2022年三角恒等式證明的基本技巧

1、三角恒等式證明的基本技巧 三角恒等式的證明是三角函數(shù)中一類重要問題,這類問題主要以無條件和有條件恒等式 顯現(xiàn)；依據(jù)恒等式的特點,可采納各種不同的方法技巧,技巧常從以下各個方面表示出來；1化角 觀看條件及目標(biāo)式中角度間聯(lián)系,立足于排除角間存在的差異,或轉(zhuǎn)變角的表達形式以便更好地溝通條件與結(jié)論使之統(tǒng)一,或有利于公式的運用,化角是證明三角恒等式時一種常用技巧；例 1 求證： tan3 x - tan 21 x = 2思路分析：此題的關(guān)鍵是角度關(guān)系：2 sin xcos x cos 2 xx= 3 x -1 x,可作以下證明：2 2右式 =2 sin 3 x 1 x 2 22 cos 3 x cos

2、1 x2 2=sin3xcos 1 x2cos 3 x2cos 3 x2cos 1 x2sin1x= tan3 x - tan 21 x；2222化函數(shù)三角函數(shù)中有幾組重要公式,它們不僅揭示了角間的關(guān)系,同時揭示了函數(shù)間的相互關(guān)系,三角變換中, 以觀看函數(shù)名稱的差異為主觀點,以化異為為同 （如化切為弦等） 的思路,恰當(dāng)選用公式,這也是證明三角恒等式的一種基本技巧；2例 2 設(shè) tan A B + sin2 C =1,求證： tanA 、tanC 、tanB 順次成等比數(shù)列；tan A sin A思路分析：欲證 tan 2C = tanA tanB ,將條件中的弦化切是關(guān)鍵；可作以下證明：2 2

3、 2 2 2 sin 2C= tan C2, sin 2A= tan A2sin2 C = tan2 C 1 tan2 A 由已知可得1 tan C 1 tan A sin A tan A 1 tan C 2 2sin2 C =1-tan A B = tan B 1 tan A ,sin A tan A tan A 1 tan A tan B 2 2 2 2tan tanA 1 B 1tan tanA tan A B = tantan 2 CA 1 1tan tan2C A 1 tantan C2C =1 tantan BA tantan AB即 tan 2C = tanA tanB 命題成立

4、；3化冪應(yīng)用升、降冪公式作冪的轉(zhuǎn)化,以便更好地選用公式對面臨的問題實行變換,這也是三角恒等式證明的一種技巧；例 3 求證 cos4 -4cos2 +3=8sin 4思路分析：應(yīng)用降冪公式,從右證到左：右邊 =81cos 22=21-2cos2 +cos22 = 21-2cos2 +1cos4=cos4 -4cos2 22+3=左邊；4化常數(shù)將已知或目標(biāo)中的常數(shù)化為特別角的函數(shù)值以適應(yīng)求征需要,這方面的例子效多；如1=sin 2 +cos 2 =sec 2 -tan 2 =csc 2 -cot 2 =tan cot =sin csc =cos sec ,1=tan45 0=sin90 0=cos

5、0 0 等等；如何對常數(shù)實行變換,這需要對詳細(xì)問題作詳細(xì)分析；例 4 求證 1 22 sin cos2 = 1 tancos sin 1 tan思路分析：將左式分子中“1” 用“sin 2 +cos 2 ” 代替,問題便迎刃而解；左邊 = sin cos 2= sin cos = 1 tan =右邊cos sin cos sin cos sin 1 tan5化參數(shù)用代入、加減、乘除及三角公式消去參數(shù)的方法同樣在證明恒等式時用到；例 5 已知 acos2 +bsin2 =mcos 2 ,asin2 +bcos2 =nsin2 ,mtan2 =ntan2 n 求證： a+bm+n=2mn 思路分析

6、：消去參數(shù),當(dāng)m=0時,由 mtan 2 =ntan2 得 n=0,明顯成立；當(dāng)m 0 時,只須消去 、 即可；由 acos2 +bsin2 =mcos 2 ,asin2 +bcos2 =nsin2 得=tan2 即可得asin2bcos2=n tan m2 ,再由 mtan2 =ntan2 得asin2bcos2acos2bsin2acos2bsin2atan22b=tan2 ,解得 tan2 =1,所以 sin2 =cos2 =1 ；2abtanab=1 ,求得 cos2 =ab,sin2 =ab,又由 cos2 +sin2 =1 不得；ab+2m2 n2m2 n即 a+bm+n=2mn

7、6化比一些附有積或商形式的條件三角恒等式證明問題,?？煽紤]應(yīng)用比例的有關(guān)定理；用等比定理,合、分比定理對條件加以變換,或順推出結(jié)論,或簡化條件,經(jīng)常可以為解題帶來便利；例 6 已知 1+ cos 1-cos =1-2 0,1 ；求證： tan2= 1 tan22 1 2思路分析：綜觀條件與結(jié)論,可考慮從條件中將 分別出來,以結(jié)論中 1 為向?qū)?應(yīng)用1合比定理即可達到論證之目的；由已知得 1+ cos -cos -2cos cos =1-2, 2cos cos -1= cos -cos ,= cos cos 依合分比定理得cos cos 12 21 = cos cos cos cos 1 = 1

8、 cos cos 1 = 4 cos2 sin21 cos cos 1 cos cos 1 cos cos 1 4 cos 2sin 22 2=tan 2cot 2 tan 2= 1 tan 22 2 2 1 27化結(jié)構(gòu)觀看等式左右結(jié)構(gòu)上的差異,立足于統(tǒng)一結(jié)構(gòu)形式也是三角恒等式的一種技巧；例 7 設(shè) A+B+C= ,求證： sinA+sinB+sinC=4cosA cos 2B cos 2CBcosA2B+ 2思路分析：這里等式左右分別為和積的形式,現(xiàn)將左邊化成積；A+B+C=sinC=sin -A+B=sinA+B 左 邊 =2sinA2sinA+B= 2sinABcosA2B+cosA2B=2sinA2B2cosA cos 2B2 B cos 2C2=4 cosA cos 228化拆項這一類恒等式可與數(shù)學(xué)求和結(jié)合起來,常拆項相消法；例 8 求 cosx+cos2x+ +cosnx=cosn1xsinnx 2 n21x-sin2n21x 22xsin2思路分析：左邊同乘以sin x , 去括號,積化和差