數(shù)學(xué)第一講軌跡與方程

1、第1講 軌跡與方程求軌跡方程的常用方法(1)直接法：直接法是將動點滿足的幾何條件或者等量關(guān)系，直接坐標(biāo)化，列出等式化簡即得動點軌跡方程.(2)待定系數(shù)法：已知所求曲線的類型，求曲線方程.先根據(jù)條件設(shè)出所求曲線的方程，再由條件確定其待定系數(shù).(3)定義法：若動點軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義(如橢圓、雙曲線、拋物線、圓等)，可用定義直接探求.(5)參數(shù)法：當(dāng)動點 P(x，y)坐標(biāo)之間的關(guān)系不易直接找到，也沒有相關(guān)動點可用時，可考慮將 x，y 均用一中間變量(參數(shù))表示，得參數(shù)方程，再消去參數(shù)得普通方程. (4)相關(guān)點法：動點P(x，y)依賴于另一動點Q(x0，y0)的變化而變化，并且Q(x0，

2、y0)又在某已知曲線上，則可先用x，y的代數(shù)式表示x0，y0，再將x0，y0代入已知曲線得要求的軌跡方程.（6）交軌法求軌跡方程1.(2011年廣東)設(shè)圓C與圓x2(y3)21外切，與直線y0 相切，則圓 C 的圓心軌跡為()AA.拋物線C.橢圓B.雙曲線D.圓解析：動圓圓心C 到定點(0,3)的距離與到定直線y1 的距離相等，符合拋物線的定義.故選 A.2.已知點 M(1,0)，直線 l：x1，點 B 是 l 上的動點，過點 B 作垂直于 y 軸的直線與線段 BM 的垂直平分線交于點 P，)A則點 P 的軌跡是(A.拋物線C.雙曲線的一支B.橢圓D.直線解析：由垂直平分線性質(zhì)，知：|PM|P

3、B|.又|PB|為點P 到直線 x1 的距離.由拋物線定義知，點 P 的軌跡為以M 為焦點，x1 為準(zhǔn)線的拋物線.3.已知ABC的頂點B(0,0)，C(5,0)，AB邊上的中線長|CD|3，則頂點 A 的軌跡方程為_.4.在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，已知拋物線關(guān)于 x 軸對稱，頂點在原點 O，且過點 P(2,4)，則該拋物線的方程是_.5.動點 P 到點 F(2,0)的距離與它到直線 x20 的距離相等，則 P 的軌跡方程為_.y28xy28x解析：由定義知：P 的軌跡是以 F(2,0)為焦點的拋物線，p4，所以其方程為 y28x.(x10)2y236(y0)考點 1 利用直接法求軌跡方程【

4、互動探究】1(a0，b0)的一個焦點， 且雙曲線的離心率為 2，則該雙曲線的方程為_.考點 2 利用相關(guān)點法求軌跡方程例2：已知點A在圓x2y216上移動，點P為連接M(8,0)和點 A 的線段的中點，求 P 的軌跡方程.解：設(shè)點P的坐標(biāo)為(x，y)，A的坐標(biāo)為(x0，y0).代入圓的方程，得(2x8)2(2y)216，化簡得(x4)2y24為所求.【方法與技巧】點P為MA的中點，點 M 為固定點，點 A為圓上的動點，因此利用點 P 的坐標(biāo)代換點 A 的坐標(biāo)，從而代入圓的方程求解，這種求軌跡方程的方法叫做相關(guān)點法(也有資料稱轉(zhuǎn)移法).【互動探究】【互動探究】【互動探究】N 的軌跡方程(A，B

5、重合于 O 時，中點為 O).圖 12-4-1(1)求p的值；(2)當(dāng)M在C2上運動時，求線段AB的中點由，得p2.考點 3 利用定義法求軌跡方程(2)如圖 D31，|MP|FP|MF|2，圖 D312等號當(dāng)且僅當(dāng) P 為直線 MF 與雙曲線的位于線段 MF 的延長線上的那個交點處取得.【方法與技巧】求曲線的方程，然后利用圓錐曲線的定義或圓錐曲線中有關(guān)幾何元素的范圍求最值(范圍)是高考的一種基本模式.這樣出題，一改直線與圓錐曲線聯(lián)立這一傳統(tǒng)，多少有些出乎意料，在備考時應(yīng)予以關(guān)注.【互動探究】【互動探究】圖 D32 2.已知圓C1：(x3)2y21和圓C2：(x3)2y29，動圓M同時與圓C1及

6、圓C2相外切，求動圓圓心M的軌跡方程. 解：如圖D32，設(shè)動圓M與圓C1及圓C2分別外切于點A和點B，根據(jù)兩圓外切的充要條件，得 |MC1|AC1|MA|，|MC2|BC2|MB|. 因為|MA|MB|， 所以|MC2|MC1|BC2|AC1|312. 這表明動點M到兩定點C2，C1的距離之差是常數(shù)2. 根據(jù)雙曲線的定義，動點M的軌跡為雙曲線的左支(點M到C2的距離大，到C1的距離小)，這里a1，c3，則b28，考點4 參數(shù)法求軌跡考點4 參數(shù)法求軌跡考點5 交軌法求軌跡考點5 交軌法求軌跡1-12-2OF1F2P2MP1圖 271xy考點5 交軌法求軌跡考點6 利用待定系數(shù)法求軌跡方程例6：設(shè)雙曲線的中心是坐標(biāo)原點，焦點在 y 軸上，離心