高考數(shù)學一輪復習 熱點難點精講精析 2.3函數(shù)的奇偶性與周期性

1、PAGE PAGE 13 2014年高考一輪復習熱點難點精講精析：2.3函數(shù)的奇偶性與周期性一、函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點偶函數(shù)如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個，都有f(-x)=f(x)，那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù)。 關(guān)于y軸對稱奇函數(shù)如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個，都有f(-x)=-f(x)，那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù)。關(guān)于原點對稱注：1、奇偶函數(shù)的定義域的特點：由于定義中對任意一個x都有一個關(guān)于原點對稱的-x在定義域中，即說明奇偶函數(shù)的定義域必關(guān)于原點對稱；2、存在既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)的函數(shù)，它們的特點是定義域關(guān)于原點對稱，且解析式化簡后等于零。二、奇偶函數(shù)的性質(zhì)1、奇函數(shù)

2、在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相反（填 “相同”、“ 相反”）。2、在公共定義域內(nèi)，亦即：（1）兩個奇函數(shù)的和函數(shù)是奇函數(shù)，兩個奇函數(shù)的積函數(shù)是偶函數(shù)；（2）兩個偶函數(shù)的和函數(shù)、積函數(shù)是偶函數(shù)；（3）一個奇函數(shù)，一個偶函數(shù)的積函數(shù)是奇函數(shù)。注：以上結(jié)論是在兩函數(shù)的公共定義域內(nèi)才成立；并且只能在選擇題、填空題中直接應用，解答題需先證明再利用。3、若是奇函數(shù)f(x)且在x=0處有定義，則f(0)=0.4、對稱性：奇（偶）函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，且這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件；5、整體性：奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)，對定義域內(nèi)任意一個都必須成立； 6、可

3、逆性： 是偶函數(shù)；奇函數(shù)；7、等價性：8、奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱；9、可分性：根據(jù)函數(shù)奇偶性可將函數(shù)分類為四類：奇函數(shù)、偶函數(shù)、既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)、非奇非偶函數(shù)。三、周期性1、周期函數(shù)：對于函數(shù)y=f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當x取定義域內(nèi)的任何值時，都有f(x+T)=f(x),那么就稱函數(shù)y=f(x)為周期函數(shù)，T為這個函數(shù)的周期。2、最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小的正數(shù)就叫做它的最小正周期。【熱點難點全析】一、函數(shù)奇偶性的判定1、相關(guān)鏈接利用定義判斷函數(shù)奇偶性的一般步驟，即：（1）首先確定函數(shù)的定義域，看

4、它是否關(guān)于原點對稱。若不對稱，則既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)。（2）若定義域關(guān)于原點對稱，再判定f(-x)與f(x)之間的關(guān)系若f(-x)=-f(x)（或f(-x) +f(x)=0），則為奇函數(shù)；若f(-x)=f(x)(或 f(-x) -f(x)=0)，則f(x)為偶函數(shù)；若f(-x)=-f(x)且f(-x)=f(x)，則f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù);若f(-x) f(x)且f(-x)- f(x)，則f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。圖象法：性質(zhì)法：一些重要類型的奇偶函數(shù)函數(shù)f(x)=ax+a-x為偶函數(shù); 函數(shù)f(x)=ax-a-x為奇函數(shù)；函數(shù)f(x)=( ax-a-x)/( ax+a-x)=

5、( ax-1)/( ax+1)其中（a0且a1）為奇函數(shù)；函數(shù)f(x)=loga()為奇函數(shù)（a0且a1）;函數(shù)f(x)= loga()為奇函數(shù)（a0且a1）2、例題解析例1討論下述函數(shù)的奇偶性：解：（1）函數(shù)定義域為R， ，f(x)為偶函數(shù)；（另解）先化簡：，顯然為偶函數(shù)；從這可以看出，化簡后再解決要容易得多。（2）須要分兩段討論：設(shè)設(shè)當x=0時f(x)=0，也滿足f(x)=f(x)；由、知，對xR有f(x) =f(x)， f(x)為奇函數(shù)；（3），函數(shù)的定義域為，f(x)=log21=0(x=1) ，即f(x)的圖象由兩個點 （1，0）與（1，0）組成，這兩點既關(guān)于y軸對稱，又關(guān)于原點對稱

6、，f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)；（4）x2a2, 要分a 0與a 0時， ，當a 0時，f(x)為奇函數(shù)； 既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)例2f（x）是定義在（，55，）上的奇函數(shù)，且f（x）在5，）上單調(diào)遞減，試判斷f（x）在（，5上的單調(diào)性，并用定義給予證明解析：任取x1x25，則x1x25因f（x）在5，上單調(diào)遞減，所以f（x1）f（x2）f（x1）f（x2）f（x1）f（x2），即f（x）在（，5上單調(diào)減函數(shù)二、分段函數(shù)的奇偶性1、分段函數(shù)奇偶性的判定步驟分析定義域是否關(guān)于原點對稱；對x的值進行分段討論，尋求f(x)與f(-x)在各段上的關(guān)系； 綜合（2）在定義域內(nèi)f(x)與f(-x)的

