2022年三角函數(shù)解三角形知識(shí)點(diǎn)總結(jié)例題剖析

1、三角函數(shù) +解三角形學(xué)問點(diǎn)總結(jié)例題剖析三角函數(shù)5、半徑為 r 的圓的圓心角所對(duì)弧的長(zhǎng)為 l ,就角的弧度數(shù)的肯定值是 6、弧度制與角度制的換算公式：27、如扇形的圓心角為 lr 360,1180,為弧度制,半徑為 就 lr ,C2rl ；r ,弧長(zhǎng)為 l ,周長(zhǎng)為 C,面積為 S,是一個(gè)任意大小的角,的終邊上任意一點(diǎn) 11Slrr2 8、設(shè) 22 的坐標(biāo)是 x,y ,它與原點(diǎn)的距離是 rrx2y20 ,就 sinyxy ,cos,tanx0 rrx9 、三角函數(shù)在 各象限的符號(hào)：第一象限全為正,其次象限正弦為正；第三象限正切為正,第四象限余弦為正11、角三角函 數(shù)的基本關(guān)系：1sin2cos2

2、12sintancossin21cos2,cos21sin2；sinsintancos,cos12、函數(shù)的誘導(dǎo)公式：tan1sin2ksin, cos2kcos , tan2ktank2sinsin,coscos ,tantan 3sinsin,coscos ,tantan 4sinsin,coscos ,tantan 口訣：函數(shù)名稱不變,符號(hào)看象限5sin cos,cossin 6sincos ,cossin 2222 口訣：正弦與余弦互換,符號(hào)看象限13、的圖象上全部點(diǎn)向左平移上全部點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原先的1 個(gè)單位長(zhǎng)度,得到函數(shù)ysinx 的圖象；再將函數(shù) ysinx 的圖象再將函數(shù) ys

3、inxysinx 的圖象；倍,得到函數(shù)的圖象上全部點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原先的倍,得到函數(shù)14、函數(shù)ysinx 的圖象ysinx0,0 的性質(zhì)：2振幅：；周期：；頻率：初相：f12 ；相位： x；15、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)：1 性 質(zhì)函數(shù) ysinx ycosx ytanx 圖象定義域值域 R R xxk,k 2R 1,1 當(dāng) x2k1,1 當(dāng) x2kk 時(shí),2k 時(shí),2 最值 ymax1 ；當(dāng) x2k 小值 k 時(shí),ymin1周期性ymax1；當(dāng) x2k 既無最大值也無最 奇偶性 2 奇函數(shù) k 時(shí),ymin1 2 偶函數(shù) 奇函數(shù) 在 2k,2k 22k 上是增函數(shù)；在 單調(diào)性

4、 在2k,2kk 上是增函數(shù)；在 2k,2k 在 k,k 223 2k,2k22k 上是減函數(shù) k 上是增函數(shù) k 上是減函數(shù)對(duì)稱中心 k,0k 對(duì)稱性 對(duì)稱軸 xk2k 對(duì)稱中心 k,0k 2 對(duì)稱軸 xkk k 對(duì)稱中心,0k 2 無對(duì)稱軸余弦定理主要解決的問題：已知兩邊和夾角, 求其余的量；已知三邊求角）11、如何判定三角形的外形：判定三角形外形時(shí),可利用正余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化,統(tǒng)一成邊的形式或角的形式b、c 是 C 的角、 C 的對(duì)邊,設(shè)a、就：如abc,就C90；如 abc,就 C90 2 222222 abc222如 abc,就 C902. ABC中,cosAcosBcosC,就

5、ABC肯定是A 直角三角形B 鈍角三角形 C 等腰三角形D 等邊三角形 2B60b3. ABC中, ac,就 ABC肯定是A 銳角三角形B 鈍角三角形 C 等腰三角形D 等邊三角形三角恒等變換和解三角形基本學(xué)問回憶 的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：令 sinsincoscossinsin22sincos 1 、兩角和與差coscoscos tan 令 sinsincos2cos2sin2 2cos2112sin2tantan1+cos2 cos21tantan21cos2 sin2 22tan tan21tan237sin coscos sin 525 例：已知,那么 cos2 的值為 _；

