(xué)時(shí)分配復(fù)變函數(shù)24學(xué)時(shí)第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù) （4學(xué)時(shí)）本章重點(diǎn)和難點(diǎn)：復(fù)數(shù)、

4、復(fù)平面、模與輻角的概念；復(fù)數(shù)的各種表示法及運(yùn)算；復(fù)變函數(shù)以及映射的概念。難點(diǎn)是復(fù)變函數(shù)與二元實(shí)函數(shù)的關(guān)系第一節(jié) 復(fù)數(shù)及其代數(shù)運(yùn)算復(fù)數(shù)的概念；復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算。第二節(jié) 復(fù)數(shù)的幾何表示復(fù)平面；復(fù)球面。第三節(jié) 復(fù)數(shù)的乘冪與方根乘積與商；冪與根。第四節(jié) 區(qū)域區(qū)域的概念；單連通域與多連通域。第五節(jié) 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)的定義；映射的概念。第六節(jié) 復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)性函數(shù)的極限；函數(shù)的連續(xù)性。第二章 解析函數(shù) （4學(xué)時(shí)）本章重點(diǎn)和難點(diǎn)：復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及解析函數(shù)的概念；連續(xù)、可導(dǎo)、解析之間的關(guān)系及求導(dǎo)方法；函數(shù)可導(dǎo)與解析的判別法；柯西-黎曼方程；初等函數(shù)。難點(diǎn)是柯西-黎曼方程的推導(dǎo)第一節(jié) 解析函數(shù)的概念復(fù)變函

5、數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分；解析函數(shù)的概念。第二節(jié) 函數(shù)解析的充要條件第三節(jié) 初等函數(shù)指數(shù)函數(shù)；對(duì)數(shù)函數(shù)；乘冪與冪函數(shù)；三角函數(shù)與雙曲函數(shù)；反三角函數(shù)與反雙曲函數(shù)。第三章 復(fù)變函數(shù)的積分 （6學(xué)時(shí)）本章重點(diǎn)和難點(diǎn)：復(fù)積分定義；柯西-古薩定理；變上限積分函數(shù)的性質(zhì)；復(fù)合閉路定理；柯西積分公式及高階導(dǎo)數(shù)公式。難點(diǎn)是共軛調(diào)和函數(shù)的求法第一節(jié) 復(fù)變函數(shù)積分的概念積分的定義；積分存在的條件及積分的計(jì)算法；積分的性質(zhì)。 第二節(jié) 柯西古薩（CauchyGoursat）基本定理第三節(jié) 復(fù)合閉路定理第四節(jié)原函數(shù)與不定積分第五節(jié) 柯西積分公式第六節(jié) 解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)第七節(jié) 解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系第四章 級(jí)數(shù) （4學(xué)時(shí)）本

6、章重點(diǎn)和難點(diǎn)：冪級(jí)數(shù)收斂的條件；收斂半徑的求法；泰勒展開(kāi)定理及五個(gè)基本初等函數(shù)的泰勒展開(kāi)式；洛朗展開(kāi)定理。難點(diǎn)是在圓環(huán)域內(nèi)把函數(shù)展開(kāi)成洛朗級(jí)數(shù)第一節(jié) 復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)復(fù)數(shù)列的極限；級(jí)數(shù)概念。第二節(jié) 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)概念；收斂圓與收斂半徑；收斂半徑的求法；冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)。第三節(jié) 泰勒級(jí)數(shù)第四節(jié) 洛朗級(jí)數(shù)第五章 留數(shù) （6學(xué)時(shí)）本章重點(diǎn)和難點(diǎn)：孤立奇點(diǎn)的概念及其分類(lèi)；留數(shù)的概念及計(jì)算方法；留數(shù)定理及計(jì)算閉路積分的方法。難點(diǎn)是應(yīng)用留數(shù)計(jì)算實(shí)積分的圍道積分法第一節(jié) 孤立奇點(diǎn)可去奇點(diǎn)；極點(diǎn)；本性奇點(diǎn)；函數(shù)的零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系；函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性態(tài)。第二節(jié) 留數(shù)留數(shù)的定義及留數(shù)定理；留數(shù)的計(jì)算規(guī)則；在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留

7、數(shù)。第三節(jié) 留數(shù)在定積分計(jì)算上的應(yīng)用三角函數(shù)有理分式的積分；有理分式的積分；有理分式與三角函數(shù)乘積的積分。積分變換 14學(xué)時(shí)第一章 傅里葉變換 （8學(xué)時(shí)）本章重點(diǎn)和難點(diǎn)：傅氏積分定理；傅氏變換及其逆變換的概念；的概念和性質(zhì)，傅氏變換的線性、位移、積分以及微分性質(zhì)，卷積的概念及卷積定理。難點(diǎn)是傅氏變換的應(yīng)用第一節(jié) Fourier積分 第二節(jié) Fourier變換Fourier變換的概念；單位脈沖函數(shù)及其Fourier變換；非周期函數(shù)的頻譜。 第三節(jié) Fourier變換的性質(zhì)線性性質(zhì)；位移性質(zhì)；微分性質(zhì)；積分性質(zhì)；乘積定理；能量積分。第四節(jié) 卷積與卷積定理第五節(jié) Fourier變換的應(yīng)用微分、積分方