7、關(guān)系，從而判斷f(x)的奇偶性。注：奇偶性是函數(shù)的一個整體性質(zhì)，不能說函數(shù)在定義域的某一段上是奇函數(shù)或偶函數(shù)。2、例題解析例1已知函數(shù)。試判斷的奇偶性分析：確定定義域判斷每一段上與的關(guān)系判斷整個定義域上與的關(guān)系結(jié)論。解答：由題設(shè)可知函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱。當時，注：分段函數(shù)奇偶性的判斷，要注意定義域內(nèi)x取值的任意性，應分段討論，討論時可依據(jù)x的范圍取相應的解析式化簡，判斷f(x)與f(-x)的關(guān)系，得出結(jié)論，也可以利用圖象作判斷例2判斷函數(shù)的奇偶性解析：顯然函數(shù)f(x)的定義域為：(-，0)(0,+)，關(guān)于原點對稱，當x0，則f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-f(x)；當x0時,-

8、x0，則f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-f(x)；綜上可知：對于定義域內(nèi)的任意x，總有f(-x)=-f(x)成立，函數(shù)f(x)為奇函數(shù)；三、抽象函數(shù)的奇偶性1、相關(guān)鏈接判斷（或證明）抽象函數(shù)的奇偶性的步驟利用函數(shù)奇偶性的定義，找準方向（想辦法出現(xiàn)f(x),f(-x)）;巧妙賦值，合理、靈活變形配湊；找出f(x)與f(-x)關(guān)系，得出結(jié)論。2、例題解析例1已知函數(shù)f(x)對一切x、yR，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，(1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性；(2)若f(-3)=a，用a表示f(12)分析：判斷函數(shù)奇偶性的一般思路是利用定義，看f(-x)與f(x)的關(guān)系，進而得出函數(shù)的奇偶性

9、；解決本題的關(guān)鍵是在f(x+y)=f(x)+f(y)中如何出現(xiàn)f(-x)；用a表示f(12)實際上是如何用f(-3)表示f(12)，解決該問題的關(guān)鍵是尋找f(12)與f(-3)的關(guān)系解答：例2 設(shè)函數(shù)在上滿足，且在閉區(qū)間0，7上，只有。（1）試判斷函數(shù)的奇偶性；（2）試求方程在閉區(qū)間上的根的個數(shù)，并證明你的結(jié)論。解析：（1）由，得函數(shù)的對稱軸為 而，即不是偶函數(shù)又 在0，7上只有 從而知函數(shù)不是奇函數(shù)故函數(shù)是非奇非偶函數(shù)（2）從而知函數(shù)的周期為T=10又 故在0，10和上均有2個根，從而可知函數(shù)在0，2000上有400個根，在2000，2005上有2個根，在上有400個根，在上沒有根。 函數(shù)在

10、上有802個根。注：抽象函數(shù)奇偶性的判斷，關(guān)鍵是要充分理解題意，靈活選取變量的值。四、函數(shù)奇偶性應用1、相關(guān)鏈接應用函數(shù)奇偶性可解決的問題及方法(1)已知函數(shù)的奇偶性，求函數(shù)值將待求值利用奇偶性轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)值求解.(2)已知函數(shù)的奇偶性求解析式將待求區(qū)間上的自變量，轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性構(gòu)造關(guān)于f(x)的方程(組)，從而得到f(x)的解析式.(3)已知函數(shù)的奇偶性，求函數(shù)解析式中參數(shù)的值常常利用待定系數(shù)法：利用f(x)f(-x)=0得到關(guān)于待求參數(shù)的恒等式，由系數(shù)的對等性得參數(shù)的值或方程求解.(4)應用奇偶性畫圖象和判斷單調(diào)性利用奇偶性可畫出另一對稱區(qū)間

11、上的圖象及判斷另一區(qū)間上的單調(diào)性.2、例題解析【例】(1)(2011安徽高考)設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x0時，f(x)=2x2-x，則f(1)=( )()-3()-1()1()3(2)(2011遼寧高考)若函數(shù)為奇函數(shù)，則a=( )(3)已知偶函數(shù)f(x)在區(qū)間0，+)上單調(diào)遞增，則滿足的x的取值范圍是( )【方法詮釋】(1)將求f(1)的值轉(zhuǎn)化為求f(-1)的值的問題求解；(2)由題意可知f(-x)+f(x)=0，從而得到關(guān)于x的恒等式，再構(gòu)建a的方程求解；(3)根據(jù)奇偶性得到將原不等式轉(zhuǎn)化為從而求解.【解析】(1)選.由奇函數(shù)的定義有f(-x)=-f(x)，所以f(1)=-f(-