6、2. 三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、運(yùn)算、證明的恒等變形的基本思 路是：一角二名三結(jié)構(gòu)； 即第一觀看角與角 之間的關(guān)系,留意角的一些常用變式,角的變換是三角函數(shù)變換的核心！其次看函數(shù)名稱之間的關(guān)系,通?！?切化弦” ；第三觀看代 數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)；基本的技巧有 : 巧變角,正余弦“ 三兄妹sinxcosx 、系“ 知一求二” ,例已知 tan 321 ,tan ,那么 tan 的值是 _；225444 例求值 sin5013tan10；1sincos21,tan ,求 tan2 的值81cos2353xR 的單調(diào)遞增區(qū)間為_ 例函數(shù)fx5sinxcosx53cos2x25,kkZ） 例 如 sinxcosxt

7、, 就sinxcosx _ 如0,sincos1,求 tan 的值； 3、幫助角公式中幫助角的確定：23basinxbcosxa2b2sinx其中角所在的象限a, b的符號(hào)確定,角的值tan 確定 a 例已知3 在求最值、化簡(jiǎn)時(shí)起著重要作用；變式訓(xùn)練 1：在 ABC中,角 A、B 、C滿意 4sin2 的度數(shù) . 解 在 ABC中,A+B+C=180 , 4sin2 得 4 7AC-cos2B=, 227AC- cos2B=, 求角 B221cosAC7-2cos2B+1=, 22 所以4cos2B-4cosB+1=0. 于是 cosB=,B=60 . 20XX 四川 已知 cos 求 tan

8、2的值 . 求. 【解題思路】同角關(guān)系求出 范疇定角；tan 再求 tan2 ；又結(jié)合角的2112 解析 cos,0 ,得 sin1cos143 727712113,cos , 且0, 2714tansin43724383 43,于 是tan22tan22cos711tan1434702,得 02 2133313 又 cos, sin1cos21 141414 得： coscos 11343331.20XX 山東卷理 本 coscossinsin, 所以變式訓(xùn)練 3：37147142 小題滿分 12 分 設(shè)函數(shù) fx=cos2x+1 2 2+sinx. 31c1,f ,且 C為銳角,求 sin

9、A. 解: 324 求函數(shù) fx 的最大值和最小正周期 . 設(shè) A,B,C 為 ABC的三個(gè)內(nèi)角,如 cosB= fx=cos2x+ 1cos2x132+sinx.=cos2xcossin2xsinsin2x 33322213,最小正周期 . 2 所以函數(shù) fx的最大值為f = C 為銳角 , c21133sinC= , 所以sinC, 由于所以 C, 432224 又由于在 ABC 中, cosB= 123,所以, 所以sinB33sinAsinBCsinBcosCcosBsinC 設(shè)函數(shù) fx=2sinxcos 求. 的值 ; 文 本小題滿分 12 分22113223.變式訓(xùn) 練5 ：20

10、XX山東卷2323262cosxsinsinx0 在 ABC中,a,b,c在 x 處取最小值 . 分別是角 A,B,C 的對(duì)邊 , 已知 a1,b 解: fx2sinx2,fA3,求角C. 21coscosxsinsinx 2sinxsinxcoscosxsinsinx sinxcoscosxsin sinx 由于函數(shù)fx在 x 處取最小值,所以sin 1,誘導(dǎo)公式知 sin1, 由于 0, 所以所以 fxsinx2. 2cosx 由于 fA33, 所以 cosA, 由于角 A為 ABC的內(nèi)角 , 所以 A.又由于 a1,b2, 所以 622 正弦定理 , 得 abbsinA12, 也就是 s