8、程的Fourier變換解法；偏微分方程的Fourier變換解法。第二章 Laplace變換 （6學(xué)時(shí)）本章重點(diǎn)和難點(diǎn)：拉氏變換及其逆變換的概念；拉氏變換的線性、相似、積分、位移以及延遲性質(zhì)；反演積分公式及計(jì)算像原函數(shù)的方法；卷積的概念及卷積定理。難點(diǎn)是線性微分方程（組）的拉氏變換解法第一節(jié) Laplace變換的概念問(wèn)題的提出；Laplace變換的存在定理。第二節(jié) Laplace變換的性質(zhì)線性性質(zhì)；微分性質(zhì)；積分性質(zhì)；位移性質(zhì)；延遲性質(zhì)。 第三節(jié) Laplace逆變換第四節(jié) 卷積卷積的概念；卷積定理。第五節(jié) Laplace變換的應(yīng)用微分、積分方程的Laplace變換解法；偏微分方程的Laplac

9、e變換解法。矢量分析與場(chǎng)論10學(xué)時(shí)第一章 矢量分析 （2學(xué)時(shí)）本章重點(diǎn)和難點(diǎn)：矢性函數(shù)、矢端曲線的概念；矢性函數(shù)極限及連續(xù)性概念；矢性函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與積分的求法。難點(diǎn)是導(dǎo)矢的幾何意義與物理意義第一節(jié) 矢性函數(shù)矢性函數(shù)的概念；矢端曲線；矢性函數(shù)的極限和連續(xù)性。第二節(jié) 矢性函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分矢性函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；導(dǎo)矢的幾何意義；矢性函數(shù)的微分；矢性函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式。第三節(jié) 矢性函數(shù)的積分矢性函數(shù)的不定積分；矢性函數(shù)的定積分。第二章 場(chǎng)論 (7學(xué)時(shí))本章重點(diǎn)和難點(diǎn)：數(shù)量場(chǎng)的梯度及性質(zhì)；矢量場(chǎng)的散度及物理意義；矢量場(chǎng)的旋度及物理意義；三種重要的矢量場(chǎng)（有勢(shì)場(chǎng)、管形場(chǎng)、調(diào)和場(chǎng)）。難點(diǎn)是三度（梯度、散度、旋度）與兩量（

10、通量、環(huán)量）之間的關(guān)系第一節(jié) 場(chǎng)場(chǎng)的概念；數(shù)量場(chǎng)的等值面；矢量場(chǎng)的矢量線。第二節(jié) 數(shù)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)和梯度方向?qū)?shù)；梯度。第三節(jié) 矢量場(chǎng)的通量及散度通量；散度。第四節(jié) 矢量場(chǎng)的環(huán)量及旋度環(huán)量；旋度。第五節(jié) 幾種重要的矢量場(chǎng)有勢(shì)場(chǎng)；管形場(chǎng)；調(diào)和場(chǎng)。第三章 哈密頓算子 (1學(xué)時(shí))本章重點(diǎn)和難點(diǎn)：哈米爾頓算子WRHamilton的記號(hào)及運(yùn)算規(guī)則；用算子進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的計(jì)算及證明四、大綱說(shuō)明本大綱適用于地球物理學(xué)和勘查技術(shù)與工程本科專(zhuān)業(yè)教學(xué)總學(xué)時(shí)數(shù)為48學(xué)時(shí)，理論講授48學(xué)時(shí)，課堂教學(xué)以馬柏林、李丹衡、晏華輝主編、復(fù)旦大學(xué)出版社出版的復(fù)變函數(shù)與積分變換(2008年修改版)，謝樹(shù)藝編、高等教育出版社出版的矢量分析與場(chǎng)論（2012年第四版）為主要教材；王綿森編、高等教育出版社出版的復(fù)變函數(shù)（2008年），東南大學(xué)數(shù)學(xué)系張?jiān)志?、高等教育出版社出版積分變換（2012年第五版）為主要參考書(shū)，按照本大綱的內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)。本課程的內(nèi)容涉及高等數(shù)學(xué)課程的知識(shí)。五、教學(xué)參考書(shū)教材:1 馬柏林，李丹衡，晏華輝復(fù)變函數(shù)與積分變換M修改版上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2008年.2 謝樹(shù)藝矢量分析與場(chǎng)論M第四版北京：高等教育出版社，2012年.參考書(shū)：1 王綿森復(fù)變函數(shù)M北京：高等教育出版社，2008年.2 張?jiān)址e分變換M第五