12、1)=-2(-1)2+1=-3.(2)選.函數(shù)f(x)為奇函數(shù),f(x)+f(-x)=0恒成立，即恒成立.可化為(2x+1)(x-a)=(2x-1)(x+a)恒成立.整理得2(1-2a)x=0恒成立，則必有1-2a=0,(3)選.f(x)為偶函數(shù)，又f(x)在0,+)上單調(diào)遞增,由得：解得:注：利用函數(shù)的奇偶性可將未知區(qū)間上的求函數(shù)值、求解析式、作圖象、判定單調(diào)性問題轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)值、解析式、圖象、單調(diào)性問題求解，充分體現(xiàn)了數(shù)學的轉(zhuǎn)化與化歸思想.五、函數(shù)的周期性及其應用1、相關(guān)鏈接關(guān)于周期函數(shù)的常用結(jié)論：（1）若對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意一個x都有：，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，2

13、|a|是它的一個周期；f(x+a)=，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，2|a|是它的一個周期；，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，2|a|是它的一個周期；(2)如果T是函數(shù)y=f(x)的周期，則kT(kZ,k0)也是函數(shù)y=f(x)的周期，即f(x+kT)=f(x)；若已知區(qū)間m,n(m10時，|lgx|1,因此結(jié)合圖象及數(shù)據(jù)特點y=f(x)與y=|lgx|的圖象交點共有10個.例2設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意實數(shù)x，恒有f(x+2)=-f(x).當x0,2時，f(x)=2x-x2.(1)求證：f(x)是周期函數(shù);(2)當x2,4時，求f(x)的解析式;(3)計算f(0)+f(1)+f(2)

14、+f(2 013).【解析】(1)f(x+2)=-f(x),f(x+4)=-f(x+2)=f(x).f(x)是周期為4的周期函數(shù).(2)當x-2,0時，-x0,2，由已知得f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2,又f(x)是奇函數(shù)，f(-x)=-f(x)=-2x-x2,f(x)=x2+2x.又當x2,4時，x-4-2,0,f(x-4)=(x-4)2+2(x-4).又f(x)是周期為4的周期函數(shù)，f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8.從而求得x2,4時，f(x)=x2-6x+8.(3)f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)=-1.又f(x)是周

15、期為4的周期函數(shù),f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=f(2 008)+f(2 009)+f(2 010)+f(2 011)=0.f(0)+f(1)+f(2)+f(2 013)=f(0)+f(1)=0+1=1.五、函數(shù)奇偶性與周期性的綜合應用例已知函數(shù)f(x)在R上滿足f(2-x)=f(2+x)，f(7-x)=f(7+x)且在閉區(qū)間0,7上，只有f(1)=f(3)=0，(1)試判斷函數(shù)y=f(x)的奇偶性；(2)試求方程f(x)=0在閉區(qū)間-2 011,2 011上根的個數(shù)，并證明你的結(jié)論思路分析：(1)判斷函數(shù)奇偶性的一般思路是利用定義，看f(-x

16、)與f(x)的關(guān)系，但本題不易出現(xiàn)f(-x)與f(x)，但可先假設(shè)該函數(shù)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，看能否得出不正確的結(jié)論，進而得出結(jié)論(即舉反例來判斷函數(shù)的奇偶性).(2)先求函數(shù)的周期，然后在它的一個周期內(nèi)求解，再由其周期性求出定義域內(nèi)的全部解解析：(1)若y=f(x)為偶函數(shù)，則f(-x)=f(2-(x+2)=f(2+(x+2)=f(4+x)=f(x)，f(7)=f(3)=0，這與f(x)在閉區(qū)間0,7上，只有f(1)=f(3)=0矛盾；因此f(x)不是偶函數(shù).若y=f(x)為奇函數(shù)，則f(0)=f(-0)=-f(0)，f(0)=0,這與f(x)在閉區(qū)間0,7上，只有f(1)=f(3)=0矛盾；因

17、此f(x)不是奇函數(shù)綜上可知：函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).(2)f(x)=f(2+(x-2)=f(2-(x-2)=f(4-x)，f(x)=f(7+(x-7)=f(7-(x-7)=f(14-x)，f(14-x)=f(4-x),即f(10+(4-x)=f(4-x)f(x+10)=f(x),即函數(shù)f(x)的周期為10.又f(1)=f(3)=0，f(1)=f(1+10n)=0(nZ)，f(3)=f(3+10n)=0(nZ)，即x=1+10n和x=3+10n(nZ)均是方程f(x)=0的根.由-2 0111+10n2 011及nZ可得n=0，1，2，3， ，201，共403個；由-2 0113+10n2 011及nZ可得n=0，1，2，3， ，200，-201，共402個；所以方程f(x)=0在閉區(qū)間-2 011,2 011上的根共有805個.【方法提示】(1)如何判斷函數(shù)不具有某性質(zhì)判斷函數(shù)不具有某性質(zhì)只需舉出一個反例即可；(2)奇偶函數(shù)根的個數(shù)問題由于奇偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，且f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)，所以，除去根為零外，如果有解，則解的個數(shù)為偶數(shù)個.注:方程f(x)=A(其中A為非零常數(shù))的解的個數(shù)，如果函數(shù)f(x)為偶函數(shù)時解的個數(shù)為偶數(shù)個，如果