11、inB, 2sinAsinBa223. 44373. 當(dāng) B 時(shí),C; 當(dāng) B 時(shí),C4464126412 由于 ba, 所以 B 或 B【命題立意】 : 此題主要考查了三角函數(shù)中兩角和差的弦函數(shù)公式、二倍角公式和三角函數(shù)的性質(zhì), 并利用正弦定理解得三角形中的邊角. 留意此題中的兩種情形都符合. 變式訓(xùn)練六： 20XX全國(guó)卷理）在ABC中,內(nèi)角 A、B、C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為 a、b、c,已知 ac2b,且 sinAcosC3cosAsinC, 求 b 解法一：在 ABC中22sinAcosC3cosAsinC,就正弦定理及余弦定理a2b2c2b2c2a23c, 化簡(jiǎn)并整理得：2a2c2b2.又已知

12、a2c22b4bb2. 解得有 :a2ab2bc. 6 三角函數(shù) b4 或 b0 舍） 5 5、半徑為 r 的圓的圓心角所對(duì)弧的長(zhǎng)為 l ,就角的弧度數(shù)的肯定值是 6、弧度制與角度制的換算公式：27、如扇形的圓心角為 lr 360,1180,為弧度制,半徑為 就 lr ,C2rl ；r ,弧長(zhǎng)為 l ,周長(zhǎng)為 C,面積為 S,是一個(gè)任意大小的角,的終邊上任意一點(diǎn) 11Slrr2 8、設(shè) 22 的坐標(biāo)是 x,y ,它與原點(diǎn)的距離是 rrx2y20 ,就 sinyxy ,cos,tanx0 rrx9 、三角函數(shù)在 各象限的符號(hào)：第一象限全為正,其次象限正弦為正；第三象限正切為正,第四象限余弦為正1

13、1、角三角函 數(shù)的基本關(guān)系：1sin2cos212sintancossin21cos2,cos21sin2；sinsintancos,cos12、函數(shù)的誘導(dǎo)公式：tan1sin2ksin, cos2kcos , tan2ktank2sinsin,coscos ,tantan 3sinsin,coscos ,tantan 4sinsin,coscos ,tantan 口訣：函數(shù)名稱不變,符號(hào)看象限5sin cos,cossin 6sincos ,cossin 2222 口訣：正弦與余弦互換,符號(hào)看象限13、的圖象上全部點(diǎn)向左平移上全部點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原先的1 個(gè)單位長(zhǎng)度,得到函數(shù)ysinx 的圖

14、象；再將函數(shù) ysinx 的圖象再將函數(shù) ysinxysinx 的圖象；倍,得到函數(shù)的圖象上全部點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原先的倍,得到函數(shù)14、函數(shù)ysinx 的圖象ysinx0,0 的性質(zhì)：2振幅：；周期：；頻率：初相：f12 ；相位： x；15、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)：1 性 質(zhì)函數(shù) ysinx ycosx ytanx 圖象定義域值域 R R xxk,k 2R 1,1 當(dāng) x2k1,1 當(dāng) x2kk 時(shí),2k 時(shí),2 最值 ymax1 ；當(dāng) x2k 小值 k 時(shí),ymin1周期性ymax1；當(dāng) x2k 既無最大值也無最 奇偶性 2 奇函數(shù) k 時(shí),ymin1 2 偶函數(shù) 奇函數(shù)

15、在 2k,2k 22k 上是增函數(shù)；在 單調(diào)性 在2k,2kk 上是增函數(shù)；在 2k,2k 在 k,k 223 2k,2k22k 上是減函數(shù) k 上是增函數(shù) k 上是減函數(shù)對(duì)稱中心 k,0k 對(duì)稱性 對(duì)稱軸 xk2k 對(duì)稱中心 k,0k 2 對(duì)稱軸 xkk k 對(duì)稱中心,0k 2 無對(duì)稱軸余弦定理主要解決的問題：已知兩邊和夾角, 求其余的量；已知三邊求角）11、如何判定三角形的外形：判定三角形外形時(shí),可利用正余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化,統(tǒng)一成邊的形式或角的形式b、c 是 C 的角、 C 的對(duì)邊,設(shè)a、就：如abc,就C90；如 abc,就 C90 2 222222 abc222如 abc,就 C90

