利用夾逼準(zhǔn)則求極限

1、利用夾逼準(zhǔn)則求極限夾逼準(zhǔn)則的使用方法：定理 1 用夾逼準(zhǔn)則求極限，就是將數(shù)列放大和縮小。要求放大和縮小后的極限容易求出，此時(shí)常將其放大到最大項(xiàng)的整數(shù)倍，縮小到最小項(xiàng)的整數(shù)倍，并且此時(shí)兩者極限相等，即兩者是等價(jià)無(wú)窮小，此時(shí)就可以得到原數(shù)列極限的值。題型 1夾逼準(zhǔn)則常用于求若干項(xiàng)和的極限推論 1極限變化過(guò)程中最小項(xiàng)與最大項(xiàng)之比為1 時(shí)可以使用夾逼準(zhǔn)則求其極限。證明：不妨設(shè)最小項(xiàng)為( x) ，最大項(xiàng)為(x) ，數(shù)列有 n 項(xiàng)，則整數(shù)倍為n 倍，由定理1 可知 lim n( x)1 lim( x) .n(x)( x)例 1.求 lim (11.1) .222nn2n4n2n1解： limn22nlim

2、n22limn22lim1 1.1n22nn22nnnnnn22由推論1， 1n11.1n1.n22nn22n24n22nn22由夾逼準(zhǔn)則可得所求極限為1.例 2.求 lim (11.1).n2n1n2n2n2nnn12解： lim n2nnlimn2n11.n1nnnnn2n1由推論1，0n11.1n0.n2nnn2n1n2n2n2nnn2n1由夾逼準(zhǔn)則可得所求極限為0.例 3.求 lim (12.n).222nnn1nn2nnn解：由推論1，1n(n 1)n2112.n2nn(n1)n211 由夾逼22n n n2n 1 n2n 2n n2n 12準(zhǔn)則可得所求極限為1.2由以上例題可以看出

3、用夾逼準(zhǔn)則求極限的關(guān)鍵在于對(duì)數(shù)列進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆趴s接下來(lái)的例題稍有難度，難處仍難在放縮的技巧例 4.求 lim 2n . n n!解： 02n222.24 .(放到第二項(xiàng)最大 )n!123nn！且 lim40 .故由夾逼準(zhǔn)則可知lim 2n0.nn!nn!例 5.求 limnn(1).n解：設(shè)1h(h0), 則從而 0n2, 因?yàn)?lim20,n(n 1) h2( n1)h2n由夾逼準(zhǔn)則可知limn0.nn例 6.求 lim3 n2sin(n!) .n 13n2 sin( n! )3n23 n23 n231, (三角函數(shù)有界性 )解：由于 0n 1n1nn3n即313n2 sin(n!)31,而

4、lim31lim310,nn1nnnnn由夾逼準(zhǔn)則可知3n2 sin(n! )0.limn1n1例 7.求 lim (12n3n ) n .nlim 3( 1 )(2 )n1lim 3( 1)n( 2) n1解：原式1n n1 n .n33n331n(2 n1n2 n1 3,因?yàn)?()1,1()( )3333兩邊同時(shí)乘以3n 得到3n12n3n3n1 ,11再兩邊同時(shí)開(kāi)n 次方根得到 312n3n n33n.11當(dāng) n時(shí), 右邊lim (33n )3lim 3n31 3lim 3 左邊 .nnn1故由夾逼準(zhǔn)則可得lim (12n3n )n 3.n例 8.求 limx .xx解：由取整函數(shù)的性質(zhì)可知x1xx.當(dāng) x0時(shí),x 1 x x,即1 x1；xxx1xx當(dāng) x0時(shí) ,x 1 x x,即1 x1；xxx1xx因?yàn)閘im (11)1，limx1.由夾逼準(zhǔn)則可得xxxx例 9.求 limx b(0,b0).x 0 x解由取整函數(shù)的性質(zhì)可知b1bb (