16、2. ABC中,cosAcosBcosC,就 ABC肯定是A 直角三角形B 鈍角三角形 C 等腰三角形D 等邊三角形2B60b3. ABC中, ac,就 ABC肯定是A 銳角三角形B 鈍角三角形 C 等腰三角形D 等邊三角形三角恒等變換和解三角形基本學(xué)問回憶 的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：令 sinsincoscossinsin22sincos 1 、兩角和與差coscoscos tan 令 sinsincos2cos2sin2 2cos2112sin2tantan1+cos2 cos21tantan21cos2 sin2 22tan tan21tan237sin coscos sin 5

17、25 例：已知,那么 cos2 的值為 _；2. 三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、運(yùn)算、證明的恒等變形的基本思 路是：一角二名三結(jié)構(gòu)； 即第一觀看角與角 之間的關(guān)系,留意角的一些常用變式,角的變換是三角函數(shù)變換的核心！其次看函數(shù)名稱之間的關(guān)系,通?！?切化弦” ；第三觀看代 數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)；基本的技巧有 : 巧變角,正余弦“ 三兄妹sinxcosx 、系“ 知一求二” ,例已知 tan 321 ,tan ,那么 tan 的值是 _；225444 例求值 sin5013tan10；1sincos21,tan ,求 tan2 的值81cos2353xR 的單調(diào)遞增區(qū)間為_ 例函數(shù)fx5sinxcosx53cos2

18、x25,kkZ） 例 如 sinxcosxt, 就sinxcosx _ 如0,sincos1,求 tan 的值； 3、幫助角公式中幫助角的確定：23basinxbcosxa2b2sinx其中角所在的象限a, b的符號(hào)確定,角的值tan 確定 a 例已知3 在求最值、化簡(jiǎn)時(shí)起著重要作用；變式訓(xùn)練 1：在 ABC中,角 A、B 、C滿意 4sin2 的度數(shù) . 解 在 ABC中,A+B+C=180 , 4sin2 得 4 7AC-cos2B=, 227AC- cos2B=, 求角 B221cosAC7-2cos2B+1=, 22 所以4cos2B-4cosB+1=0. 于是 cosB=,B=60

19、. 20XX 四川 已知 cos 求 tan2的值 . 求. 【解題思路】同角關(guān)系求出 范疇定角；tan 再求 tan2 ；又結(jié)合角的2112 解析 cos,0 ,得 sin1cos143 727712113,cos , 且0, 2714tansin43724383 43,于 是tan22tan22cos711tan1434702,得 02 2133313 又 cos, sin1cos21 141414 得： coscos 11343331.20XX 山東卷理 本 coscossinsin, 所以變式訓(xùn)練 3：37147142 小題滿分 12 分 設(shè)函數(shù) fx=cos2x+1 2 2+sinx. 31c1,f ,且 C為銳角,求 sinA. 解: 324 求 函數(shù) fx 的最大值和最小正周期 . 設(shè) A,B,C 為 ABC的三個(gè)內(nèi) 角,如 cosB= fx=cos2x+ 1cos2x132+sinx.=cos2xcossin2xsinsin2x 33322213,最小正周期 . 2 所以函數(shù) fx的最大值為f = C 為銳角 , c21133sinC= , 所以sinC, 由于所以 C, 432224 又由于在 ABC 中, cosB= 123,所以, 所以sinB33sinAsinBCsinBcosCcosBsinC 設(shè)函數(shù) fx=2sinxcos 求. 的值 ; 文 本小題